Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Гомеоморфность соотношений соседства (2) очевидным образом следует из условия !'! мы выделили это условие лишь для удобства дальнейших формулировок.) !Лтак, и/-мерное многообразие локально устроено так же, как /и-мерный евклидов шар. В каждой окрестности с/ оно описывается локальным параметром |= (!ь ..., !а,), причем параметры, действующие в пересекающихся окрестностях, связаны гомеот|орфными соотношениями соседства. Локальные параметры часто называют также локальными координагаат.
Функции, заданные на многообразии М, мы можем локально рассматривать как функции параметра. Однако не всякий набор функций локальных координат определяет функцию на многообразии; мы должны потребовать независимость этих локальных функций от выбора параметра, или, иначе, их инвариантиость нри изменениях параметра. (Сравните: когда в физике вводят какие-либо величины как функции координат, то точно так же требуют их независимости от координат, иначе они не будут иметь физического смысла. Например, вводя понятие дивергенции или ротора векторного поля при помощи координат, дают инвариантные определения этих величин, пе зависящие от выбора координат, и тем самым устанавливают, что эти величины являются физическими.) О п р е д е л е н и е 2.
Говорят, что на многообразии М задана ф!/нкция ), если в каждой окрестности (т/с:М задана функция локального параметра г/, действукнцего в (/,: 1!н. =1/(!/) ! ~ В/ (3) причем это задание и н в а р и а н т н о относительно замены параметра: если УД(/',ФЯ, то в части шара Вь соответствующей 20 Б. В. Шабат ИНТЕГРИРОВАНИЕ в силу гомеоморфизма Т! пересечению У!ПУВ имеем !ГЛ. Н Поскольку функция на т-мерном многообразии в локальных координатах выражается как функция и! действительных переменных, мы можем говорить о ее дифферевцируемости, гладкости, наличии у нее вторых частных производных и т. д.
Однако если мы не налагаем на соотношения соседства (2) никаких дополнительных ограничений, то лишь свойство непрерывности функции является иивариантным, а уже свойство дифференцируемости, вообще говоря, неинвариантно. В самом деле, если какое-либо соотношение соседства (2) недифференцируемо, то функция ), дифференцируемая в зависимости от локальных координат Р, может оказаться недифференцируемой в зависимости от координат !б Таким образом, мы приходим к необходимости введения дополнительных ограничений на соотношения соседства.
Определение 3. Многообразие М называется диффсрен!(ируелым, гладким или многообразием класса СР, если все соотношения соседства Т~ о Т!~, его определяю!цие, соответственно диффере!щируемы, непрерывно дифференцируемы или имеют непрерывные частные производные до порядка р включительно. Многообразие в смысле определения ! можно считать многообразием класса С', гладкое многообразие является многообразием класса С'. Можно ввести также понятие многообразия класса С, имея в виду многообразия, все соотношения соседства которых и бесконечно дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные частные производные всех порядков.
На гладком многообразии М можно рассматривать дифференцируемые и непрерывно дифференцируемые функции, понимая под ними функции, которые в любои окрестности Ус:М дифференцируемо или непрерывно днффереицируемо зависят от соответствующего локального параметра (зто свойство, очевидно, является инвариантным относительно замены параметров). Точно так же на многообразии класса СР можно рассматривать функции классов Сч (!) (р), а на многообразии класса С функции любых классов СР и бесконечно дифференцируемые функции. До сих пор мы говорили о действительных многообразиях и о дифференцируемости многообразий и функций в смысле действительных переменных. Однако в ч е т н о м е р н о м многообразии М, пусть размерности 2т„можно ввести комплексную структуру, если в каждой окрестности У~М вместо действи- МНОГООБРАЗИЯ И ФОРМЫ 307 тельных координат 1= (11... Гг, ) рассматривать комплексные координаты ь=(ьь ° °, ь )' ь =1 +В~~ (~=1, ° ° °, ) (5) и гомеоморфизмы Т; У- В на шары ((~~<1) и комплексном пространстве С".
Соотношение соседства Т>»Т> длн такого многообразия будет осуществлять гомеоморфное отображение открытого подмножества шара В;с:С'" в шар В;~С'". Это отображение задается посредством и функций >и комплексных переменных Ь = >р,> (~ ); т> = 1, ..., т; 1, ) ЕИ У, (6) которые можно записать при помощи одной векторной функции >р'>=(>р,'>, ..., >р") в виде >,>=ср>>(Ь>); 1, 1~1 (7) 1> — 11 (у иас, следовательно, >р = Т> ° Т> ). Наиболее интересным для нас случаем является тот, когда все >р» являются голоморфными функциями и> комплексных переменных, т.
е, отображения ф>~ = Т>» Т> — голоморфными гомеоморфизмами, или, как короче говорят, — го >оморфизмами. Определение 4. с!етномерное многообразие >И (размерности 2>п) называют комплексно аналитическим или, короче, комплексным многообразием (комплексной) размерности >п, если в нем введена комплексная структура так, что все соотношения соседства ч>' = Т> ° Т, являются голоморфизмами соответству>ощих открытых подмножеств шаров В>с:С в шары Вь Очевидно, что комплексно аналитические многообразия являются многообразиями класса С, Примеры. 1.
