Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(14) ь рзз Таким образом, по определению точками С" являются упорядоченные наборы из пточек,принадлежащих замкнутым плоскостям С. Бесконечными (несобственными) точками будут те точки, хотя бы одна координата которых является бесконечной. Множество всех бесконечных точек С" естественным образом РазбиваетсЯ на и множеств М'=(генС": г,=ос, ененС, |ьУьт).
Точки из М имеют, следовательно, вид (еь ..., е, ь оо, е,ь„..., г ), где ЕР (|ьФч) — конечные илн бесконечные комплексные числа. Каждое М', а значит и множество всех бесконечных точек С", имеет комплексную размерность п — !. Все М' пересекаются в точке (оо, ..., оо). Топология в С" вводится, как в произведении пространств: под окрестностью точки г = 1ет) ен С" понимается произведение окрестностей точек ез в замкнутых плоскостях переменнык г„. В этой топологии пространство С оказывается компактным: из каждой последовательности точек ене=ССо (1|=1, 2, ...) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке ез ен Сч !) Другой способ компактификации С" приводит к так называемому комплексному проективному пространству тз". Введем в пространстве С" однородные координагь! (от|, ..., ы +!)„положив Г+ е,= — ' о=1, ..., и, )ы) ~!У ~~в„)зФО, (15) ыз+! ! Однородные координаты точки еенСь определяются с точностью до множителя пропорциональности (т.е.наряду с (ы|,..., мн+,) ') Компактность С" доказывается совсем просто.
Можно также воспдльзоааться тем, что С" является пронзведеннем компактных множеств замкнутых сфер. КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО координатами точки г будут и (Лвь ..., Ле +1), где ЛзьΠ— любое номплексное число). Обратно, любому набору однородных координат (вь ..., акм), где в +1чьО, по формулам (15) соответствует точка генС" (причем координатам с разными отношениями (!5) соответствуют различные точки).
Чтобы устранить особое положение последней однородной координаты а„+ь мы пополним С" несобственными (бесконечными) точками, и тогда любым наборам однородных координат в=(ыь ..., ювм), 1ы~ чьО, будут соответствовать точки некоторого пространства Р, которое и называется комплексным проективным пространством. Точкам Р", для которых в„+~чьО, по формулам (15) соответствуют точки генС", поэтому Р" действительно пополняет С". Точкам м, для которых о„+1=0, отвечают бесконечные (несобственные) точки. Точнее, точками Р" служат не сами наборы ы=(вь .., ..., авм), (в~ чьО, а классы эквивалентных наборов, если считать, два набора ш' и ы" эквивалентными, когда координаты в,'.и в" ,пропорциональны (а," = Лв„', Л Ф 0), В самом деле, любому представителю такого класса эквивалентности (для которого в„+,ФО) мы ставим в соответствие одну точку з ее С , причем представителям различных классов эквивалентности сопоставляются различные точки.
Такие классы эквивалентности можно наглядно представить при помощи аналитических прямых в пространстве С" ~'. Действительно, эквивалентные наборы ы= (вь ., в„+~), (в) чьО, характеризуют аналитическую прямую в С"+'. (16) м, ''' мкм ' проходящую через начало координат (замена ы любым Лв, ЛФО, не меняет прямой; неэквивалентные ы определяют различные прямые). Поэтому и точки из Р" лучше представлять как такие прямые. В частности, любая аналитическая прямая (16), для которой ы„+,=О, представляет бесконечную точку. Хорошо известна модель проективной плоскости, которая получается из сферы в Р' отождествлением диаметрально противоположных точек (пересечения сферы с прямыми из Р', изображающими точки проективной плоскости).
Точно так же можно представлять при помощи сферы из Р"+' н действительное л-мерное проектнвное пространство. Мы опишем вкратце соответствующую модель для Р". Так как каждая аналитическая прямая из С"+', проходящая через начало, вполне характеризуется единичным вектором оР = —, то Р" можно представлять как множество точек сфе(м( ' ры О =(1г( =1) нз С"+'. при этом, однако, следует отождествить 264 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЪ|Х ПЛ ! точки пересечения 5 с аналитической прямой, изображаю!цей точку Р".
