Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 45
Текст из файла (страница 45)
По этим нулям построим по теореме 1 целую функцию и=! Отношение — является, очевидно, целой функцией без нулей, !о поэтому функция д (а) = )и неограниченно продолжаема го (з) в С и по теореме о монодромии (п. 28) является целой функцией. Таких! Образом, )=ех(о Р Примеры: Мпз 1.
Целая функпия имеет простые нули в точках а„=пп (и=="1, ЖЗ Уатт РЬ2....). Так как ряд 7~ ! — ) сходится равпомепно на любом компакте, то можно положить все р =1, и разложение Вейерштрасса примет вид — =ея!'! И (! — — ) е где я — некоторая целая функция (штрих у произведение означает, что нужно пропустить индекс п=о). Остается найти рл а зто проще всего сделать, 1 проинтегрировав разложение с(н а — —, полученное в предыдущем пункте. А)ы' найдем, что я=о, и разложение примет окончательный вид И (! — — )е ' =Д(1 — —,о) (8) н-— и=- ! (при переходе ко второй форме разложенив мы объединили множители с индексами и н — и, что законно в силу абсол!отпой сходимостн соответствующего ряда).
вгп )' а 2. Целая функция имеет простые нуле в точках а„=а'по (и= ) з ==1, 2, ...), Очевидно, можно положить все р. =О, и разложение Вейерштрасса примет вид (О) Целая функции я = — О, в чем проще всего убедиться, подставив У а вместо а во второе разложение (8). дополнитвльныа воппосы !гл. ч Приведем без доказательства теорему Адамара, которая позволяет извлечь некоторую информаци!о о величинах р и функции й', участвующих в разложении (7), если известно, как быстро растет функция (. Чтобы сформулировать эту теорему, придется ввести понятие порядка целой функции. Пусть дана целая функция 1; обозначим М ()с) = !пах ! ) (г) !. !л! Я (10) Если по некоторой последовательности )с„— оо величина М()с) растет не быстрее какой-либо степени )с, скажем М()с„) (АЯ„, где А=сонэ(, то ( — полинам. Это следует из неравенств Коши для коэффициентов разложения 1(г) = .~~! с„г": имеем )ек)~ (" ~(А)(п ~, Ап откуда, устремляя и- оо, находим, что ск=О при й>гп.
Если отбросить этот тривиальный случай, то для оценки скорости роста М()с) надо взять функции, растущие быстрее любой степени В Понятие порядка возникает при сравнении М(1с) с функциями еи". Именно, порядком целой функции )". называют нижнюю грань р таких чисел н, для которых, начиная с некоторого !с,=Яп()!), имеет место неравенство М()т) <е"" (11) формулу (12) можно принять за определение порядка. (если таких чисел )! нет, то полагают р=оо и называют 1 функцией бесконечного порядка).
Этому определению можно придать более удобную форму, Число р=!п(и можно определить еще так: для любого а,«0 М®)<ее~, начиная с некоторого )(п(е), МЯ))е"и ~ по некоторой последовательности Я=)с„ - о . Если прологарифмировать дважды эти неравенства, мы получим, что 1и !пМ Я) !пк <р+е, начиная с некоторого )сп(е), )р — а !п!пм(Р) 1и к по некоторой последовательности )(„ -+ по. Строя такие последовательности )с„ для е = ~ (й = 1, 2, ...), а затем выбирая из !м ! них диагональную последовательность Я„=)с„', мы увидим, м) !П1и М())) что по ней — 1 — — -«р.
Поэтому порядок целой функции пк 1 1и 1п М ()1) . (12) 1и )( й !з) РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛЫХ И МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 235 Пример. Порядки целых функций ео', з!Цх, сов "утх и е' 1 соответственна равны и, 1, — и оо. М ()?) .. гтя (13) (если таких чисел т нет, полагают о=ее и называют ? фуинцией максимального тина; при 0<а< ее говорят, что 1 среднего тина, а при о=Π— минимального типа).
Повторяя рассуждения, проведенные для порядка, можно получить для типа формулу — 1и М ()1) а= 11ш ин яи (14) Т е о р е м а А д а м а р а '). Если ? — целая функция конечного порядка р, то в ее разложении Вейеригтрасса можно принять р„=р=Е(р) и в качестве д взять многочлен степени не вьиие Е(р) (через Е(р) обозначается целая часть р). 3!из П р и и ер. Функция — порядка 1, следовательно, в ее разложении г Вейерштрасса можно принять д(г] =аг+Ь; н ! полагая здесь г=О, находим Ь=О; а тах хах левая часть и бесконечное произведение — четные функции, то непременно а=О.
Мы дохазали, что евмО, Приведем теперь обобщение теоремы Вейерштрасса на случай произвольной области Р. Без ограничения общности считаем, что Р содержит бесконечную точку и что граница дРчь(Р(. Теорем а 2. Какова бы ни бьсла последовательность точек а„еиР, не имеющая предельных точек в Р, существует голоморфная в Р функция 1, которая имеет нули во всех точках а„ и только в этих точках е), ч Последовательность а„ считаем бесконечной. Для каждой точки а„найдем точку а„ее дР, ближайшую к а„; величина ') Доказательство теоремы Адамара можно найти в книге А. И.
Марку. шевича, цит. на стр. 20?. ') Порядок нуля ) в точке ан таков, сколько членов, равных а„, имеет данная последовательность. Для сравнения скорости роста целых фуихций одного нарядна р вводят понятие типа. Именно, тином целой функции порядка р называют нижнюю грань а таких чисел т, для которых, начиная с нехоторого )?е=)га(т), имеет место неравенство ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ (гл. а гл=)а„— а„)- О при а- ао.
