Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

68 (совокупность отрезков 7', !'!" и Ш'). Применяя принцип соответствия границ, можно утверждать, что эллиптический интеграл первого рода Р(г, ») реализует конформное отображение верхней полуплоскости 0 на прямоугольник с вершинами «К, «К+!«А', где величины «( и К' выражаются через параметр й по формулам (6) и (7). 40. Принцип симметрии. Здесь мы рассмотрим один специальный случай аналитического продолжения, относящийся к ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 212 [гл.

т конформным отображениям. Предварительно докажем так называемую лемму о непрерывном продолжении. Лемма. Пусть непересекающиеся области 0~ и О, имеют общий прямолинейный участок границы у'), а Функции 1'1 и (а соответственно голоморфны в О, и Ра и непрерывны на множествах 01 () у и Ре () у (рис. 69).

Тогда, если 1, (г) = 1а (г) для всех г ее у, (1) то Функция ) (йг= ) 1й + ) (йг, (3) да, да, Ркс. 69. и достаточно показать, что каждый из интегралов справа равен нулю. Рассмотрим любую нз частей Ь1 и йв и для простоты обозначим ее снова через а, Обозначим через Т„трапецию, которая отсекается от Л прямой, параллельной у и отстоящей от у на расстоянии й; пусть Ъ,=й Тл (рис. 69). По теореме Коши интеграл от ~ по дЬл равен нулю, следовательно, ~~йг= ~~ г+ ~(йг= ~ (йг. дд дта дал дтл (4) Пусть у' и у" — основания трапеции Тл (предположим, что они ориентированы одинаково); так как длины боковых ее сторон стремятся к нулю при и- О, а функция 1 ограничена в Ь, то 11й = ) 1й — 1(й +0(й). дтл ') Отреаок у считается открытым (беа концов).

)1(г) для всех ген Р, ()у, 1'в(г) для всех г~ 0 (2) голомоРФна в области РЯу()О,=Р м Из условий леммы видно, что 1 непрерывна в Р; для доказательства ее голоморфности по теореме Мореры (п. 20) достаточно проверить, что интеграл от нее по границе любого треугольника а АР равен нулю. Если Л компактно принадлежит Р„или Рм то это следует из теоремы Коши. Остается рассмотреть случай, когда Ь () у Ф О. Пусть у делит а на две части б~ и ас, по свойствам интегралов й 13! соответствие границ и и~иннин симметрии 2!3 Обозначим через ),(г) ч ха+я(г — ге) линейное преобразование у' на у"; делая в интеграле по у" замену переменных а-+ Х(г), получим Так как при Ь- О функция ).(г) равномерно на у' стремится к г, я- 1 и ! равномерно непрерывна в гз, то подиитегральная функция в (5) равномерно стремится к нулю, а значит, интеграл от 1 по дТь стремится к нулю при й- О.

Но из (4) видно, что он не зависит от Ь, следовательно, он, а значит и интеграл по дгз, равен нулю. Если Ь пересекается с у лишь стороной нли вершиной, то доказательство очевидным образом упрощается м 3 а м е ч а н и е. Если воспользоваться усиленной формой теоремы Коши, в которой предполагается, что функция голоморфна в области и лишь непрерывна в ее замыкании, то доказательство леммы существенно упрощается: по атой теореме каждый интеграл в правой части (3) равен аулки Функцию )', определенную формулой (2) в области О, можно рассматривать как аналитическое продолжение каждой из функций )г и )а'). Лемму о непрерывном продолжении поэтому можно читать так: если две области 0„имеют общий прямолинейный участок границы у и функции 1„, голоморфные в 0„ непрерывно смыкаются на у, то они и аналитически продолжают друг друга.

Для дифференцируемых функций действительного переменного аналогичное утверждение, конечно, несправедливо (пример: 0т и 0з — отрезки ( — 1, О) и (О, !) и 1(х) = )х)). Перейдем к доказательству принципа симметрии. Теорема ! (Риман — Шварц). Пусть области О, и 0, имеют жордановы границы д0, и д0"„причем д0, содержит отрезок прямой или дугу окружности у, а д0*,— такой же отрезок или дугу у", Если функция )г конформно отображает 0, на 0и причем )г(у) =у', то )г допускает аналитическое продолжение в область 0а, симметричную с 0г относительно у, и продолженная так функция конформно отображает область- 0~ () у 0 0з на 01() ув() 0;, если 01 П 0з и 0~ П 0з= Я (рис.

70). м а) Рассмотрим сначала частный случай, когда у и у* представляют собой отрезки действительных осей. Определим ') Точнее: злемент (В, П является непосредственным аналитическим продолжением каждого нз злемеитов (!)ой) и (!)т, )з), основы Геоыятгическоя теОРии !гл, !ч 2!4 в области Рм симметричной с Р, относительно отрезка у, функцию й(г) =Йй) (б) Так как при ген Р, точка ген Рь а функция ~,(г) голоморфиа в Оь то функция Яг) =(,(г) антиголоморфна в Ра (см. п. 7) и, следовательно, (с(г) голоморфна в Рь По принципу соответствия границ (, непрерывна в Ль причем по условию теоремы 7, на у принимает действительные значения (принадлежащие отрезку у").

