Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 37
Текст из файла (страница 37)
По формулам (9) получаем прн и)! в! е.ес г(а 1(а) и! н рял Ьурма>га — Лагранжа имеет вид а-д(м)= 7~ ю". ъч (ал) и! (!О) п=г Можно указать также обобщение ряда Бурмана — Лагранжа на случай )"'(гс) = .=)гп 'г(го) =О, ((Рг(гс)чьО, р)~ 2, но мы на этом не останавливаемся. 35. Принцип максимума модуля и лемма Шварца. Принцип максимума модуля выражается следующей теоремой: Теорема !. Если функция !' голоморфна в области Е) и ее моду>ть ((! достигает (локального) максилгума в некоторой точке гоееЕ), то ( постоянна. м Воснользуемся принципом сохранения области. Если (4=сонэ(, то она преобразует г„в точку и>с области П*.
Сушествует круг ((в — и>е(<(ь)с:с>', а в нем найдется точка вг такая, что )и>г!) (и>в(. Значение в! принимается функцией ( в некоторой окрестности точки г,, а это противоречит тому, что !) ! достигает максимума в этой точке м Учитывая свойства функций, непрерывных на замкнутых множествах, принцип максимума модуля можно сформулировать еще и так: Теорема 2. Если функция !' голоморфна в области Х) и непрерывна в .(), то !)'! достигает максимума на границе дВ.
м Если (=сопз! (в О, а значит, в силу непрерывности и вс)), то утверждение тривиально. Если (~сонэ(, то )(! не может достигать максимума в точках Е), а так как этот максимум должен достигаться в П, то он достигается на д0 ь Аналогичное утверждение для минимума модуля, вообще говоря, несправедливо. Это видно из примера функции ((г) =г в круге ((г(<!) (минимум )(! достигается в точке Е=О). Однако справедлива такая Теорема 3. Если функция !' голоморфна в области Е) и не обращается в нуль в этой области, что !!'! может достигать (локального) минимума внутри й лищь в случае )=сонэ!. Для доказательства достаточно применить теорему ! к функции у = —, которая голоморфна в Ю, ибо )чьО, 1 Полученные результаты показывают, что поверхность модуля голоморфной функции, т.
е. поверхность в пространстве (х, у, р) с уравнением р= (((г) ! (см. п. 5), имеет некоторые структурные гвомнтничнскив принципы )зз % ю) особенности. Именно, она не может иметь локальных максимумов и локальных минимумов, если последние не находятся на уровне Р=О (точки а и Ь на рис. 64). Касательная плоскость к этой поверхности горизонтальна в тех и только тех точках, где обращаются в нуль обе производные дН) дН) дх ду и или— что то же самое — обе производные д)П д)П дз дх и = (стационарные точки).
Простой подсчет показывает, что ') откуда видно, что стационарными точками функции ) могут быть либо ее нули (минимумы !)) на уровне Р=О, такие, как точка с на рис. 64), либо нули ее производной (' (точки перевала Р=)гагр поверхности модуля, такие, как точка с( на рис. 64). Принцип максимума модуля имеет важные применения в теории функций. Например, при помощи этого принципа легко объяснить, почему теорема Рунге (п. 22) несправедлива для многосвязных областей.
В самом деле, в неодно- а связной области 0 существует замкнутая жорданова кривая у, внутри которой есть хотя бы одна точка гофф. Если не- Рас, ек которая функция приближается полиномами равномерно на любом компакте К ейй, то существует последовательность полиномов Р„, равномерно сходящаяся к ) на у. По критерию Коши для любого е)0 найдется номер У такой, что для всех ис, гг ~~ ту' в любой точке зину )Р (г) — Р„(г) )<е. По принципу максимума модуля эти неравенства справедливы и во всех точках области 6, ограниченной кривой у, а отсюда по тому же критерию последовательностью Р„сходится равно- ') Формулы ()) получаются формальным лифференцированием по г и д функции ))) = )'7~; законность этого следует из очевидных формул д))) иит+оп, д) П иии+ оси дх )П ' ду 13 В.
