Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В анализе доказывж вается, что всякая последовательность а ен Р имеет единственный (конечный или бесконечный) верхний предел. Пусть 0<те< оо; для любого в>0 можно найти число А) тая — ! кое, что при и )~ А) имеем )Т) с„) < — +е, и, следовательно, СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ Ггл. 11 зв Из условия 1) в определении верхнего предела видно, что для любого е>О найдется последовательность и»- оо такая, и» что )гг)с„„~ > у — е, и, следовательно, 1 ~ с„(г — а)" » ~ > ~ ~ — — е)! г — а ) ~ (9) Если !г — а(>)Г, то можно выбрать е столь малым, что будет (~ — — е))г — а)>1; тогда, как видно иэ (9), )сз»(г — а)"»~>1, н, следовательно, общий член ряда (5) не стремится к О, т.
е. ряд расходится при (г — а~ >)с. Доказательство в случаях )с=О и )с= оо предоставляется читателям м Определение. Областью сходимости степенного ряда (5) называется открытое ядро (т. е. совокупность внутренних точек) е' множества о тех точек г~ С, в которых сходится этот ряд Теорем а 4. Областью сходимости степенного ряда (5) яеляется круг (!г — а~ <)с), где )с — число, определяемое по формуле Коши — Адамара (7) е Из предыдущего утверждения следует, что множество б точек сходимости ряда (5) представляет собой круг (1г — а~ <)Г), дополненный некоторым множеством точек окружйостн (1г — а ~ = =)Г) (быть может, пустым).
Поэтому открытым ядролт о-" является круг ()г — а!<)Г) м Круг (открытый), существование которого только что доказано, называется кругом сходимости степенного ряда (5), а число гс — радиусом сходимости. Примеры. 1. Ряды а) 5 ( — ), б) )' з", в) ~ (пз)», (! О) и=! и-1 и-1 а) ~ а", б) ~ —, в) (1Ц э-1 является единичный круг (!»1<Ц. Однако множества точек сходимости всех трех рядов различны. Ряд а) расходится во всех точках окружности (!з(=Ц, ибо его общий член при 14=1 не стремится к нулю.
Ряд б) в некоторых точках окружности (!х(=Ц сходится (например, в з= — Ц, а в некоторык как видно из формулы Коши — Адамара, имеют соответственно радиусы схо- дИМОСтИ )1= со, ! И О. ПОЭтОМу КруГ СХОдИМОСтн ПЕРВОГО ИЗ ИИХ ЕСТЬ О, второго — единичный круг (1з!(Ц, а третьего — пустое множество. 2.
Из той же формулы видно, что кругом сходимости всех трех рядов 99 $ а) РЯДЫ ТЕЯЛОРА расходится (например, в а=1). Ряд в) сходится во всех точках этой окружности, ибо для любого г, !а)=!, он мажораруется сходянгимся числовым 00 Ъ'1 ! рядом т л' л=! Переходим к доказательству голоморфности суммы степенного ряда. Т е о р е м а 5. Сумма степенного ряда 1(г) = ~ сл(г — а)" л О (12) го,!аморфна в клуге его сходимости. ч Мы предполагаем, что радиус сходимости ряда )с>0, ибо иначе нечего доказывать.
Напишем формально производный ряд то радиус сходимости ряда (13) тоже равен )с. На компактных подмножествах круг ЕУ=(/г — а!<)!!) ряд (13) сходится равномерно, следовательно, функция ф(г) непрерывна в этом круге. По той же причине ряд (!3) можно почленно интегрировать по границе любого треугольника Л ~ У: ~ (рагг =- Ы пел ( (г — а)л ' с!г =!) дл л=! дл (по теореме Коши все интегралы в правой части равны нулю, значит, и интеграл в левой части также). Следовательно, можно применить лемму 1 из п.
15, по которой функция ~ ф (ь) с(ь = ~~ пс„)г (Ь вЂ” а)л ' сц = ~~ сл (г — а)л 1а,м л-! !а, л) и-! ~~~ псл(г — а)л =<р(г); (13) л-! он сходится или расходится вместе с рядом ~~а псл(г — а)", а так л-! как л л 11т )гп! с„! = 1пп )'! сл), своястВА ГоломОРФных Функция !Гл. и 1ОО (мы снова воспользовались равномерной сходимостыо) в каждой точке г~Р имеет производную, равную ф(г). Но тогда и функция !'(г)=с + ) р(~) ~ь !о, о! в каждой точке г ~ 0 имеет производную ~'(г) =~э(г) 20. Свойства голоморфных функций.
Отметим несколько следствий теоремы о голоморфности суммы степенного ряда. Теорема 1. Производная функции )с:.Н(Р) голоморфна в области Р. е Для любой точки го~Р мы построим круг Н=(',г — го! <Й~ принадлежащий Р. По теореме 1 п, 19 функция ! в этом круге представляется как сумма степенного ряда. По теореме 5 п. 19 производная Г'=ор представляется рядом, сходящимся в том же круге.