Поэтому, когда точка г ен0, стремится к точке хну, то г- х и !,(г) - (~(х)=(~(х). Таким образом, 7,(х) =7,(х) для всех х еи у и функции 7! и 7з удовлетворяют условиям леммы о непре- 7" рывном продолжении. По этой лемме функция 1 / ( (! (г) в О, () у, .!) [ 7 (г) в 0 Рис 70. голоморфна в области 0~()у()0ь По построению 7 конформно отображает эту область на Р',() у*() 0*. Для частного случая у, у' ~)с теорема доказана.

б) Общий случай приводится к этому частному дробно-линейными отображениями. В самом деле, пусть А и 7с — дробно- линейные отображения, переводящие соответственно у и у* в отрезки действительных осей (они су!цествуют по доказанному в п. 1О). Функция д~=) ° !; ° 7-! по доказанному в а) продолжается аналитически в область Х(0,), симметричную с Х(0,) относительно отрезка Х(у), причем продолженная функция д, отображает Х(0,) на область 7с.(0*.) (мы пользуемся тем, что дробно-линейные отображения сохраняют симметричные точки, см. и.' 9). Но тогда функция 7 = Х ' ° д о Х является аналитическим продолжением функции (, в область Рз и отображает Рт на Рз м 3 а меч ание.

Отрезок у* в доказанной теореме может содержать бесконечную точку; тогда продолжение ! будет мероморфным: функция ) окажется голоморфной в 0 всюду, кроме точки гоен у, соответствующей бесконечной точке, где она имеет полюс. Этот полюс непременно первого порядка, ибо 7 однолистна в области О (в окрестности кратного полюса функция многолнстна, см. п. 24). В качестве примера применения принципа симметрии приведем доказательство теоремы о продолжении, из которой $ !21 соотвгтствип границ и принцип симмвтрии 216 следует сформулированное в предыдущем пункте утверждение [чг.

Теорема 2 (Шварц). Если грани!(а области Р содержит аналитическую дугу у, то конформное отображение !' этой области на единичный круг можно аналитически продолжить через у. < Пусть у задается при помощи функции г=г(!), аналитической на отрезке (а, Я«Й и такой, что г'(!) ФО (см.

определение в сноске на стр. 208). Для любой (ее=[а, Р) найдется окрестность И=($ ~ т,: [1 — 1а( (г), в которую г(1) продолжается, как голоморфная функция комплексного переменного, причем в силу условия г'(!а) ФО можно считать, что г(1) однолистна в [l. Функция г=г(!) отображает диаметр 6«У, состоящий из точек действительной оси у, на дугу Та «у; мы обозначим через У+ тот из полукругов [т"чб, который г(!) отображает в й. Функция у(г) =)" ° г(1) в [г'" удовлетворяет условиям принципа симметрии (она преобразует 6 в дугу единичной окружности) и, следовательно, аналитически продолжается в [у.

Отсюда вытекает, что [(г) аналитически продолжается через дугу та м Принцип симметрии полезен для фактического построения конформного отображения областей, обладающих свойствами симметрии. Рис. 71 ') Точнее, продолжается и е ром о р фи о, ибо в бесконечной точке об. ласти Р функция имеет полюс [первого порядка).

П р им е р. Область Р представляет собой внешность объединения отезков [ — 1, ![ и [ — ~', 6; обозначим через В~ ее верхнюю половину [рис. 71) 01 однолистна функция в~=аз [в Р эта функция неоднолистна), которая отобра- й жает В~ на плоскость с выброшенным лучом — 1 ~(йе ю1(» чь. Поэтому функция ю='тгаз+ 1, Ю, где выбрана нужная ветвь корня, отображает В~ на верхнюю полуплоскость Р!. Отрезок у, соеди. (г) ияющий через со точки ж!, переходит при этом в отрезок у*, соединяющий через сч точки чс т 2. -х а Следовательно, к последней функции применим Рг принцип симметрии, по которому она продолжается аналитически ') в область Вз, сниметричиую с В~ относительно у, и продолженная функция м=У а'+ 1 [мы обозначаем ее тем же символом) отображает В на внешность Р' отрезка — т 2 т'2 ). Внешность отрезка уже совсем просто отображается иа каноническую область (папример, линейной функцией мы отображаем 0* на внешность отрезка [ — 1, 1[, а затем применяем одну из ветвей функции, обратной к фунции Жуковского из и.

117 — получим отображение на внутрен- ность или внешность единичного круга). ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ (гл ге 41. Эллиптический синус и модулярная функция. Рассмотрим еще два примера более общего характера. а) Э л л и и т и ч е с к и й с и н у с. В и. 39 мы убедились в том, что эллиптический интеграл первого рода ого о 1' (! — м') (! — (г'ого) где )г, 0<я<1, — параметр и рассматривается одна из ветвей корня в верхней полуплоскости (1гп ю>0», конформно отображает эту полуплоскость на прямоугольник )7о с вершинами ч- К, ч-К+!К'.

Обозначим через ш=зп (г )г) (2) Т ! 7Е 1 или, короче, иг=ап г абрагцение интеграла (1) — функцию, голоморфную в прямоугольнике )со и отображающую его конформно на верхппг нюю полуплоскость (!Гп а)0»; функция (2) называется эллиггтичесним синусом. Так как функция зп переводит отрезок [К, К+ гК'» в отрезок РВС.

Характеристики

Список файлов книги