В. Шабат ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 1Гл. Гт 194 мерно в 6. По теореме Вейерштрасса (п. 22). !пп Р„является функцией, голоморфной в 6. Но в точках 6()0 этот предел совпадает с 1, следовательно, ) голоморфно продолжается в.6 и, в частности, в точку гь. Так как не любая функция из Н(0) 1 обладает этим свойством (например, — им не обладает), и гс то и не все функции из Н(0) можно равномерно приблизить полиномами, вопреки тому, что утверждает теорема Рунге. Простым следствием принципа максимума модуля является также Лемма Шварца. Пусть функция 1 голоморфна в круге 0=(',г!<!), по модулю не превосходит там 1 (т.
е. ~1(г) ! <1 для всех гееУ) и 1(0) =О. Тогда для всех г~ У (((г) ! < 1г(, (2) д ' т' ', в' и ,7 причем если равенство достигается хотя в одной точке гт'=.О, то оно справедливо всюду в У, и в этом случае !(г) =е"г, Рис. 65. где а — действительная постоянная. ч Рассмотрим функцию ср(г) = —; в силу условия )'(0) =0 ((г) . она голоморфна в У. Рассмотрим произвольный круг У„= =(',г)<т), г<11 по теореме 2 функция !ср) достигает максимума 1 на его границе у„=(1г) =т). Но на у„имеем !ср!(~ —, ибо по условию !11<1, поэтому всюду в 0„ 1 р (г) 1(~ —,.
(3) Фиксируем г и устремим т к 1; в пределе из неравенства (3) получим, что !ср(г)1<1, т. е. что 11(г) ~ <1г) для всех гяур„. Так как любую точку гепУ можно погрузить в некоторый круг Н„т<1, то неравенство (2) доказано. Если в какой-либо точке ге~У в (2) имеет место знак равенства, то !Ч~~ достигает в ней максимального значения, равного !. Тогда ср является постоянной, модуль которой, очевидно, равен 1, т.
е. сь(г) =ееч и 1(г) =е*"г. ь Из леммы Шварца следует, что при конформном отображении ! круга (~г! <!) в круг ()гс) <!), переводящем центр в центр, образ любой окружности (1г! =Г) лежит внутри круга (!ш! <Г) (рис. 65). При этом образ (!г) =т) может иметь общие точки с (1и) =т) лишь в том случае, когда ! сводится к вращению вокруг точки г=О, 19Г» ТЕОРЕМА РИМАНА $11. Теорема Римана 5»Ц Любая голоморфная и однолистная в области 0 функция ) осуществляет конформное отображение этой области, ибо по доказанному в п. 34 из однолистности следует, что !'чьО ни в одной точке О. Отображения, осуществляемые данными функциями, мы неоднократно рассматривали выше. Здесь мы рассмотрим более трудную и более важную для практических целей обратную задачу: Даны две области 0» и О» и требуется найти (однолистное) конформное отображение ): 0» — О» одной из них на другую. 36.
Конформные нзоморфизмы и автоморфизмы. Определ е н и е. Конформное отображение с области О, на Ос будем называть еще (конформным) изоморфизмом, а области, допускающие такое отображение,— изоморфньсми. Изоморфизм области на себя называется (конформным) автоморфизмом. Конформные изоморфизмы называют также голоморфными изоморфизмами или, короче, голоморфизмами. Легко видеть, что совокупность автоморфизмов ч»: О- О произвольной области Р образует группу, которая называется группой автоморфизмов этой области и обозначается символом Л (О).
В качестве групповой операции принимается композиция »р»о»р» (т. е. автоморфизм»р» [»р»(г))), единицей служит тождественное отображение е: г- г, а обратным к»р элементом — обратное к ш=»р(г) отображение г= р»(ш). Богатство группы автоморфизмов области позволяет судить о богатстве конформных отображений на нее другой области. Это показывает Теорема !.
