Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Т е о р е м а 2. Для любой функции и, плюригармонической в окрестности С! точки (хь, уь) ~Ь;2", существует голоморфная в точке г'=хе+2уь функция 1, действительная (или мнимая) часть которой равна и. 2и < Дифференциальная форма 22 = ~ р,йх, называется замки=! путай в некоторой области из Р2", если в этой области все р,енС! и выполняются условия дри др2 — — — (р, у = 1, ..., 2п). дх2 дхи Рассмотрим в С дифференциальную форму (б) ятв ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. Г е2 = «г( — ди йх, + д йУ~); 2 1 (б) ПОНЯТИЕ ГОЛОМОРФНОСТИ так как иенС2, то ее коэффициенты принадлежат классу С'.
условия замкнутости этой формы имеют вид д'ц д2ц дьц д2ц (р, т = 1, ..., п) дхц ду» дх» дух дуя ду» дхц дх» и совпадают с условиями плюригармоничности (3). Таким образом, форма (6) замкнута в К Но в действительном анализе доказывается, что каждая замкнутая форма 2х е2 = ~ р,йх, локально точна, т. е. существует функция о~С! »=! такая, что ц2=йо, или р,= — (т=!, ..., 2а); (7) эта функция выражается интегралом х х 22 о(х)= ~ «2= ~ '2! р,йх„ хь х' »-! который не зависит от пути и при фиксированной точке хг является функцией от х. В случае формы (6) мы имеем !х 2! х Х( д» д У») (х',2'!» ! и уравнения (7) совпадают с условиями комплексной дифференцируемости функции 1"=и+!о.
Так как еще генС! в некоторой окрестности точки гг.=х2+2уг, то !2 голоморфна в этой точке и и=йе). Голоморфная в точке г2 функция !)=!и — о имеет и своей мнимой частью э ПЕрВая ГруППа ураВНЕНИй (3) Прн 12г я даЕт д'ц д'ц — + —, =О. (6) дх2 ду2 Складывая эти уравнения для Т=1, ..., и, найдем, что оператор Лапласа от функции и по переменным хь у!, ..., х„, у„ Следовательно, плюригармоничесние функции составляют подкласс класса гармонических функций в пространстве К2" (очевидно, правильный при п)1). "280 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИК ПВРВМВННЫХ !ГЛ. ! Естественно возникает вопрос об определении плюригармоннческой в некоторой области О~И'" функции по заданным граничным значениям (задача Дирихле).
Этот вопрос решается не так просто, как в случае гармонических функций. Мы пропллюстрируем возникающие трудности на примере одной нз простейших областей — поликруга У=(гевС": 1г,~ (1). Так как согласно (8) плюригармоническая функция является гармонической по каждому переменному г,=х„+!у, в круге (!г„~ (1), то мы можем последовательно применять интеграл Пуассона из п. 45 ч. 1.
Мы получим для любого г~0 гп 2Л и(г) = ~ Р(Ь„г!)Ж! ... )Г и(Ь) Р(Ь„, г„) !(1„, а о где ь,=е ", г=(ь,) и ! 1 — 1гт1 Р(Ь, г)=— У' РР 2я ! й~ г~)Р— ядра Пуассона. Обозначая через рр .(~,) Пк, ) р р пу . р ч„-!рр3х...х/р 2! п-мерный куб и через Ж=Ж! ... Ж„элемент объема, перепишем формулу Пуассона в следующем сокращенном виде: и (г) = ~ и (Ь) Р„ (Ь, г) Ю. е„ В правую часть этой формулы входят лишь значения и на остове поликруга Г=(ь: ~1„~ =1), т.
е. на и-мерной части границы д(1 (вся граница (2п — 1)-мерна). Отсюда ясно, что нельзя произвольно задавать значения плюригармонической функции и на всей границе поликруга. Если подставить в правую часть (!0) значения какой-либо непрерывной на Г функции и(1.), то функция и(г), определяемая в У этой формулой, как нетрудно проверить, будет для всех т= 1, ..., и удовлетворять уравнениям (8).
