Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Функция у е +! во всех корнях уравнения е +1=0, т. е. точках г = )г гп( — ц ес )' и!+2йпй имеет точки ветвления второго порядка; а точка з= оо является ее неизолированной особой точкой. 1 4. Функция — имеет логарифмические точки ветвления при з=о и 1.п з г оо; при з=! одна из ее ветвей в кольце (0<!з — Ц<Ц (главная ветвь) имеет полюс первого порядка, остальные ветви голоморфны в атой точке. б.
Разберем подробно пример аналитической функции ю уг 1+~ 2. В точке з=О внутренний корень имеет точку ветвления второго порядка. Если в окрестности 1Г'=(0<(з3<Ц мы выберем круг (1=(!з — '/з!<уз), то в 1) можно выделить четыре различные ветви )ч этой функции, характеризуемые различными знаками обоих корней. Пусть й — одна из этих лнллитичнскоп продолжннип рзв <гл ги ветвей; элемент у,= ((у, й) после продолжени)! вдоль окружности ую; г= — ем и 2 0 «<1«(2к, перейдет в элемент У з = ((Г, !з), где !з — другая ветвь, ибо внутренний корень при таком обходе изменит знак. Повторный обход уз снова пРиведет к злементУ чр н ибо обходы Уз не менЯют ветвей внешнего корня, точкой ветвления которого является з=!.
Точно в таком же отно. шенин находятся две остальные ветви: !з -й и !ч — !з, Таким образом, в точке з=п рассматриваеман функция имеет две различные точки ветвления второго порялка. Перейдем к изучению точки з 1, в которой для одного нз значений внутреннего корня подкоренное выражение внешнего корня обращается в нуль. Пусть У'=(0<(г — 1!<!), У=((г — 1/2(<!!2) и ят — четыре ветви нашей функции в круге У пусть л1 и лг (из= — д~) — негин, для которых внутрен- .1 гг ний корень равен — 1 при з=1. Обход окружности уи г = 1+ — егг, 0(«Г «< 2 <2л, не изменит ветви внутреннего корня, но изменит знак у внешнего кор. гня (когда з описывает окружность уь точка ь = 1+ У з, где рассматривается выбранная ветвь внутреннего корня, описывает в плоскости ь замкнутый жорданов путь, содержащий внутри точку ,"=О), поэтому прн таном обходе элемент (У,й~) перейдет в (У, пз).
Вторичный обход т1 снова изменит знак внешнего корня и поэтому снова приведет к эдементу (У,й~). Оставшиеся дае ветви пз н йь (Ьц= — Лз) для которых впутренннй корень равен ! прн з= 1, при обходе у1 не изменятся (при этом точка й = 1 + У з с выбранной ветвью корня опишет замкнутый жорданов путь, охватывающий точку э=2 и не охватывающий й=о), следовательно такой обход переведет каждый из элементов (У, лв) и (У, Л,) в себя. Таким образом, в точке з=( рассматрнааемая функция имеет одну точку ветвления второго порядка и два правильРис. 54.
ных, неразветвленных элемента ']. Для изучения функции в точке г= сс надо взять проколотую окрестность йг'=(! <(з!<оо) и в ней, например, круг Й'=((з — 2!<1). Пусть ((у, И1)— какай-либо из четырех элементов функции а круге йг. Обход оггружности тз. з=2е*', 0«<Г«<2п, приводит к изменению знака как у внутреннего, так н у внешнего корня (при этом точка й = 1+ ггз прн любом выборе ветви корня опишет замкнутый путь вокруг точки ь=о), поэтому он приведет к другому элементу ((У,йг). Вторнчнйй обход уз приведет к третьему элементу ((У, Из), трехкратный — к четвертому (йг, Ит), н лишь четырехкратный обход у, приведет к исходному элементу (В',И>).
Таким образом, в точке а=со, рассматриваемая функция имеет точку ветвления четвертого порядка. Остальные точки С являются правильнымн точками этой аналитической функции. На рис. 54 изображен схематически результат нашего исследования. В заключение приведем один результат, относяпдийся к точ; кам ветвления конечного порядка. Мы покажем, что в окрестности такой точки а аналитическую функцию можно разложить, ') Элементы ((1,Лз) и ((/,я4) не являются каноническими, ибо их круг, сходимости больше (У. 169 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ % 81 в ряд по дробным степеням г — а, являющийся обобщением ряда Лорана.
1 е о р е м а. В некоторой проколотой окрестности Г= =(0< !г — а!<)ч) точки ветвления конечного порядка и аналитическую функцию') леожно представить разложением вида ~е= ~ са(г — и)". (1) ~ Положим г — а=он; когда точка ь описывает в плоскости й достаточно малую окружность Л: й=регт, 0 «т-< 2п, соответствующая точка г=а+йч описывает и раз окружность уа. г= =а+рне", 0 ~(142п. Так как начальный элемент рассматриваемой аналитической функции при таком обходе не меняется, то соответствующий элемент функции ю, рассматриваемой в зависимости от переменной ь, не меняется прп однократном обходе Л.
