Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Приведем, также без доказательства, несколько более точных результатов о граничном поведении конформных отображений областей с жордановыми границами при дополнительных предположениях об этих кривых. Через д0 и д0» будем обозначать границы областей и через 1: 0 — '0* — конформное отображение. 1 (Ф. и М. Риссы, И. И. Привалов). Если д0 и д0*— спрямляемые жордановы кривые, то 1 продолжается на д0 как абсолютно непрерывная функция длины дуги. Производная 1' почти в каждой точке ьенд0 (в смысле линейной меры) имеет угловое граничное значение') )'(ь), конечное и отличное от нуля, и для любого множества точек ес д0 мера образа е«=1(е) равна шез е* = )г 1 ('(г) ~) с(ь ~; е' (2) где О и соответственно О" — углы наклона касательных к кривым д0 и д0«в точках Ь и Ь*=)(Ь). П! (К ел лог). Если в условиях и обозначениях предыдущей теоремы, кроме того, углы О и О", как функции длины дуги я и я* соответственно на д0 н д0", удовлетворяют условию Лип- шица ) О (я,) — О (я,)! < Уг! я, — я, Г, ! О'(я*,) — О' (я,)! < Уг! я", — я,, '!", где й и сс, 0<а <1,— постоянные, то производная )' продол- жается до непрерывной и отличной от нуля функции в .0 (ото- бражение «конформно» на границе).
1) Подробнее об этом см., например, в книге; А. И. Маркушев и ч, Теория аналитических функций, т. !1, «Наука», М., 1968. ') угловым граничным значением функции гр в точке й~д0, где д)у имеет касательную, называется общее предельное значение ф по всем некасательиым путям уем0 с концом в точке Ь. в частности, множествам ес:д0 меры О соответствуют множе- ства и*с:д0» меры О.
П (Л и н д е л е ф). Если д0 и д0« — гладкие жордановы кривые, то агд)'(г) продолжается до непрерывной функции в0, причем для всего феи д0 агп)'(ь) = О* — О, ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОИ ТЕОРИИ 1гл. Рц 208 [Ч (Шва р ц). Если д6 и д)9» — аналитические жордановы кривые'), то ) продолжается до голоморфной функции в Д. Доказательство утверждений 1 — П1 можно найти в книге Г. М. Голузина «Геометрическая теория функций комплексного переменного» (М. — Л., 196?); утверждение [Ч мы докажем в следующем пункте.
Здесь приведем только более простой обратный принцип соответствия границ: Теорема, Луста даны области ?) и В«, компактно принадлежащие С, с жордановыми границами у и у«; если функция 1 голоморфна в области )9, непрерывна в О и устанавливает взаимно однозначное отображение у на у*, то и отображение ?: 0- )з' взаимно однозначно (т, е, [ — конформный изоморфизм). < ПУсть гво — пРоизвольнаЯ точка 0«; так как 1 иа У пРинимает лишь значения из у*, то (Фшо на у и, в силу непрерывности, )Фшо в некоторой граничной полосе 6 области й. Величина (4) (где ага обозначает какую-либо непрерывную вдоль пути у ветвь аргумента и Ỡ— прирашение этой ветви на у), очевидно, непрерывно меняется при гомотопной деформации пути в полосе 6.
Но так как величина (4) может принимать лишь целочисленные значения,то она остается постоянной при такой деформации. По условиям теоремы отображение ?: у- у" гомеоморфно, следовательно, Л/= — Л»*ага(ш — гво) =1, 1 2п ибо при однократном обходе у вектор ш — ша делает один поворот (рис. 6?). В силу сказанного выше следует, что и для любого пути у, гомотопного у в полосе 6, имеем б-, ага(?( ) — гво) =1. 1 ') Дугу у называют аиалагаческой, если ее можно задать путем а=а(1), с~в[а, р[, где а(1) — аналитическая функция действительного переменного 1 ца отрезке [и, р) (т. е. функция, представиман в некоторой окрестности каждой точки Геы [и, Р] в виде суммы ряда по степеням (1 — 1»), причем и'(1) Ф 0 на [а, Р[ Из теоремы Хейие — Бореля вытекает, что такая функция а(1) пропродолжается до голоморфной функции комплексного переменного 1 а некоторой окрестности отрезка [сс, р).
Поэтому аналитическая дуга — это голоморфный образ отрезка. Замкнутой аналитической кривой называют голоморфный образ окружности [[1[= Ц в плоскости параметра, при котором а'(1) ФО на окружности; если отображение а=а(1) егце и взаимно однознач. но, то у называют аналитической жорданоаой клавой. а СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ И ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 209 К области Р ~ Р, ограниченной кривой у, применйм принцип аргумента (п. ЗЗ), по которому уравнение )(е) =ша имеет в Р (а значит, и в Р, ибо в полосе 6 нет и1в-точек) точно один корень.