Однако эта функция, вообще говоря, не будет удовлетворять другим уравнениям (3), т. е. не будет плюригармонической в К Для плюригармоничностн и(г) на значения и(~) нужно наложить дополнительные условия, на которых мы не останавливаемся. 5. Основная теорема Хартогса. Здесь мы докажем теорему рэ том, что из голоморфности функции по каждому переменному 281 ПОНЯТИЕ ГОЛОМОРфНОСТИ следует ее голоморфиость по совокупности переменных, — об этой теореме уже шла речь в п. 3: Там же было установлено, что для доказательства этой теоремы достаточно доказать, что всякая функция, голоморфная по каждому переменному, является непрерывной по совокупности переменных, т. е обладаег свойством (А).
Доказательству мы предпошлсм ряд лемм, Первая нз них утверждает, что достаточно установить лишь ограниченность рассматриваемой функции. При этом нам понадобится лемма Шварца в виде несколько более общем, чем в п. 35 ч, 1. Пусть функция ф голоморфна в круге У„=(',г! <т)е:С, причем ер=О в некоторой точке геяУ„Н )Чз!4 М всюду в ()„; тогда всюду в ст, ! ер (г)~ ( Мт ~, ; ,! (1) (прн т=М=) и ге=0 получаем обычную формулировку). Для доказательства возьмем дробно-линейное отображение У, на единичный круг (у: г.
г аая Обозначим через ) ' обратное отображение У- У, н рассмотрим функцию зр = — ф ° ).. Она удовлетворяет условиям обычной 1 М леммы Шварца, и по этой лемме 1зр(г)1()г) всюду в (А Заменяя здесь г на Х(г), получим неравенство (1). Л е м м а 1. Если функция ( голоморфна по кассдому переменнол1у г, в поликруге У=У(а, т) ') и ограничена в У, то она непрерывна в каждой точке У по совокупности переменных. Пусть го, ген У вЂ” произвольные точки; распишем приращение 1 как сумму приращений по отдельным координатам Цг) — 1(ге) = ~чз~ (1( ..., го г ...
г )— ч ! — 1(г"н ..., г'„г„„, ..., г„)) (2) и рассмотрим т-е слагаемое как функцию ~р, переменного г, при фиксированных остальных значениях аргументов. Если М )(~~ — в У, то функция ер, удовлетворяет условиям леммы Шварца в только что приведенной форме, и, применяя неравенство ') Это означает, что для любой о~ГТ н любого т 1, ..., л функння 1(ои ., а„н ям ач+и ..., ач) переменного ач голонорфна а круге (1 г,! <'г,) е=с. 282 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ )ГЛ. Т (1) к каждому слагаемому суммы (2), мы найдем, что Отсюда и следует утверждением Итак, для доказательства теоремы Хартогса остается доказать ограниченность в некотором поликруге с центром в а функции, голоморфной по каждому переменному.
Заметим, что ограниченность в каком-то поликруге, не обязательно с центром в а, следует из одной лишь непрерывности 1 по ым отдельным переменным. Этот факт состав,ляет содержание так называемой л е м м ы Ос гуда: Лемма 2. Представим поликруг П= =(гееС": ~г,~ <)с) как произведение 'П= =('г~С" '.
(г,( <)с) ') на круг (l„= =(г„ееС: )г„~<)с). Если функиия ) ('г, г„) непрерывна по 'г в 77 для любой г„~П„и непрервсвна по гч в П„для любой 'ген'Г', то существует поликруг )у'=')Рх()„сП, в котором 1 ограничена (см. диаграмму Хартогса иа рис. 80). Для фиксированного 'ген'(У обозначим ж 'у М ('г) = тпах ) ) ('г, г„) ~ Рис. 80. аа ~ Оа и рассмотрим множества в =(г~'(7: М(г)«т). Эти множества замкнуты, ибо если 'гО'> ее У„(р=1, 2, ...) и 'г~н>-ь'г, то и 'ген 2' (в самом деле, ~ ) ('г<">, г„)(«т для любого г„енг7„, в силу непрерывности 1 по 'г тогда и ~~('г, г„) ~ < т для любого г„яГ„т. е. М('г) 4т).
