Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 59
Текст из файла (страница 59)
10. Дифференциальные формы. Функции на многообразиях можно рассматривать как формы нулевой степени. Примерами форм первой степени являются дифференциалы функций. Пусть М вЂ” гладкое т-мерное многообразие и ) — дифференцируемая функция на нем. В локальных координатах 1=()в) дифференциал этой функции имеет вид ') Точную формулировку и доказательство теоремы Уитни можно найти в книге: Ж. д е Р а и, Дифференцируемые многообразия, ИЛ, 1956, етр. 33 — 36. )гл.
и интеГРНРование з)о При переходе к новым локальным координатам 1- т дифференциал преобразуется к виду в = 1 — йти, где кч д) д) Ъ» д) д1» дта»Й д~» дхи ' » (2) Обобщая этот пример, мы будем называть дифференциальной формой первой степени на гладком многообразии М любое вы- ражение, которое в локальных координатах г=(гя), действую- щих в окрестности ()с:М, имеет вид в= ~~'„~ а„сИ„, Р а при переходе к новым локальным координатам (- т меняется так же, как дифференциал, т. е. преобразуется к виду гь =- ~л ои йтю где и (4) От форм первой степени можно брать криволинейные интегралы (т. е. интегралы по одномерным многообразиям), Мы введем формы второй степени так, чтобы ог них можно было брать интегралы по двумерным многообразиям.
Мы будем задавать такие формы в локальных координатах н должны выяснить, как меняются их выражения при переходе к другим координатам. В простейшем случае плоских областей подынтегральные выражения двойных интегралов айхйу при замене переменных (х, у) — (и, и) умножаются на якобиан: форма айхйу переходит в форму а ' ои йо. Имея в виду более общие случаи, д(х, Р) д (и, Р) удобно ввести алгоритм умножения дифференциалов, который приводит к такому правилу замены на основании формальных выкладок.
Этот алгоритм был найден Э. Картаном и называется внешним умножением дифференциалов. Мы поясним его сначала на рассматриваемом простейшем случае. Условимся считать, что внешнее произведение одинаковых дифференциалов равно нулю: пхЛйх=с(уЛйу=О (Л вЂ” знак внешнего умножения), а различных дифференциалов — антикоммутативно: йхЛйу= — с(уЛох. Кроме того, будем предполагать, что для внешнего умножения соблюдаются обычные правила .раскрытия скобок. Тогда умножение двух дифференциалов МНОГООБРАЗИЯ И ФОРМЫ зп $4) йх = — сси+ — с(о ийу= — 'с(и+ — с(о формально приведет к дх дх д» ду ди де ди да нужному правилу замены: с(х л с(У = ~ ~„" с!и + д" ао) л ~ д„" с(и + д", ос о) = — — йи Л йо+ — — с(о Л Нс= ' с!и Л с!щ дх ду дх ду д(х, у) ди да де ди д (и, Р) Приведем теперь точное определение в более общем случае.
О п р ел е л е н и е 1. Внешним умножением дифференциальных форм от переменных 44, ..., 1,„называется умножение, подчиняющееся следующим законам: !'. Умножение на скаляр (функцию) коммутативно и ассоциативно: аЛН =Н„Ли=а с(1„, НРЛа Н„=ай!4 ЛН„. (5) 2'. Умножение дифференциалов антикоммутативно: НРЛй),= — Й,,ЛНР ()4Фт), Н,.ЛН,=О. (6) 3', Умножение линейных комбинаций произведений дифференциалов (со скалярными коэффициентами) подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам.
Таким образом, внешнее произведение двух форм первой степени 4», = ~~'.~ а,Н, и Б4, = ~4 Ь, Н, имеет следующий вид: =1 ч-1 (асН4+'...+а Н )Л(Ь,Н,+,,+Ь Н ) =(асЬБ — аэЬ,)Н,Лй)э+ ...+(а,Ь вЂ” а Ь,)Н 4ЛН . При замене переменных 1- т коэффициенты при произведении дифференциалов, как нетрудно проверить прямой выкладкой, умножаются на соответствующие якобианы. Например, при произведении йтсЛс(тэ будет стоять коэффициент д ()Р, )Р) а,'Ь' — а'Ь; = ~ (и„Ь,— а,Ь„) Р<н где штрих в обозначении суммы показывает, что суммирование надо вести по всем индексам )с, т при условии ! ()4<т (нс (упорядоченное суммирование) .