Так же доказывается, что для любой точки н11ЯРР число нулей функции 1" (е) — и11 в области Р, равное У = — л,.ага(и — п1 ), 1 2В 1 равно О, ибо при обходе уа вектор ш — и11 не делает ни одного полного оборота (рис. 67). Из принципа сохранения области РШ, Рис. 67. (п. 34) следует, далее, что 1 не может принимать в Р и значений из у*, ибо в этом случае опа должна была бы принимать значения из дополнения к Р*.
Таким образом, 1 один и только один раз принимает в области Р любое значение и1а из Р* и не принимает никаких других значений, т, е, ( взаимно однозначно отображает Р на Р" Р 3 а м е ч а н и е. В доказанной теореме Р может быть произвольной областью на С (с жордановой границей), но Р" обязана быть компактной в С, ибо функция 1 должна быть непрерывной в Р в смысле 1:. Последнее условие существенно: в самом деле, функция 1(г) =е' голоморфна в верхней полуплоскости Р=(1птг>0) и взаимно однозначно отображает дР (ось х) на ось и — границу Верхней полуплоскости Р*=(1тпю>0), но в области Р отображение ( не взаимно однозначно. П р им е р.
Изучим отображение верхней полуплоскости Р=(1пт е>0), осуществляемое эллиптическим интегралом первого рода р(е, й) = )' (1 — ') (1 — аага) где й, 0<й<1,— параметр и рассматривается голоморфная в Р ветвь корня, которая на отрезке 1=(0, 11 оси, х принимает положительные значения. 14 В. В. Шабат 1гл. щ 210 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Функция Р(е; /с) непрерывно продолжается в О, и мы выясним сначала, как она преобразует границу дВ, т. е. ось х. Когда е=х описывает слева направо отрезок 1=10, )), интеграл (5) » Р(х, й) = о )/ (1 — »») (! — /с!»2) принимает положительные (в силу сделанного выбора ветви корня) значения, возрастающие от 0 до значения (6) // л и т.
е. Р устанавливает гомсоморфнзм отрезков [О, )! оси х н 10, К) оси и. При переходе через точку е=! один из четырех линейных множителей подкоренного выражения, именно 1 — х, меняет знак. Так как мы рассматри- У !) ваем ветвь корня, голоморф- ную в верхней полуплоскости Х' Х' /' / ./ Х Х /), то мы должны считать, что -)//с -/ 1/ / !// такой переход происходит в результате обхода точки г= 1 -Ич// д, /!»г// по малой полуокружности у~).) (пунктир на рнс.б8). В резуль- Х тате такого обхода агя(! — Е) / / меняется от 0 до — и, а аргу-// менты остальных множителей не меняются.
Поэтому иа отРис. 66. г 1з резке // = ( 1, — ~ оси х аргумент корня равен — —, а аргумент подинтегрального выражения в (5) равен —; значения Р на отрезке // можно, следовательно, представить в виде ! » Р(., й)= +,( и» с)» са-'»тс-тю '~ гс-*|с-»**~ о ! !/х =К+! ! )' (»~ — 1) (1 — /!~»') $12! СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ И ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 2!! где в последнем интеграле корень опять принимает положительные значения. Когда х описывает слева направо отрезок П= = [1, — ] оси х, точка Г"(х, ») описывает снизу вверх отрезок 11 (К, К+!«('] плоскости и(, где 1«» К« «!х «ТХ:о(((-к*( ' 1 (7) 1 При переходе через точку г = — еще один множитель падко=» ренного выражения, (1 — »х), меняет знак, Как и выше, мы убедимся в том, что рассматриваемая ветвь корня на луче Г! 2!! =] —, Оь) ОСИ Х ДОЛжНа ИМЕТЬ аРГУМЕНт — П, т. Е.
ПРИНИМатЬ =1» ' отрицательные значения. Значения Г иа этом луче представляются, следовательно, в виде 1Ф к р(», »)=~+~ + ~ ь ! !и х = К+ !'К— (гх „, к (*' — (( ((*' - ( ' где в последнем интеграле корень принимает положительные 1 значения. Замена переменных х= — показывает что »е Ю ! «1х «22 1!» О Г(р-(((к*'-(( (( -(т(( -1( 1 поэтому луч ~ — —, Оь) функция Г преобразует (и притом гомеоморфно) в отрезок Я+«К', «К'] плоскости и( (см. рис. 68), Совершенно аналогично проверяется, что функция г" гомеоморфно преобразует отрицательную полуось х в левую половину контура прямоугольника, изображенного на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