Очевидно, в*,„образуют возрастающую последовательность и любая точка 'ген'П принадлежит всем в , начиная с некоторого. Существует в м, содержащее некоторую область 'бс (). В самом деле, в противном случае все в были бы нигде не плотными, ио тогда в '() существовал бы шар В'с:О" ', свободный от точек в'ь в В' — шар Вз, свободный от точек в'з, и т, д.— мы построили бы последовательность шаров Ва ~ С" ', которые имеют общую точку 'гоне'П, и эта точка не принадлежала бы никакому в ') Напомним, что через 'а=(зь ..., а„,) мм условились обозначать проекцию в С"-' точки асмСа. ПОНЯТИЕ ГОЛОМОРФНОСТИ 288 1(г) = ~ сь(г„)('г), (3) где й=(йь ..., й 1).
Коэффициенты этого ряда ! д1 11('О, г»1 сь(г„) =— А1 (д'г)з Рис. 81. голоморфны в круге ((„как производные голоморфной по г„ функции (точка ('О, г„) ~)Г). Поэтому функции — 1п~сь(г ) ( »» субгармоничны в 0„. Выберем произвольно число р<)с; так как для любого г„ен У„ (сь(г„)! р~ ь1-» О прн ~й)- оо, то для любого г„ыУ„найдется 111, начиная с ко- 1 торого будет — 1и ~ с~ (г„) (+ 1п р ( О, т. е.
1пп — 1п(сз (г„) (< 1п —. 1$1-+» » р (4) Теперь воспользуемся голоморфностью 1 в тт' 1 ограничена в Й (пусть )1(< М), и справедливы неравенства Коши ) с„(г )(т~ б М Таким образом, существует область 'б, в которой 11('г, г„) ) < .< М для любого г„ее(1„. Остается выбрать в 'б поликруг 'ЯГ= (г: (г,— г~~(< т~, и тогда в Ю='(утХ У„будет (1(<М ь Чтобы доказать ограниченность ( в поликруге с центром в а, придется использовать голоморфность по отдельным переменным. При этом нам потребуется л е м м а Х а р т о г с а, существенно опирающаяся на свойства еубгармонических функций.
Для ее формулировки введем следующие обозначения: =О( а, )г), '1(7=0( а, т) (ти)г — скаляры, т<)с), 0„=(',г„1<1), )т=-')тХУ„, )Г='Ч7Х У„(рис. 81). Ле м м а 3. Если функция (('г, г„) голоморфна по 'г в 'Г для любого г„е— : о„и голоморфна по г в Й, то она голоморфна во всем поликруге Г. < Без ограничения общности считаем 'а='О.
Для любого фиксированного г,енУ„ у» и любого 'гн"(т функция 1 представляется (в силу голоморфности по 'г) сходящимся степенным рядом голомогфнык оункции нескольких пвгвл(киных <гл. < для любого г,АУ„. Поэтому для любого г„епЕ<„и любого )й( М<в< — 1п~сл(г„)~<1п - А. Таким образом, рассматриваемые субгармоиические функции удовлетворяют условиям теоремы о верхнем пределе (п.
46 ч.1). По этой теореме для любого о<р можно найти номер йо такой, что для всех <й()йо и всех г„, <г„1.4 о, имеем 1, 1 — 1п<сл(г„)1 1п —, т. е, 1 са (г„) ( о< а < < 1. Отсюда следует, что ряд (3) сходится равномерно в любом по- ликруге Г' (О, о'), о'<о, но члены этого ряда непрерывны по г, поэтому и его сумма <' непрерывна„а следовательно, ограничена в 11 (О, о').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
