Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 27
Текст из файла (страница 27)
[и 144 П р и и е р. Пусть 0 — верхняя полуплоскость (1те>0) и в ней заданы две функции в в 1(а) )гг е 0«р <и, 2н < ф < Зп з 'г гв Е(з)=Г ге ответственно голоморфяые функции й (з) = г г е (О < ф < 2и) и )з (е) 3 3 1 ч =- 1'г е (и < ф < Зп); элементы чг, (0г, 1,), (0„)з), Л' образуют цепочку, которая удовлетворяет всем условиям, принятым в определении 3. 27.
Продолжение вдоль пути. Для простоты дальнейших рассуждений мы несколько конкретизируем понятие элемента, Определение 1. Каноническим элементом с центром в точке а ~ С называется пара Г = (У.,(,), где 1,— сумма сходящегося степенного ряда с центром в а и (у,— круг сходимости этого ряда. Мы будем называть (г, кругом сходимости элемента ОУ и обозначать через )чг, радиус этого круга, если а+оп, или радиус его дополнения, если а=оо, Если а ~ С, то круг сходимости элемента ОУ а имеет вид (г'.=(г:[г — а[<[с,), где )7, (оо, а функция ),(г) = ~ с„(г — а)"; и-О если же а=оо, то ([,=(г:[г[>)7,), где )7 > О, и 1,(г) = чг~ — „" . а О (2) Определения непосредственного аналитического продолжения и аналитического продолжения для канонических элементов несколько упрощаются, ибо их области (круги) пересекаются по связным множествам и поэтому не надо оговаривать, через какие компоненты пересечений [з„производится продолжение.
(к=ге ф). Они взаимно однозначно и непрерывно отображают 0 соответ ствеино на секторы 0" =~0 < ф < — ь и 0*= ( — < ф < п~ (мы полагаем ф=агдв). Обе функции обращают функцию вз=г (так что их можно з сштать значениями ) а ~ и, по правилу дифференцирования обратных функций, голоморфны в О. Таким образом, пары У =(О, 1) н Э=(0, [г) являются аналитическими элементами. Онн валяются аналитическим продолжением друг друга. В самом деле, рассмотрим, например, области 01=(0<гр<2п1 и 0з=(п<ф<зя) и в них со- понятиг аналитического пгодолжен~ия % т1 14о Если канонический элемент Х; — ((Уь,(ь) является непосредственным аналитическим продолжением элемента т,=((У„),) и, кроме того, Ь ен (У, (рис.
45), то такое продолжение сводится просто к переразложению суммы степенного ряда ), в ряд по степеням г — Ь: )1а1(Ь) У,()=~ — „, ( -Ь)". (З) ь=о Заметим еще, что если два канонических элемента оУ, и от ь являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга, то их круги сходимости (Уа и (Уь не могут компактно принадлежать один другому (если, например, (Уь е== (У„то )ь голоморфна в большем, чем (Уь, круге с центром Ь и, следовательно, (Уь не может быть кругом сходимости). Поэтому окружности д(У, и дсУь должны иметь хотя бы одну общую точку, и из треугольника, изображенного на рис.
45 (только теперь не обязательно Ьен(У.), мы заключаем, что ~ )с, — )со ) ( | Ь вЂ” а ~ . (4) Теперь мы займемся понятием аналитического продолжения вдоль пути. Без ограничения обшности будем предполагать, что для всех рассматриваемых здесь путей параметр меняется на отрезке У=(0, 1), О п р е д е л е н и е 2. Говорят, что канонический элемент от о= (1Уо, Уо) продолжаем вдоль пути у: г=г(1), 1~ У, с нача- лом в центре а=а(0) этого э.семени, та, если суШествует семейство элементов У;=То У, 1~У, (5) с центрами аа=е(1) и ненулевыми радиусами сходимостн, удовлетворяющее следующему условию.