Произведение двух форм первой степени является примером форм второй степени. Вообще же под формой второй степени на гладком многообразии М мы будем понимать выражение, которое в локальных координатах ! имеет вид ы=~4 а„,Й„ЛН, (7) ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. !1 З[й где штрих обозначает упорядоченное суммирование (р<ч), а при замене координат 1- т переходит в аналогичное выражение с коэффициентами д()г, ))) Ы д(т)„т ) ' (8) Мы можем пользоваться и неупорядоченным суммированием (без штриха).
Для этого условимся считать, что матрица (а„,) к о с о с и и л) е т р и ч н а, т, е, что ан,= — а„н, и тогда перепишем форму (7) в виде со = — т анас((н Л с(г',. 1 Ъх (7') — очевидно, что это равносильно соотношению (8). Теперь мы можем дать общее определение формы. Определение 2. Дифферен)(иа,)ьной формой степени р на гладком многообразии М называется выражение, которое в произвольной системе локальных координат ( имеет вид ') ю = ~ а,, „, )((,ч Л ...
Л г((,„= —, ~ а,, Й,, Л ... Л Й,,, (9) а прн замене переменных 1- т переходит в аналогичное выражение с коэффициентами а) д) д)г гя ")"'тл ай! Г)"')едт, ''' дт, т) ( г и) Форма го называется формой класса Ся, если ее коэффициенты (как функции локальных параметров) имеют непрерывяые частные производные д-го порядка,— это определение инвариант- ') В нерпой сумме (й) суммирование ведется по упорядоченным снеге.
мам индексов 1<у)«...ур (~ т, а во второи — по всем системам, но матрица (а) предполагается кососнмметрической по индексам: при четной перестановке индексов иоэффициенты не меняются, а при нечетной меняют знак. ') Закон изменения коэффициентов дифференциальных форм имеет тснзорный характер.
Совокупность этих коэффициентов (а) образует тензор (кососимметрическнй, коварнантный). Закон изменения коэффициентов можно тогда переписать так: Ъэ д)) д)1 (8') н ~у $41 З1З мпогооэгхзия и ФОРмы но лишь для многообразий класса Сч (см. определение 3 п.
9). Дифференциальные формы можно складывать, умножать на функцию (скаляр), а также умножать друг на друга внешним образом (при этом произведение формы степени р на форму степени а является формой степени р+д). Совокупность всех форм степени р на многообразии М образует группу по сложению, которую мы будем обозначать через о~', До сих пор мы пользовались записью форм в действительных координатах, однако для дальнейшего удобнее к о и п л е к си а я форма записи. Рассмотрим случай гладкого из-мерного многообразия М, расположенного в комплексном пространстве С". Если обозначить г„=х„+гх„„.„то эти величины на М будут функциями локальных координат: г„=г (Гь ..., 1„,), э=1, ..., и.
Дифференциальная форма степени р «из на многообразии М; н ~~ а,, ~ йх;,Л .. Ла1х, — ~ агро (11) (12) (14) где д (х1, ..., х1 ) где 1=(го ..., 1е) — векторный индекс и йхг = йх~ Л ... Л г)х,, 'Ю ! в этих локальных координатах принимает вид о= ~ а,с(1ц где д(хг, ..., х1 ) Чтобы переписать форму (11) в комплексном виде, мы можем формально перейти от 2и действительных координат х„в е;" к такому же числу комплексных координат г„г„. Для упрощения записей мы положим г,„=г =х,+ух„„, Л„э,=г„=х,— Ех„э„(э=1, ..., и) (!3) и будем рассматривать переход от х„к 2, как обычную замечу переменных.