Пусть такая прямая (. задается параметрическими уравнениямиг,= !э,'~ (ч=!, ..., и+1, !1»»1- — 1); так как уравне»»! нием сферы 5 служит ~э~ г,г =1, то для точек пересечения (. » «»! и 5 будем иметь ! й!э,~~ !в,'!»=1, или !й! =!. Отсюда видно, что «! (, и 5 пересекаются по одномерному множеству — окружности (!ь! = !), лежащей на (двумерной) аналитической прямой и на (2п+1)-мерной сфере. Таким образом, точки Р" можно еще представлять как окружности на единичной сфере 5с:С"+' (это находится в соответствии с тем, что Р" имеет действительную размерность 2п).
В частности, окружности, которые получаются в пересечении 5 с прямыми (., для которых !»„41=0, представляют бесконечные точки. В пространстве Р" можно ввести топологию, объявляя «близкими» те прямые (,, которые определяются «близкими» единичными векторами ы' (или те окружности на 5, которые получаются при ее пересечении с «близкими» прямыми). В этой топологии Р" оказывается компактным пространством. 2. Простейшие области. Здесь мы опишем некоторые простейшие примеры областей в пространстве С". Под областью, как всегда, понимается открытое связное множество, причем открытость множества означает, что каждая точка принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью, а связность открытого множества означает возможность связать каждые две его точки г' и г" путем г((): (- С"', где (=(О, !) — отрезок действительной оси, г(() — непрерывная функция, г(0) =г', г(1) =г", причем для любого ( ен ( точка г(() принадлежит этому множеству.
1. Ш а р радиуса г с центром в точке аен С" определяется как множество точек В(а, «) =(ген С"; !г — а! <г), (!) Это — шар с центром а в евклидовой метрике. Границей шара дВ служит (2п — 1)-мерная сфера « 5'" ' = г ен С": ~ ! г, - а, !' = г' »=1 в пространстве !«'". 2. Пол икр уг (или п ол и цилиндр) радиуса г с центром аенС" определяется как множество точек (((а, !.) = (г~ С":(ㄠ— а„~ <г, ч = 1, ..., и). (2у лочплгксное пРООТРАнство 266 Это — шар с центром а в метрике р. Он представляет собой произведение и плоских кругов радиуса г с центрами в точках а„.
Можно рассматривать н более общий случай поликруга с центром а и ве к тор н ы м радиусом г= (гп..., г„): (7 (а, г) =- (ге:— С"; 1 ㄠ— а„! <г„, ч =- 1. .., и). '(3) Границей дУ поликруга является множество всех точек, у которых хотя бы одна координата г„принадлежит границе т-го круга, образующего (l, а остальные координаты ХР (рФР) произвольно меняются в замкнутых кругах.
Эта граница естественным образом разбивается на а множеств Г'=(ес !г„— а„'1=г„, !ха — аи! (ги р+ч) ка'кдое нз которых представляет (2п — !)-мерное образование (ибо 2л координат точки г связаны одним действительным соотношением !Х2 — а„!=г„). Поэтому и вся граница поликруга д0 = Ц Г является (2п — 1) -мерной. Все множества Г переу 1 секаются по п-мерному множеству Г=(ес !х„— а„! =г„, т=1, ..., О), которое называется остовом поликруга и представляет собой произведение п окружностей. Опишем подробнее бикруг радиуса 1 с центром в начале: 0=(а~С ° !21! <1 !22! < Ц. Это четырехмерное тело является пересечением двух цилиндров: Х2.1- Х2 < 1 И Х22+ Х2 < ! Граница его — трехмерное тело дУ=Г'0Г2, где Г'=(1г,! =1, !Х2! < Ц вЂ” также трехмерное тело, которое расслаивается в од- 2Л нопараметрическое семейство кругов: Г' = О (г, = е'а, !Х2 !( Ц, в-о и Г' — аналогичное тело. Остов бикруга Г= Г'ПГ' двумерен.