Для всех ге-:()г — а„!>Рл) справедливо разложение !и = 1и ~1— г — а„) / а„— ад 1 Ъ~ (ад — ад)" ал г-ал ~ д(г-ад) г а при )г — а„)>2г„оно сходится равномерно по г. ПоэтомУ пРи (г — а„) >2гл можно выбРать натУРальное число ра так, чтобы было "д рл д+~~~ (' ') < 1 (в=1 2, ...). (16) — д(г — ад)» гд Прн таком выборе р„бесконечное произведепне дд (дд — ад)" ) (г) =Ц( — ") е" ' (16) сходится на каждом Кк: :д. В самом деле, для любого такого К найдется число М такое, что )г — а„)>2г„для всех п)~ Ф и всех гее К Ряд из голоморфных на К функций в силу (1о) сходится на К равномерно, следовательно, дн голо- морфна на К, а произведение Рд ("д "д) Ц(г — ад) г 1 (» д) га(г) голоморфно и не обращается в нуль на К.
Поэтому и функция 1, определяемаьагпроизведением (16), голоморфна на К и обращается на К в нуль лишь в точках ад ~ К. Так кан К вЂ” произвольный компакт из Р, то 1 удовлетворяет условиям теоремы ь 3 а меча ние. Если предположить, что область 0 содержит точку а=О, которая не является нулем искомой функции 1, то формуле (16) можно придать несколько иной вид. Заменим в нлзложгния цялых н мвяоыояаных ахнкции 237 ь !з! ! ! ! (16) х на —, а„на — и а„па —; получим аь " а„ ' В частности, если Р= С, то надо положить все сс„ =со, и тогда (17) перейдет в формулу Вейерштрасса (5). Мы закончим параграф двумя важными следствиями теоремы Вейерштрасса.
Первое из ннх выражает связь между мероморфными и голоморфными функциями. Именно, мероморфная в области О функция !' в окрестности каждой точки а ~О представляется как отношение двух голоморфных в этой окрестности функций: 7(г) = — (в окрестности правильной точки %а (е) '~п (е) можно принять ф,(г) =1, а в окрестности полюса !р,(г) = =(г — а)!', где р — порядок полюса) Оказывается, что можно построить и глобальное представление такого рода, действующее во всей области О. Теорема 3.
Любую функцию !', жероткорфную в области О, люжно представить как окно!иение двух голоморфных в О функций (в частности, если О=С, как отношение двух целых функиий). ч Множество полюсов мероморфной в области О функции не может иметь предельных точек в этой области (отсюда следует, что оно не более чем счетно). Пусть а„ вЂ” последовательность полюсов ! в О, причем каждый член повторяется в ней столько раз, какова кратность полюса.
По теореме 2 построим голоморфную в О функцию ф, которая имеет нули во всех точках а„ и только этих точках. Произведение 7 ф=~, очевидно, голоморфно в Р (каждый полюс погашается нулем ф соответствующего порядка), поэтому ! = — — нужное представле- % Ф ние > 3 а м е ч а и и е. Очевидно, что и, обратно, отношение голоморфных в области О функций является мероморфной в О функцией. Поэтому эквивалентны следующие два определения: 1) функция называется мероморфной в О, если она не имеет в О других особых точек, кроме полюсов; 2) функция называется мероморфной в О, если она представима как отношение функций, голоморфных в О. Второе следствие теоремы 2 выражает результат, объявленный в п. 26. Мы назвали там область 0 областью голол!орфности дополнитвльные ВОпРОсы 1гл. ч 2зв 5 14.
Гармонические и субгармоннческие функции Мы закончим первую часть описанием двух классов действительных функций, тесно связанных с голоморфными функциями, 44. Гармонические функции. О п р е д е л е и и е. Действительная функция и класса Се называется гармонической в области 1)с: С, если всюду в (1 удовлетворяется уравнение Лапласа леи Веи — + — =О. дка Вр* Дифференциальный оператор в левой части (!) называется оператором Лапласа и обозначается символом Ь; нетрудно видеть, что ~а .в)~в .в) (2) Связь гармонических и голоморфных функций выражается следующими двумя теоремами.
Теорема 1. Действительная и мнимая части любой функции 1, голоморфной в области с), являются гармоническими в этой области. < Имеем и = Ке1 = — () — 1), о 1гп 1е —. (1а — )), 1 1 2 21 ') Доказательство существования такой последовательности предоставляетса читателкь функции 1, если 1 голоморфна в 0 и не продолжается аналитически ни через одну точку границы д1г. Теорема 4. Любая область 0с С является областью голоморфности некоторой функции, ч Построим последовательностк- точек а„~ 1т так, чтобы она не имела предельных точек в О, но чтобы каждая точка д11 была предельной точкой этой последовательности ').
По теореме 2 строим голоморфную в с) функцию 1, имеющую точки а„и только эти точки своими нулями (и, следовательно, пе тождественно равную нулю). Функцию 1 нельзя аналитически продолжить ни через одну точку д0, ибо если бы было возможно такое продолжение в точку а еи д0, то а была бы внутренней точкой области голоморфности функции 1, а так как а— предельная точка нулей 1, то по теореме единственности тогда 1=0 ь $ и! ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУВГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ езэ д!и ! д д( откуда видно, что и, оенС~. Далее, — — — =О (у нас ==О в силу голоморфности г, а функция = антиголоморфна) д( д! дх = дх дас и аналогично = = О !Р дх дв Теорема 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