Если и(1о)с:У обозначает такую связную Рис. 46. окрестность точки 1о ен У, что г(Г) ен ы (Уь для всех 1 он и(то) (эта окрестность сушествует в силу непрерывности пути), то для любого 1 ~ и (1о) элемент У, является непосредственным аналитическим продолжением от и (рис. 46). Если элементот о продолжаем вдоль у, то говорят, что элемент Ф т семейства (5) (с центром в конце Ьг е(1) пути) получается из оУ о аналитическим продолжением вдоль пути у, 10 в.
В. Шабат хнклитическов пнодолженив [гл пг 146 Прежде всего докажем е д и н с т в е н н о с т ь продолжения вдоль пути. Для этого условимся считать два канонических элемента чУ =((У, У) и Я=()т, д) Равными (ьт =Я), если (У= )1 и в этом круге 1==д. Теорема 1.
Если канонический элемент У ь продолжаем вдоль пути у, то в результате его аналитического продолжения вдоль этого пути получается вполне определенный элемент, не зависящий от выбора се.кейства, осуществляющего продолжение. < Пусть у задается уравнением г = г(1), 1 ~ У, а элементы У, и Я, получаются продолжением У ь вдоль у: первый при помощи семейства элементов ~У „а второй — семейства Я, (,У ь = Яы 1 ~ У). Рассмотрим множество И =(~~У: еУ,=Я,); опо непусто, ибо содержит точку ~ = О. Это множество открыто (в топологии У). В самом деле, пусть 1ь~й', т.
е. ~Ун=Я;„; в силу непрерывности пути у найдется окрестность и(Уь) с: У такая, что для всех 1 ен и(1 ) точка г(1) принадлежит обшему кругу сходимости элементов Дт н и Ж,„. По определение 2 для всех У ен и(14) и д', и Я, получаются непосредственным аналитическим продолжением равных элементов у'и= А, и, следовательно, совпадают(см.
формулу (3) ). Поэтому и (~„) с: в'. Но в в то же время и замкнуто. В самом деле, пусть 1ьенУ вЂ” предельная точка й' и и(1,) — такая окрестность, что для всех 1 с= и(~„) точки г(Г) принадлежат меньшему нз кругов сходимости элементов ~У ~ и Ж, (обозначим его через ))т). В и (~ь) найдется точка ~1 ен в' и в ней,М ь = Ж,. Так как г (11) ен ))т, то Уь и К„являются непосредственными аналитическими продолжениями равных элементов,У, и Я, . Поэтому в пересечении %' с кругом сходимости,У,, и Яь, но тогда по теореме единственности п. 2! У, = — д, всюду в )г' и, следовательно,,е и= А„т.
е. Уь ~ й'. Итак, непустое подмножество в'с: У является одновременно открытым и замкнутым. Отсюда следует (и. 4), что о = — У и, в частности, что дг, = я, ь Теперь мы хотим доказать, что продолжение вдоль пути всегда можно осушествнть в конечное число приемов, т. е. как аналитическое продолжение в смысле предыдущего пункта. Лемма. Радиус Я(1) элемента ьУ, из семейства (5), осуществляющего аналитическое продолжение вдоль пути у, является непрерывной функцией от ( на отрезке У, если краги сходимости всех Р, компактньь понятии хнллитичвского пеодолжгния 147 ч Для любого 1оенУ найдем окрестность и(1,) такую, что при тени(1о) элемент У, является непосредственным продолжением,т и (см.
определение 2). Из неравенства (4) получаем тогда, что )й'(1) Й (1о) 1 ~~ ) г(1) г(1о) 1. Это неравенство доказывает непрерывность )с в точке 1о 1ь Теорема 2. Если элемент,т получается из от аналитическим продолжением вдоль пути у, то т является аналитическим продолжением оУ в смысле и. 26. М Пусть ~о ь 1енУ,— семейство элементов, осуществляющих продолжение вдоль у. По лемме радиус Я(1) элемента от о непрерывен на У, следовательно, существует е>0 такое, что )7(1) )~е для всех 1~У. В силу равномерной непрерывности функции г(1) на У можно вы- брать конечное число точек (о=О<14«..1„=1 так, чтобы точки г,=г(1„) для т=!, Уо / т . Как мы видели в предыдущем пункте, в каждой точке 1 г он (У существует )'(г) =, следовательно, У голоморфиа в (У н Г(г)- оо прн г- О. Отсюда видно, что пара У =((У, У) составляет канонический элемент.
