Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Поэтому области сходимости рядов Лорана являются так называемыми относмтельно полныжы областями Рейнхарта. Область Рейнхарта называют относительно полной, если она при фиксированном у либо не пересекается с плоскостью (г„=и„), либо вместе с каждой точкой г' содержит и все точки г, для которых )г, — а,) ')г' „— а„), а остальные координаты те же, что го (это условие выполвяется для всех у). зо! задачи Таким образом, если область Рейнхарта не пересекается ни с одной из плоскостей (г„=а„), то условие относительной полноты не накладывает никаких ограничений, пересечение же с каждой из таких областей влечет за собой дополнительное условие. Для примера на рнс.
86,а и б изображены относительно полные, а на рнс, 86,а — неполная область Рейихарта. (г«1 б) Рнс. 88. Так же как в случае рядов '1'ейлора, доказываетсч, что области сходимостн рядов Лорана являются еще логарифмически выпуклыл|и. Всякая функция 7, голоморфная в относительно полной области Рейнхарта Р, представляется в 7) рядом Лорана (4) (н такое представление осуществляет аналитическое продолжение (' в логарифмически выпуклую оболочку Р, если 7) не логарифмически выпукла) . Можно рассматривать и другой аналог рядов Лорана. Именно, всяку!о функцию (, голоморфную в области Хартогса вида (гяСп; 'ген'В, «('г)<(г„— аи',<Й('г)), где '7)— область из С"-! (рнс. 87), можно представить в этой области рядом Хартогса — Лорана ) (а) = ~ дп ('г) (г„— а„)', (7) Рнс.
87. где йоши=..Н('Р) . Области сходимости таких Радов хаРактеРизуются дополнительными свойствами радиусов «('г) и ((('а), которые мы укажем в и. 27. ЗЛДАЧИ Ь доказать, что в С " всякая действительная гипсрплоскость (т, е, гиперплоскость в и'а") задается уравиеииеи Ке !(а) =и, «ве ((а) =о~а, + ... +а„лп — комплексная линейная функция и а~В. Получить из этого, что 302 голомораныи аункции нпскольких пцремннных (гл, 1 через любую точку действительной гиперплоскостн Я~= С" проходит принад- лежащая 5 аналитическая (комплексная) гиперплоскость.
2. Построить пространственный аналог стереографической проекции и ввести с ее помощью сферическую метрику в сж". 3. Рассмотреть все случаи пересечения сферы ()г(=Ц~С" с аналитиче. скимн прямыми г=а+ыь (а, ывы( ", ЬщС). 4. Описать сечения шара ((г!<цс=.в.в н бикруга ((г1!<1, (гв!<ц трехмер. ными плоскостями уз=а при различных мыл. 5. Доказать, что преобразование Рейнхарта а(г)=Щ, ..., )гч!) пере- водит любую область В~:С", не пересекающуюся с множеством (г,... гч= =0).
в область пространства И". 6. Доказать, что область Хартогса (!щи" выпукла тогда и только тогда, когда ее образ ()(В) при преобразовании р(г) ('г,(гч!) является выпуклой областью в Кв" '. 7. Доказать, что каждая комплексно одномерная аналитическая пло- скость из С" имеет в Ра ровно одну бесконечную точку. 8. Доказать, что любая функция (, голомарфная во всех точках комплекс- но (а — Ц -мерной проективнай плоскости Р" ' из Р", постоянна. 9. пусть ((г) — целая функция в Са такая, что г*(«)!<с(1+(г!) для некоторых констант,с, т)0 и всех г щС".
Доказать, что ((г) — многочлен степени не выше т, !О. Пусть ((г) галоморфна в окрестности точки а шла и равна нулю на некоторой (2п — Ц -мерной плоскости, проходящей через эту точку. Дока- зать, что ((г) — = 0 в окрестности а. 11. Доказать, что всякая функция, голоморфная в окрестности точки 0 вы(.з н равная нулю на двумерной плоскости г~= Уь равна нулю то- ждественво в окрестности О~Св. 12. Пусть ((«) голоморфна в бикруге (7=(И<1, (гв!<Ц и равна нулю на 1 дуге ~гв —— гв, 61= х, гйп — . Доказать, что !(г) — = 0 в (7. х, !' 13.
Привести пример последовательности точек в едини ~ном поликруге, сходящейся к началу координат и являющейся множеством единственности для функций, голаморфных в этом поликруге. 14. Построить пример замкнутого множества на остове бнкруга, кото- рое имеет двумерную меру нуль н является множеством едияственности для функций, галочорфных в бикруге и непрерывных в его замыкании. 15. Доказать, что если функции 1 и л голоморфны в окрестности замкну- того бикруга !Г и совпадают на подмножестве его остова, имеющем по- ложительну!о в!еру размерности 2, то эти 1 и я совпадают тождествен- на в (в. 16.
Доказагь, что если при каждом фиксированном вгв, ..., г в, г,1, ... / о о в г ), я= 1, ..., а, функция ((гь ..., г~) а) является миогочленом относительно г ч, то она — многочлен; б) является рациональной функцией ат йю то она — рациональная функция. 17. Привести пример функции ((«а «в), голоморфной по «~ в Щ<Ц для "любого гв, !гв!<1, непрерывной по гз в ((гв!<Ц для любого гь (гй<1, и не являющейся непрерывной по г=(гага) в бикруге (!г,(<1, !гв!<Ц.
