Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Для конечных точек а эта связь выражается следующими тремя теоремами. Те о р е м а 1. Изолированная особая точка а ен С функции ( является устранимой в том и только том случае, если лорановское разложение (* в окрестности а не содержит главной части: ((г) = хл с„(г — а)". ч=е (2) ж Н еобх од и масть. Пусть а — устранимая точка; тогда существует конечный !нп 1(г) = А и, следовательно, ( ограни» -» « чена (пусть (1(<М) в некоторой проколотой окрестности (0<(г — а(<Й точки а. Возьмем любое р, 0<р<(т, и воспользуемся неравенствами Коши (с„(»= — „(и= О, ~ 1,,).

р Если п<0, то правая часть стремится к нулю при р — О, левая же часть от р не зависит. Следовательно, со=О при п<0, и главная часть ряда Лорана отсутствует. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть в проколотой окрестности точки а функция 1 представляется лорановским разложением (2) без главной части. Это разложение является тейлоровским, и, следовательно, существует и конечен Вгп 1(~) = со, « -» а Поэтому а является устранимой точкой > 3 а м еч а н и е.

Теми же рассуждениями доказывается и Теорема 1'. Изолированная особая точка а функг(ии в том и только том случае является устранимой, если ( ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а. Продолжив функцию ) в ее устранимую точку а по непрерывности, т. е. положив )(а) =1нп ((а), мы получим функцию„ « -» а для любого натурального л, иоатому ( -» со, когда и стремится по радиусу я«г А— к любой «двоичной» точке г е (а=о, 1, ..., я — !) окружности.

Так как множество «двоичных» точек всюду плотно на окружности Оа(=1), то каждая точка этой окружности является особой для й таким образом. ( имеет целую линию, составленную иэ неиэолнрованных особых точек (особую линию). 1ГЛ. М СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКГ1ИЙ 122 голоморфную в точке а (т. е. устраним особенность). Этим и оправдывается термин «устранимая точка». В дальнейшем мы будем считать такие точки п р а в и л ь н ы м и, а не особыми точками функции. Теорема 2. Изолированная особая точка а~С функции ) является полюсом в том и только том случае, если главная часть лорановского разложения ) в окрестности точки а содержит лишь конечное (и положительное) число отличных ог нуля членов: )(г) = ~~'.~ с„(г — а)", )у > О, (3) ч Необходимость.

Пусть а — полюс; так как Игп Г(г) = ОО, то существует проколотая окрестность точки а, « -» « в которой ) голоморфна и отлична от нуля. В этой окрестности 1 голоморфна функция у(г) =)( ), причем существует )пп~р(г) = 1 (г) «Фа =О. Следовательно, а является устранимой точкой (нулем) функции ~р и в нашей Окрестности справедливо разложение в(г) =йн(г — а) + Ьн„(г — а)н" + ... (Ьн ~ 0). Но тогда в той же окрестности мы имеем ~(г) — — , , (4) Ф(г) (г — е) Ь +Ьн,(г — е)+ ...

причем второй множитель является функцией, голоморфной в точке а, н, значит, допускает тейлоровское разложение 1 1 = с и + с н„(г — а)+... (с А, — — —, ~ О). и н~-1 и Подставляя это разложение в (4), найдем Это — лорановское разложение ) в проколотой окрестности точки а, н мы видим, что его главная часть содержит конечное число членов. Д о с т а то ч ноет ь.

Пусть ) в проколотой окрестности точки а представляется лорановским разложением (3), главная часть которого содержит конечное число членов; пусть еще с нФО. Тогда 1 голоморфна в этой окрестности„так же как и РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ 6 61 12З функция ф(г) =(г — а)н!(г).

Последняя в нашей окрестности представляется разложением ф(г) =с л+с-лы(г — а)+ из которого видно, что а является устранимой точкой и существует 1пп ф(г) = с и ~ О. Но тогда функция )".(г) = Ф (г) а -Ь а (г — а)л' стремится к бесконечности при г- а, т. е. а является полюсом! ь Отметим еще один простой факт о связи полюсов с нулями. Теорем а 2'. Точка а является полюсом функции !" в том 1 и только том случае, если функция ф = —, ф Фь О, голоморфни в окрестности а и ф(а) =О. «Необходимость условия доказана при доказательстве теоремы 2. Докажем его достаточность. Если фФО голоморфна в точке а и ф(а) =О, то по теореме единственности (п.

21) существует проколотая окрестность этой точки, в которой ФФО. ! В этой окрестности функция ) = — голоморфна, следовательно, Ф а является изолированной особой точкой !. Но 11гп)".(г)= а -~ а следовательно, а является полюсом ! ь Установленная связь позволяет сформулировать О п р е д е л е н и е 3. Порядком полюса а функции !' назы! вается порядок,этой точки как нуля функции ф= —. Из доказательства теоремы 2 видно, что порядок полюса совпадает с номером Лг старшего члена главной части лорановского разложения функции в проколотой окрестности полюса.

Т е о р е м а 3. Изолированная особая точка а функции является существенно особой в том и только том случае, если главная часть лорановского разложения 1 в окресгности точки а содержит бесконечно много отличных от нуля членов. «Теорема, по существу, уже содержится в теоремах 1 н 2 (если главная часть содержит бесконечное число членов, го а не может быть ни устранимой точкой, ни полюсом; если а — с,- щественно особая точка, то главная часть не может ни отсутствовать, ни содержать конечное число членов) ь Поведение функции в окрестности существенно особой точки характеризует следующая интересная Теорема 3' ()О. В. Сохоцкий).