Отсюда следует, что ь=О является особой точкой однозначного характера этой функции и, значит, в некоторой проколотой окрестности точки й=О она представляется рядом Лорана в = лц сей'. (2) н ! сюда Ь = 1' г — а =(г — и) ", получаем рвзложе Подставляя ние (1) В зависимости от «главной части» разложения (!), т, е. совокупности членов г отрицательными индексами П, ветви рассматриваемой аналитической функции непрерывны в точке(как )г г или ет' в точке г=О), стремятся к бесконечности при 1 г- а ~как = при г- 0) или не стремятся ни к какому преу'» делу при г- а (как ете при г-»0). Это различие считается не так уж существенным, и во всех случаях а называют точкой ветвления конечного порядка.
П р и и е р. Пользуясь бнномнальным рядам, нетрудно написать абобьценные лорановские разложения аналичической функции нз разобранного выше прил~ера 5, В кольце О'=10<!О<!) имеем 3/!+ря = (!+ — ) — — + — )л — ...), 1 1 ! 2 В 16 ') Точнее, совокупность принадлежащих этой функции элементов, кото. рые получаются из каната-либо одного продолжением вдоль всевозможных путей у~ !". !гл. Ем АнАлитическОе пРОдОлжение 1то в кольце ЕГ'=(! <)г! < со) ! 1+). ) '1+ — "=)' '!+= —— )Ха У ~ 2Рг 8» !благ а в кольце )т'=(О ( ~ г — 1 ! < 1) 8 1 8 У2 !+ — (г — !)+ ...~.
! )т!+)~г = т 1 ч (1+(г — !)) Эти разложения хорошо иллюстрируют проведенный выше анализ точек ветвления рассматриваемой функции, 9 9. Понятие римановой поверхности Пусть )~ характеризуется условием )'; (1) =1, а !з — условием !з(!) = — 1; мы имеем, очевидно, !з(г) = — )1(г) для всех ге-:'Р. Эти ветви однолнстно и копформно отображают Р соответственно на правую и левую полуплоскости ю, которые мы обозначим через Р! и Рг. Возьмем два экземпляра области Р и расположим их друг над другом, как указано на рис. 55,а.
На рис. 55 указано также соответствие берегов разрезов в области Р и участков мнимой оси плоскости ее — соответствующие участки отмечены одинаковыми рисунками. Склеим верхний берег разреза на первом экземпляре области Р с нижним берегом разреза на втором экземпляре и в соответствии с этим склеим Р~ н Рг вдоль верхней полуоси (все этн участки отмечены рисунком -~-~-~-). Затем склеим между собой Аналитическая функция может сопоставлять точкам плоской области несколько (даже счетное множество) значений. В этом параграфе мы рассмотрим вместо плоских областей многолистные поверхности, которые можно мыслить расположенными над этими областями и которые имеют над точкой г столько «листов», сколько значений приписывает аналитическая функция этой точке.
Поэтому на таких поверхностях аналитические функции можно рассматривать как функции в обычном смысле слова (т. е, как однозначные функции). 31. Элементарный подход. Начнем с простейшего примера. Рассмотрим в области Р, которая представляет собой плоскость С с разрезом вдоль отрицательной полуоси, две ветви )~ и !з аналитической функции ПОНЯТИЕ РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ 17! $9! оставшиеся свободными берега разрезов на О, отмеченные рисунком 4-!!- (в трехмерном пространстве при второй склейке нельзя избежать самопересечений, но мы условимся не отождествлять точки луча, по которому происходит самопересечение поверхности, отмеченные разными рисунками).
Полученная двулистная поверхность (она изображена на рис. 55, в) называется римановой поверхностью аналитической функции )тг. Этот корень можно рассматривать на ней какфункцию в обычном смысле слова, нбо два значения, которые сопоставляет корень каждой точке гчФО, Фоо, мы будем относить Рис. 55 двум различным точкам поверхности, лежащим над гч. Точки отрицательной полуоси к =( — оо, 0) не составляют исключения, ибо над каждой из них также лежит по две точки поверхности (мы ведь условились не отождествлять точки различных листов, принадлежащие линии самопсресеченпя поверхности).
Лишь точкам г=О и г=о корень сопоставляет по одному значеншо, поэтому мы будем считать, что над г=О и г=оо лежит по одной точке поверхности. В этих точках листы нашей поверхности соединяются между собой; онн называются критическими точками или точками ветвления поверхности. Вполне аналогично устроена риманова поверхность-аналитической функции (2) Она п-листна; над каждой точкой гчьО, чьоо лежит по и различных точек поверхности (они называются обыкновенными ее точками), над г=О и г=оо — по одной (критической) точке, На 1гл. Еи ЯНЯЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 172 рис, 56,а,б изображены соответственно части поверхности, лежа!цие над окрестностью правильной и особой точки функции )) г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