18. Показать, что гармоническая по каждому переменному функция х,хв в Св не является действительной частью никакой голоморфной функ. ции, Доказать, что функция является действительной частью голоморфной функции тогда и только тогда, когда она гармонична на каждой аналити. веской прямой. задачи 19. Пусть !(г) голоморфна в поликруге У~:Х» и ((0)=0. Доказать, что 1!(г) Кр(г) анр 1)1 для всех я~ В, где р(г) =снах )гт1, Когда нмсез место рви ч венство? 20. Доказать, что если ! голоморфна в бикруге В=()ай<1, )гг)<!), не- прерывна в его замыкании, а на остове Г этого бикруга 3=сапа(, то )— рациональная функция. 21. Для функций !'шСг(В) в бикруге Г вывести аналог формулы Ко- ши — Грина для функций на плоскости (п.
17 ч. 1). 22. Пусть ((г) голоморфна в окрестности 0 снСа и !(О, г„))(г~ голо- морфна и не равна нулю в окрестности О, Доказать, что для всякой функции й, голоморфной в окрестности О, найдется голоморфная функция г(г), кото- рая по г являетси миогочленом степени <т, такая, что 2 в г (гпоб 1), т, е. 2=4)+г длн некоторой функции д, голоморфной в окрестности О. 23. Пусть ! — замкнутый идеал в кольце Л всех функций, голоморфных в окрестности 0 ~шС" (каждая — в своей). Доказать, существование конеч- наго числа функций )ь ..., (ь~( таких, что 1=(~!(-(- ...
+(ьК (т. е. всякая функция (~l представнма в виде )=)~2~+... +(ьйю где все 2;Ы). 24. Назовем границей Бергмана области В минимальное замкнутое множество В ~ дВ такое, что зцр 1) (г) 1= зцр 17(г)1 для всех функций, гюа гып голоморфных в В. Очевидно, что В содержится в границе Шилова 5 области В. Доказать, что для области В=(0 <)г,) < 1, )гз( < )г,) ш !г'!) ~ Сз эти границы различны: 5 =()г,)<~ 1,)г,1=)г,1 " " ), а В =(1 А1= ! )гз1=1). 25. Построить степенные ряды, для которых областью сходимости яв- ляются а) шаР (гшС'. )г~)з+(гз)з<!), б) область (г~Оз: 1гь р)гз)<1).
Построить степенные ряды, для которых множествам сходимости яв- ляются а) (г~С'. )г)<!)()(г~ыОз: )г)<2, г,=О), и-' 26. Доказать, что любая выпуклая область Рейнхарта является логариф- мнчески выпуклой. ГЛАВА П ИНТЕГРИРОВАНИЕ В предыдущей главе мы уже рассматривали интегральную формулу Коши для функций нескольких комплексных переменных. Однако мы писали се только для поликругов, и в таком виде она распространяется лишь на поликруговые области.
Чтобы распространить эту формулу на области более общего вида, нужно развить соответствующий топологический и аналитический аппарат. $ 4. Многообразия и формы Что и по каким объектам мы будем интегрировать? Здесь мы дадим ответы на эти вопросы, Интегрировать мы будем по м н о г о о б р а з и я м некоторые комбинации произведений дифференциалов, называемые дифференциальными форм а м и. Выясним подробнее эти понятия. 9, Понятие многообразия.
Хотя в этой главе мы будем рассмагривать многообразия только в свклидовом пространстве, но в дальнейшем нам встретится оолее общая ситуация многообразий в некотором абстрактном пространстве элементов аналитических функшпй (пространственный аналог римаповых поверхностей, ср. п. 32 ч. 1). Поэтому мы сразу даем общее О п редел е н и е 1. Множество М в хаусдорфовом пространстве Л называется т-мгрныя многоооразием, если выполнены следующие условия: 1'. Существует семейство окрестностей (Уз в относительной топологии М (Ус=У, множество индексов У не обязательно счетное), покрывающих М (М=() (У,) и го м ео морф пых пг-мерляг ному евклидову шару, т.
е. для всех /еиУ определены гомеоморф тр ил-Вл (1) на шары В,=(0 ~ К: )П! ° (1)); переменное 1 =(1ь..., 1~) называется локальным параметром, действушгцим в окрестноиь 2'. Если (У,П(У?ФйУ, то отображение т, т (2) открытого подмножества шара Вь которое соответствует пересечению с'лП(Уь в шар В, гаме о мор ф но; отображения (2) на- т 4! МНОГООБРАЗИЯ И ФОРМЫ 305 зываются соотношениями соседства, связывающими окрестности (/'/ и Г//. 3'. Из покрытия М=()с//, о котором говорится в 1б, можно /Е/ выделить не более чем с ч е т н о е покрытие М = () Г// .
Ы=/ Р' (Приведем некоторые пояснения. Хаусдорфово пространство — это топологическое пространство, для которого справедлива аксиома отделимости (см. и. 32 ч. 1). Относительной топологией на множестве М топологического пространства Х называется топология на М, в которой окрестностями объявляются пересечения с М окрестностей пространства Х. То, что в качестве образов /((/) окрестностей У~М в условии 1' приняты шары радиуса 1, несущественно; их можно заменить любыми гомеоморфными им множествами в Р, например самим Е'".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