Поэтому к ц~ можно снова применить теорему 5, и, значит, ор дифференцируема в Н в смысле комплексного анализа > Из этой теоремы ' непосредственно вытекает необходимое условие существования первообразной, о котором говорилось в п, 15: Сл е дс те не. Если Функция 1 имеет в области Р первообразную Г, то 1 голоморфна в Р. (В иных терминах; всякая точная в области Р дифференциальная Форма !'дг=др явллется замкнутой в .Р.) Повторным применением теоремы 1 получается Т е о р е м а 1'. Любая функция )~Н (Р) имеет в Р производные всех порядков, также принадлежаи!ие Н(Р) (бесконечно дифференцируема) .
Следующая теорема утверждает единственность разложения функции в степенной ряд с данным центром. Теорема 2 Если Функция !" в круге ((г — го!<к) предста- вима как сумма степенного ряда то коэффициенты этого ряда определяются однозначно по формулам (2) ч Подставляя в (1) г=го, найдем !'(го) =со. Дифференцируя ряд (1) почленно: )'(г) =с,+2с,(г — го) +Зсо(г — го)'+ ..., Ряды тсйлОРА и! и затем подставляя г=г„найдем Т'(г,) =сь Продифференцируем (!) и раз: 1'">(г) = п! с„+ с',(г — г )+ с',(г — г,)2+ ... (мы не выписываем выражений для коэффициентов), и снова подставим г=ггп получим п)с„=гни(ге) и Теорему 2 иногда формулируют так: всякий сходящийся степенной ряд являегся рядом Тейлора своей суммы.
Формула (2) позволяет писать тейлоровские разложения элементарных функций. Например, мы имеем г' гя 2~ ''' п! (3) созг= ! — — +— 2! 4! гг ез з1п г = г — + 3! 5! дифференцированием по параметру г под знаком интеграла, Наше косвенное рассуждение позволяет избежать доказательства законности такого дифференцирования. Т е о р е м а 3 (М о р е р а). Если функция 1 непрерывна в области 0 и интеграл от нее по границе дЛ любого треуголь-. ника Л а 0 равен нулю, то (еН (О) . все три разложения справедливы всюду в С (их радиус сходи- мости 1г= ос).
Сравнивая только что найденные значения с„с первоначальными их значениями, вычисленными по формуле (3) п. )9, получим выражения для производных голоморфных функций: 1"(го)=,"'. ! '"'"„'„(.=), 2, ...). вл! ~ (С вЂ” гр)"+' т, Если 1 голоморфна в области 0 и 6 ей 0 — область, ограниченная конечным числом непрерывных кривых и такая, что ге е= 6, то, пользуясь неизменностью интеграла при гомотопной деформации контура, мы можем заменить в последней формуле у„ориентированной границей д6. Получим интегральные формулы для производных голоморфпых функций: ~ы'(г) = — ) „„(п = ), 2, ...) и) " 1К) 1ь (5) 2кГ (Ь вЂ” г)" н (мы пишем г вместо г, и предполагаем, что ген 6). Это формулы получаются из интегральной формулы Коши 2 си .~ Ь вЂ” г аа своиствл ГоломОРФных Функций !оз м Для любой точки аепР построим круг У=(]г — а! <т)~Р. По теореме 2 и.
15 функция голоморфна в (! и Р'(г) =)(г) в каждой точке ген(]. По теореме 1 отсюда следует, что и г голоморфна в (]. Тем самым доказана голоморфность ! в каждой точке и еэ Р~ 3 а м е ч а н и е. Теорема Мореры является обратной к основной лемме интегрального исчисления (п. 15), по которой интеграл от голоморфной в области Р функции по границе любого треугольника Л к==Р равен нулю. Эту теорему можно рассматривать также как обратную к теореме Коши (она сильнее последней, в которой требуется, чтобы равнялся нулю интеграл от г по любому замкнутому пути у~Р, а не только по границам треугольников Л 4== Р). Однако в теореме Мореры вводится дополнительное условие непрерывности функции 1. Это условие существенно: например, для функции, равной 0 всюду в С, кроме одной точки, где она равна 1, интеграл по границе любого треугольника равен нулю, однако эта функция не голоморфна, ибо она даже не непрерывна.
В заключение приведем сводку результатов об эквивалентности различных определений голоморфности функции в точке: Т е о р е ы а 4. Эквивалентны следующие три утверждения: (К) функция ( в некоторой окрестности 0 точки а имеет производную ]'(г) в смысле комплексного анализа; (С) функция Г непрерывна в некоторой окрестности с] точки а, и интеграл от нее по границе любого треугольника Ь е= =(] равен нулю; (%) функция *] разлагается в степенной ряд, сходящийся в некоторой окрестности с] точки а.
Эти три утверждения отражают три концепции в построении теории голоморфных функций. Обычно функцию, удовлетворяющую условию (К), называют голоморфной в смысле Римана, условию (С) — голоморфной в смысле Коши и условию (%)— голоморфной в смысле Вейерштрасса. Импликация (К)=э(С) доказана в теореме Коши (и. !6), (С)=)1(К) — в теореме Мореры, (1т):~(%) — в теореме Тейлора, (%)=;=1(К) — в теореме о голоморфности суммы степенного ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