Пространство С" является комплексно аналитическим многообразием размерности и. Оно покрывается одной окрест. постыл — самим С"; в качестве локальных координат можно принять комплексные координаты г„..., г (они действуют во всем С"). 2. Комплексное проективное пространство Р". Точками его служат классы пропорциональных наборов комплексных чисел (са>, ..., >а +1). Обозначим через 01 множество всех точек из Р", для которых са>+О. Каждой точке из с>1 можно сопоставить и чисел а1 >==", ..., а1»» — "", т.
е. точку а> = (г>) ен С", причем это соответствие У1 - С" является гомеоморфизмом. Аналогично определяются множества УР точек из Р", для которых со ФО, а также координаты ая= (гв) (где а໠— отношения 20» ггнтГГРггровлнив 308 ггл. ц к ым остальных оз„) и гомеомоРфизмы Егм — зС" ()а=2,..., и), Таким образом, Р" покрывается конечной системой окрестностей, гомеоморфных пространству Сн. Легко проверить, что соотношения соседства, возникающие при этом, являются голоморфизмами. Следовательно, Р" является комплексно аналитическим многообразием размерности и.
3. Римановы поверхности аналитических функций одного переменного являются комплексно аналитическими многообразиями размерности 1 (см, п. 32 ч. 1), Для функций нескольких переменных аналогичное понятие будет рассмотрено в п. 28. 11а комплексно аналитическом многообразии можно ввести понятие голоморфной функции: Определение 5.
Функция 1 называется гол!аморфной на пг-кгерноы комплексно аналитическом многообразии М, если в каждой окрестности Егс:М она представляется как голоморфная функция локального параметра ~= (й» ..., ~ )е=С, дейсгвуюгцего в этой окрестности. Это определение инвариантно относительно замены параметров прц помощи соотношений соседства, ибо голоморфизмы сохраняют свойство голоморфностн. Отметим два простых свойства функций, голоморфных на связных ') аналитических многообразиях. Теорем а ! (еди нствен ностн).
Если две функции )' и у, голоморфные на связном комплексно аналитическом многообразии М, совпадают на непустом открытом (в топологии М) подмножестве М, то они совпадают всюду на М. < Обозначим через в открытое ядро совокупности всех точек Р е= М, в которых 1(Р) =д(Р); оно по условию непусто. Покажем, что в является н замкнутыч множеством. В самом деле, пусть точка РееМ является предельной точкой в . В окрестности У~М этой точки действует локальный параметр ь=Т(Р), и функции 1 Т '(~), дч Т-'(,",) голоморфны в точке ~о=Т(Р,) шара В с: С . В любой окрестности )ге: В точки ~о найдется точка чг такая, что Рг=Т-'(~г) ев во', и так как )=д в некоторой окрестности Р» то ) ч Т-'— = у ° Т-' в некоторой окрестности ,"'. По теореме единственности из п.
6 последнее тождество справедливо всюду в )г, поэтому Ре~о' . Итак, в' непусто и одновременно замкнуто и открыто. Так как М по условию связно, то отсюда следует, что в'==М, т. е. )=— д всюду на М ь ') Определение связности, данное в п. 2 ч ), годится для множеств любого типологического пространства Напомним его: множество М называется связным, если его нельзя разбить на дие непустыс части Мг и Мз так, что оба пересечения Мг П Мз и Мг й Мз пусты (через Мг обозначено замыкание множества М,).
многоовндзия и Формы 309 Теорема 2 (принцип максимума). Если функг4ия) голоморфна на связном комплексно аналитическом многообразии М и )1) достигает, максимума во внутренней точке М, то )' постоянна всюду на М. Пусть ))1 достигает максимума в точке Рвсн М; рассмотрим локальный параметр ч=Т(Р), действующий в окрестности этой точки, Модуль функции 1'оТ-г(с), голоморфной в точке ьо=Т(Рв), достигает максимума в этои точке; следовательно, по принципу максимума из и. 6 функция 1 ° Т ' постоянна в некоторой окрестности г,о, и, значит, 1 постоянна в некоторой окрестности точки Ры По предыдущей теореме ) постоянна на всем М ь Как уже говорилось в начале пункта, наиболее важен для нас случай многообразий, расположенных в евклидовом пространстве (ч". В этом случае гомеоморфизмы окрестностей т-мерного многообразия М и шаров пространства )чм можно задавать при помощи функций (8) х,=х„()г, ..., 1ж), у=1, ..., и.
Впрочем, имеет место теорема Уитни' ), по которой произвольное дифферепцируемое многообразие размерности пг можно реализовать как многообразие в пространстве Р"и''. О и р ед ел е ни е 6. Гладкое т-мерное многообразие 5 ~ Р" называется т-мерной поверхностью, если: 1) 5 связно; 2) для любой координатной окрестности Ь~5 отображение  — (г', определяемое по форму.чам (8), непрерывно дифференцирусмо; 3) матрица ( — ) имеет ранг т; 4) все соотношения соседства Гдхч ) вгв являются непрерывно дифференцируемыми гомеоморфизмами с не обращающимися в нуль якобианами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