Это — тор Г=(!Х1~ =1, !Х2(=Ц; в самом деле, отображение г, е в26, гз=е22* гомеоморфно преобразует на Г квадрат (О <О, (2П, 0 <92 <2я) с отождествленными, как указано на рис. 75, противоположными сторонами (ибо ека +2">г в22 ), а такое отождествление дает тор. Тор Г расслаивается на одно- параметрические семейства окружностей (г,=еа~, (г2)=1) и (1г~ ! =1, Хз=еа), 0 <Оь 02<2п (на рис.
75 изображено по одному представителю каждого семейства). Он служит пересечением 266 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [Гл [ двУх тРехмеРных цилиндРов «хи[+газ= Ц и «х'+х~=1) и, очевидно, лежит в [к' на (трехмерной) сфере «х~+гзи+х~~+х,' 2); Таким образом, бикруг геометрически следует представлять так. Нужно взять в С' (трехмерную) сферу «[г(= )Г2) и на ней выбрать тор Г-([г[« =1, (ги! =1), На этот тор нужно натянуть два трехмерных тела Г[=([г,(=1, [гк[(1) и Гз=(«г[«41, [ги~ =1), лежащих в шаровом слое «1е '1г!( )Г2); их совокупность Г[()Г' и будет ограничивать бикруг. Рис. 75. 3.
Поликруговые (или полицилиндрнческие) о б л а с т и в О" определяются как произведения и плоских областей: 17 (71Х..ХТ7 (4) '(поликруги являются частными случаями таких областей). Если все Т7„ — односвязные области, то Р гомеоморфна шару. Гра. ница дВ поликруговой областй Г[ разбивается иа а множеств размерности (2п — 1). Г =(г: г,анде)„г„еиОР, [[чьт). Общей частью всех Г' является и-мерное множество Г=(г: г„жди„, У=1, ..., П), которое называется остовом поликруговой области 17. 4.
Обл асти Рейн ха рта (или акр угов ы е области) с центрам в точке аен Си определяются как области, обладающие следующим свойством: вместе с каждой точкой ге= «гД области КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО принадлежит и любая точка г= (а,+(г,— а)е'" 1, О< О, < 2п. Облазь Рейнхарта с центром в а называется полной, если вместе с каждой точкой ге ей принадлежат и все точки г=(г„), для которых ~г,— а,) ~((г," — а,~, ч= 1, ..., и.
Очевидно, что шары и поликруги являются полными областями Рейнхарта. При и=! неполными областями Рейнхарта будут кольца (г<!г — а~<й), а полными областями — круги (!г — а!<)с). Без Ограничения общности можно считать, что центр области Рейнхарта а=0 (зто достигается сдвигом). Такая область вместе с каждой точкой (г,) содержит все точки с теми же !г,~, ! гг! !г,! !г ! Рас. 76.
ъ=1, ..., и, и всевозможными аргументами. Учитывая это замечание, мы можем рассмотреть отображение г- а(г) = (!г~), ..., !г„!) (5) 2п-мерного пространства О" в и-мерное пространство Й", точнее, в так называемый абсолютный онтонг И",=Р, Х ... Х Р„, и раз где Р+ — — (О, оо) — полуось неотрицательных чисел. Это отображение и; ! '" — ~ И," преобразует область Рейнхарта 1т во множество точек Аз,с:. Р",, которое мы будем называть изображением (или диаграммой) по Рейнхарту области Р. Если Р— полная область Рейнхарта, то Т1~ вместе с каждой точкой (!г",~~ содержит весь прямоугольный параллелепипед ((г,)(!г,'1, ч = 1, ..., и). Описанная диаграмма полностью характеризует области Рейнхарта, а понижение размерности иа и единиц для п=2 и П=З делает это изображение наглядным.
На рис. 76 и 268 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ~ГЛ 1 77 изображены соответственно диаграммы Рейнхарта шара (|г1<Ц и поликруга (1г,~ <Ц для п=2 и 3; на втором из них показаны множества Г' и остов Г. (г.! Г Г' 1гг( Рис. 77. б. Области Хартогса (или полукруговые области) с плоскостью симметрии (г„=аи) определяются как области, обладающие следующим свойством: вместе с каждой точкой г'= (г',) области принадлежит и любая точка г =(ге1, ..., г'„н го 1 га«1 а„+ (г„— а„) е ь 0<0„<2п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