Если )ь. О» - О» — какой-либо фиксированный изоморфизм, то совокупность всех изоморфизмов Р, на Р, дается формулой »р -+ 1 а»р о с (2) 13ь где»ренЛ(0») — произвольный автоморфизм области 0 . Каков бы ни был автоморфизм ч» енЛ(0»), композиция' »ро!ь будет, очевидно, конформным отображением О, на О,. С другой стороны, пусть ): О, — Р, — произвольный изоморфизм; тогда»р=1о!ь будет конформным отображением Р: на себя, т.
е. автоморфизм Ом а из этой формулы следует '(1) 3 а м е ч а н и е. Любое конформное отображение ! области Р на 0* устанавливает изоморфизм Е: Л(0) — Л(0*) групп автоморфизмов этих областей, Этот изоморфизм устанавливается по формуле ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. Ю 196 В самом деле, для любого»р~Л(В) отображение»р'= =( ° »р ° [-», очевидно, является автоморфизмом В*, т. е. принад- лежит Л(В*). С другой стороны, для любого»р*евЛ(//ч) отобра- жение [' ' ° »р* ° [=»ренЛ(0), т.е. г" взаимно однозначно преобра- зует Л(//) на Л(//*). Кроме того, »р о»р =((о»р а» /о(/ »р о/ )=( (»р а»р)а/ т.
е. г: »р» ° »р,— »р»о»р", сохраняет групповую операцию н, та- ким образом, является изоморфнзмом рассматриваемых групп. Это замечание оправдывает принятое выше определение. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением о д н о с в я з- н ы х областей //. Выделим три из них, которые будем называть каноническими: зто замкнутая плоскость С, открытая пло- скость С и единичный круг (/=([г~(!). В и. (О мы вычислили группы дробно-линейных автоморфизмов этих областей. Однако справедлива Т е о р е м а 2. Всякий конформный автоморфизм канониче- ской области является ее дробно-линейным автоморфизмол».
ч Пусть»р — произвольный автоморфизм С; существует един- ственная точка г,енС, соответствующая бесконечной точке, по- этому функция»р(г) голоморфна всюду в С, кроме точки гы где она имеет полюс. В окрестности полюса порядка»г >~ 2 функ- ция неоднолистна, следовательно, »р имеет в г, полюс первого порядка. По теореме 2 п. 24 и теореме Лиувилля заключаем, А что»р имеет вид»р(г)= + В при г,4=со» или»р( ) =Аг+В г — га прн ге=со (А и  — постоянные) и, таким образом, »р является дробно-линейной функцией.
Случай открытой плоскости С рас- сматривается аналогично. Пусть»р — произвольный автоморфизм единичного круга (/; обозначим»р(0) =вч и построим дробно-линейный автоморфизм мо ааааа круга (/, переводящий точку ю, в О. Композиция [=Л ° »р также является автоморфизмом (/, причем [(0) =О. Так как, кроме того, [/(г) ! <! для всех ген(/, то к функции ( применима лемма Шварца из предыдущего пункта, по которой [['(г)» <!г! для всех ген(/. Но и обратное отображение г=['-»(и) удовлетворяет усло- ииям той же леммы, следовательно, !!-»(ю) ~(!и»( для всех и»ен(/, откуда, полагая ю=/(г), находим, что !г~ ()[(г) ) для всех ген(/.
% И! теоРемА РимАБА 197 Таким образом, имеем (~(г) ) =1г~ для всех гы(7 и по лемме Шварца заключаем, что 1(г) =е"г, Но тогда гр=Л-' о!= 1. '(е'"г) является дробно-линейным отображением и Учитывая результаты и. 10, мы получаем полное описание всех (конформных) автоморфизмов канонических областей. (1) Замкнутая плоскость С: аг+ Ь ш=, ас( — ЬсФО. сг+е ' (П) Открытая плоскость С: ш=аг+б, аФО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