Если а является су. щественно особой точкой функции ~, то для любого числа СВОЙСТВА голомОРФных ФункциЙ (гл. И 124 А ен С можно найти последовательнасть точек ㄠ— а такую, что !цп 1"(г„) = А. (5) м Пусть А=оо. Так как 1 по теореме 1' не может быть ограниченной в проколотой окрестности (0<)г — а) <г), то в этой окрестности найдется точка гь в которой (((г~) 1>1. Точно так же в )0<1г — а1< !2~ — а( 1 2 найдется точка гм в которой !)'(г2) !>2, и т. д., в )0<(г — а)< т найдется точка г„, (г,— а)1 в которой !)(га) )>и, Очевидно, г„- а и !Ип ~(г„) = оо. Пусть теперь Ласо.

Либо Л-точки функции ( имеют а своей предельной точкой, и тогда из них можно выбрать последовательность г„- а, на которой 1(г„) =Л, либо существует проколотая окрестность (0< )г — а! <г'), в которой )" (г) ФА. В этой окрестности голоморфна функция 1 ) (г) — А для которой а также является существенно особой точкой (ибо 1 )(г)=А+ — и если бы ~р при г- а стремилась к конечному Ф (2) илн бесконечному пределу, то ~ — также). По доказанному существует последовательность г„- а, по которой ~р(г„) — оо; но по этой последовательности Игп ((г„) = А+ 1цп — =Л > 1 ач Ф (га) Совокупность предельных значений функции ( по различным последовательностям точек г„- а называют множеством неопределенности функции 1 в точке а.

Если а является устранимой точкой или полюсом функции 1, то ее множество неопределенности в этой точке состоит из одной точки (конечной или бесконечной). Теорема Сохоцкого утверждает, что для существенно особой точки реализуется другой крайний случай: множество неопределенности в такой точке заполняет всю замкнутую плоскость С.

Несколько слов об изолированных особых точках в бесконечности. Классификация и теоремы 1' — 3' переносятся на случай а =оо автоматически. Однако теоремы 1 — 3, связанные с характером лорановских разложений, нуждаются в измене- 125 РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ $ 61 ниях. Дело в том, что в конечных точках характер особенности определяют главные части лорановских разложений, содержащие отрицательные степени е — а„которые имеют особенность в этих точках (отсюда и термин «главная часть»). В бесконечности же отрицательные степени правильны и особенность определяется совокупностью положительных степеней. Поэтому естественно назвать главной частью лорановского разложения функции в проколотой окрестности бесконечной точки совокупность членов этого разложения с положительными степенями. После такого изменения теоремы ! — 3 будут справедливыми и для случая а=со.

Этот результат сразу получается при помощи замены пере- 1 менного г = †: если обозначить 1 (е) = ! ( — ) = т(1в), то, очевидно, Ь-и 6, Ф(ш)= — + ... + -+У, Ь„в" У ''' м,' « «О (Ь А Фь 0); 1 заменяя здесь ю = —, ()т<! з!< «О), )т = —: получим разложение ! в кольце 1(г) = ~ с„г" + с, + с,г+ ... + с„гм, » — ! где с„=Ь „, си~О. Вго главная часть содержит конечное число членов. Лналогичпо рассматриваются случаи устраннмой и существенно особой точек. В заключение приведем классификацию простейших голоморфных функций по их особым точкам.

Согласно теореме Лиувилля функции, совсем не имеющие особенностей (т. е. голоморфные в С), являются константами. Следующий по простоге класс составляют целые функции. О и р е д ел е н и е 4. Целой называется функция, голоморфная во всей плоскости С, т. е. не имеющая конечных особых точек. и поэтому ~р имеет в точке в=О ту же особенность, что ! в точке г=оо, Например, в случае полюса у имеет в (О< !ш!<г) разложение СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ (гл. (( Точка а=со является, следовательно, изолированной особой точкой целой функции г. Если это — устранимая точка, то 1= — сопз1, Если зто — полюс, то главная часть лорановского разложения 1 в окрестности бесконечности представляет собой полипом д(е) =с(е+... +с „зн. Вычитая из 7 эту главную часть, получим также целую функцию, ) — д, но уже с устранимой точкой в бесконечности.

Она является константой, и следовательно, целая функция с полюсом в бесконечности непременно является полиномом. Целые функции с существенной особенностью в бесконечности называются цель(ми трансцендентнымп функциями (таковы, например, функции е', айп е, созе). О и р е д е л е н и е 5. Функция, не имеющая в открытой плоскости С других особенностей, кроме полюсов, называется мероморфной. Целые функции составляют подкласс класса мероморфных функций (они вовсе не имеют особенностей в С). Так как каждый полюс — изолированная особая точка, то мероморфная функция не может иметь в С более чем счетное множество полюсов. В самом деле, в каждом круге ((г((п), и= 1, 2, полюсов может быть лишь конечное число (иначе существовала бы их конечная предельная точка, которая является неизолированной особой точкой функции, а не полюсом) и все полюсы можно пересчитать.

Характеристики

Список файлов книги