Подставляя в (11) Нх, = — (г(У, + г(2„„,) и с(х„„= 1 ! = —. (г(г,— с(Х„„), перепишем эту форму в виде О) = ~гр~ (у дусь интяггиРОВАнце [Гл. и зи Часто бывает важно различать степени формы (14) по переменным г, и г,. Поэтому вводят понятие бистгпени формы, понимая под формой бистепени (р, а) выражение вида гз=Х 1 убя' Л Л г1г ° Л г(гу Л Л бгу =Х )нтг(г, Л Им (15) где l=(1ь ..., 1р) н У=()ь ..., )ч) — векторные индексы размерности соответственно р и д. Наиболее важен частный случай форм бистепени (р, О), коэффициенты которых являются голоморфнымн функциями и переменных на множестве Мс:С" (т.
е. голоморфными в 2п-мерной окрестности этого множества). Такие формы записываются в виде а=~ 1,, Иг, Л ... Л г(я, =Х'),г(ги (16) (17) где участвуют только «малые» переменные г,; они называются голоморфными формами. Можно рассматривать также формы на к о м п л е к с н о а и а л и т и ч е с к о м многообразии М комплексной размерности т в произвольном хаусдорфовом пространстве. Здесь также наиболее интересен случай форм бистепени (р, О), р (т, которые имеют внд (16) в локальных координатах (гь ..., г ), действующих в окрестности (/~М, причем коэффициенты являются голоморфными функциями на М и при замене переменных г- ~ меняются по тензорному закону 'Ж ""'г) где У =(1о ..., 1р). Такие формы называются голоморфными формами на многообразии М.
!1. Понятие интеграла от формы, Дифференциальные формы степени т введены так, чтобы от них можно было брать интегралы по т-мерным многообразиям. Интегралы берутся по ориентированным многообразиям, поэтому мы должны начать с этого понятия. Введем сначала ориентацию в окрестности Ус:М. Для этого будем считать, что параметр 1, действующий в К меняется не в шаре, как раньше, а в и-мерном с имплексе 5 (т. е. что задается гомеоморфизм Т; У- 5"'). Для определенности предположим, что одна из вершин симплекса Рг лежит в начале координат, а другие вершины Р, имеют ч-ю координату, равную 1, и остальные 0 (ч=1, ...„т).
Введем на 5'р ориентаиию МНОГООБРАЗИЯ И ФОРМЫ 818 следующим образом: симплекс (Ра, Рь ..., Р ) и все, получающиеся из него четной перестановкои номеров вершин, будем считать ориентированными положительно; симплексы, номера вершин которых образуют нечетную перестановку,— ориентированными отрицательно. Часто неориентированный симплекс мы будем обозначать через 5'", ориентированные — через 5,, где е=+ илн Б= — в зависимости от ориентации. На рис.
88 изображены (/ двумерные симплексы / 2 2 5+=(Рс, Р1, Рг) и 5-= (Ре Р2 Р1). л При заданном отображении Т: (/'- 5" мы Ре" введем две ориентации окрестности [/' в зависиг Г г мости От той или инои Рг Рх ориентации симплекса 5"'1 ориентированную окрестность будет иногда обозначать через [/',. Ре П р и м е р. Нагляднее все- Р .
88. го представляется ориентация ис. в одномерном случае. Пусть 5'=[О, 1) и 0 — гомеоморфный образ 5', скажем в Ся, т. е. жорданов путь 2=2(Г); 51-2(/' Положительной ориентацией У мы будем считать ту, которая соответствует возрастанию параметра й т. е. положи. тельной ориентации отрезка [О, 1[1 отрицательной — ту, которая соответствует убыванию Г. Ориентацию гомеоморфного образа в С" двумерного симплекса 5' при заданном отображении 2=2(11, 12); 52-ь(/' можно представлять как указание одной нз двух с т о р он У; поло/кительной считается та, с которой образы Рч=2(Р.,) вершин снмплекса обходятся в порядке (О, 1, 2), и отрицательной — та, с которой они обходятся в порядке (О, 2, 1) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