Чтобы получить аналитическое продолжение У вдоль пути уо. г=е", 0<1<а (верхняя полуокружпость (1г1=!), рис. 47), нет необходимости, как сказано в определении, получать тейло. ровское разложение У в круге (У и затем переразлагать его по степеням г — еа при всевозможных 1ен[0, п1. По теоремам 1 !Оо ..., п удовлетворяли неравенству 1г, — г, ~) <е. По определению 2 отсюда следует, что элемент Ю ов = У ~, является непоы-и средственным аналитическим продолжением элемента Ю = У о, (т=1, ..., и). Но дг'"= У, а от "'=А следовательно, Ф является аналитическим продолжением элемента У> Пример. Рассмотрим в круге (У=(1г — 11<1) функцию У(г) = ф'г =)Уге о '(г=геоо, — —" «р< — "1. (6) 2 2/' лнллитичаскоа продолжннин [гл.
гп 148 и 2 достаточно рассмотреть круг У'=(~г — г'~ <1) и построить аналитическое продолжение ея по цепочке кругов (7, (г'; где У=(1г+! ~ <1). Но такое продолжение можно осуществить, как в п. 26, непосредственно по формуле (6), расширяя область изменения ~р в этой формуле: для У' — на отрезок [О, п1 и для Гп Зп1 У вЂ” на отрезок| —, — '~. В круге У мы получим голоморфную 12 ' 2!' функцию йо(г)=айте ' (12 <гр< — "), (7) и пара Яо=(У,да) составляет элемент, который и является искомым продолжением ,'Гвдоль пути у,. В частности, на отрицательном диаметре круга У имеем р=п, следовательно, (8) где — х= [г!)О.
Аналогично при помощи цепочки кругов (У, (у", У, где (Ул=([г+1~ <1), осуществляется аналитическое продолжение У вдоль пути ун г=е", 0)~1)~ — и (см. рис. 47). Это продолжение заключается в том, что мы последовательно заменяем в формуле (6) область изменения гр отрезками [ — и, О) и [ ' Зп п1 — — — В результате мы получаем голоморфную в круге 2 ' 2[' У функцию — — Зп пт а (г) =Мге ' ( — — 2«р< — — 2) (9) и пара я'=(У, дг) составляет элемент, который является продолжением еГ вдоль пути уь Элемент Я' н е р а в е н элементу Яо: хотя круги их сходи- мости одинаковы, но функции отличаются, ибо, например, на отрицательном диаметре У мы теперь имеем гр= — и и, следовательно, вместо (8) получаем (10) Заметим, что при построении наших продолжений мы ие пользовались тейлоровским разложением элемента у .
При желании его можно получить, например, из следуюших соображений На положительном диаметре круга У имеем ~р О, следовательно, 1(з)-К х, где з=х>О. В анализе доказывается„ где опять — х=~г[)0. Нетрудно видеть, что дг(г) = — гто(г) для всех г ен У. понятии лнллитичвского продолжения 149 что зта действительная функция раскладывается в биномиальный ряд ! » х =(1+(х-1» -1-~~(-1)" ( — 1)з, (11) з Ъч з (2п-3)И (2л) И (( ) 1 ~~)~~( 1)л . ( Пз л (2!' 3)И (2п)! ! л ! (12) Можно написать и тейлоровскне разложения функций Вз и е! в круге )т; они имеют внд %ч (2п — 3) И Кз(х) К! (х) '1( х) = ! 1 — Д1 ' (а+ 1)" .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
