Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Из этих замечаний сразу вытекает теорема единственности разложения функции в данном кольце в ряд по положительным и отрицательным степеням: Т е о р е м а 2. Если функция ( в кольце )«=(г< ! г — а ! <Ю представима рядом вида (!), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам (2).
ч Возьмем окружность у=()е — а! =р), «<р<)(. Ряд сь (г — а)л = 1(г) сходится на ней равномерно, и это свойство сохранится после умножения обеих частей на произвольную степень (г — а)- -' (п=О, .+1, +.2, ...): Х ь-л-~ 1(е! сь (г — а) д)лм ' Проинтегрируем полученный ряд почленно вдоль у: и воспользуемся тем, что по свойству ортогональности степеней (и. 14) все интегралы в левой части равны О, кроме одного, для свояствд ГоломОРФных Функция !Гл. н которого й=п и который равен 2ж.
Мы получим 2пгс„='! )~ ) !г (Я=О -ь( ) ! (г — а)"+! а это совпадает с (2) ы Теорему 2 можно сформулировать так: всякий сходящийся ряд по положительным н отрицательным степеням г — а является рядом Лорана своей суммы. Формулы (2) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяются сравнительно редко, ибо они требуют вычисления интегралов. На основании доказанной теоремы единственности для получения лорановских разложений можно использовать любой законный прием: все такие приемы приведут к одному нужному результату П р и м е р.
Функция ! (г) (г-1) (г-2) голоморфна в кольцах У~ (О<!г(<1), Уз=(1<!г!<2) и Уз=(2<)г!<ео). для получения лоравовских разложений представим зту функцию в виде ) (г)= 1 1 г — 2 г — 1 В кольце У, слагаемые представляются такими геометрическими прогрес. снами: 1 1 1 — — — (сходится при ! г ! < 2), г — 2 2 г 2 Ая(12) 1 —— 2 и= =о (14) — г г 1 1 г е=с (сходится пря ) г ! < 1). Поэтому в У~ функция ( представляется рядом 1 1 1 г-1 г 1 ! —— (сходится при !г () 1). (15) который содержит лишь положительные степени (рядом Тейлора)„ В кольце Уэ первое разложение (14) продолжает сходиться, а второе нужно заменить разложением РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ Ит В этом кольце, следовательно, 1 представляется рядом Лорана В-иольце Уз разложение (15) продолжает сходиться, а первое разложение (!4) нужно заменить таким: — ( — ) (сходится при )и)>2).
г-2 г 2 2 а~4 (2) 1 —— е=-! Следовательно, в Уз 1 (х) ~~ ~ — — 1)) ае. л~е ~2е+! л= — ! В заключение отметим связь между рядами Лорана и рядами Фурье. Ряд Фурье функции зр, интегрируемой на отрезке 10, 2п)с-(х, определяется как ряд 2' +,)~~~ а„соз п1+ Ь„з!и п1, и ! (17) где а,= — ) тр(1)созп11(з, Ь„= — ) зр(1)з!пп)а( (и=О, 1, ...) (18) 1 Г е е ') Однако коэффициенты ряда Лорана нельзя представить по дифферен- циальной формуле с„хотя бы потому, ето й вообще говоря, но Г!зо (о) п) определена при х=п. Отметим, что коэффициенты ряда Лорана определяются по. формулам (2), которые при п)~ 0 совпадают с интегральными формулами для коэффициентов ряда Тейлора ').
Повторяя в точности выкладки, проведенные в п. 19 при выводе неравенств Коши для коэффициентов ряда Тейлора, мы получим Н е р а в е н с т в а К о ш и (для коэффициентов ряда Лорана). Пусть функция Г голоморфна в кольце У=-(г()г — а)()(з) и на окружности ур — — (!г — а) =р), г(р()с, ее модуль не превосходит постоянной М. Тогда коэффициенты ряда Лорана функции 7" в кольце У удовлетворяют неравенствам ' ) с„)( — „(а=О, +1, .+2, ...). (16) Р СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ 1гл. 12 11В (мы считаем Ьо=О). Такой ряд можно переписать в комплексной форме.
Для этого воспользуемся формулами Эйлера 1л1+ -1л1 1л1 О-1лг соз пг =, з!п пг = 21 и, подставив их в (!7), найдем л 1 где положено 2л с = лл гол = 1 1 ф(1)е-1л1й( л о 2л С = " " = — ) ф(1)Е гл1й( Г 2 2п,) о (я=О, 1, ...), (и= — 1, -2,...).
)зяд с сом (19) с коэффициентами Сл= — ~ ф(1)Е 1"1йГ о (20) и представляет собой ряд Фурье функции ф, записанный в комплексной форме. Положим теперь еи=е и ф(1) =1(еи) =1(г); тогда ряд (19) примет вид л с„г", (21) а его коэффициенты со= 1 1 ((е1"1)е 1"1И= — 1 Г(е) 2я 2 ллл1 ' о 121 (22) Таким образом, ряд Фурье функции ф(1), ген[0, 2я1, записанный в комплексной форме, является рядом Лорана фцнкции 1(е) =1р(1), где а=еи, на единичной окружности (~е~ =1). Очевидно, что и обратно, ряд Лорана функции Г(а) на единичной окружности является рядом Фурье функции 7(ео) =ф(1) на отрезке (0,2я1 РЯДЪ|ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ Отметим, что, вообще говоря, даже в случае сходимости рида Фурье к функции ф в каждой точке отрезка [0,2п] для соответствующего ряда Лорана может получиться тс=г=1, так что область сходимости этого ряда Лорана окажется пустой.
Лишь при весьма ограничительных условиях, наложенных на функцию Ф, соответствующий ряд имеет непустую область сходимости. Пример. Пусть Положив е"=а, найдем соответствующую функцию ! 1 ! 1(з) 1 она голоморфна в кольце ~)а! <1з)< — . Как в предыдуп|ем примере, )а)!' получим ее лорановское разложение в атом кольце а=| Заменяя здесь снова з=е", получим разложение Фурье функции |р: Ф(!) = ~з а" Мпла л 24.
Изолированные особые точки. Здесь мы начинаем изучение точек, в которых нарушается голоморфность функций. Рассмотрим сначала простейший тип таких точек. Оп р е дел е н и е 1. Точка а е= С называется изолированной особой точкой функции !', если существует такая проколотая окрестность этой точки (т. е. множество (0<)г — а(<г), если точка а конечна, или множество (|с<)г)<оо), если а=оо), в которой функция 1 голоморфна. В зависимости от поведения 1 при приближении к такой точке различают три типа особых точек. Определение 2. Изолированная особая точка а функции ! называется (1) устранижой точкой, если существует конечный !1ш ! (г) = А; (П) полюсож, если существует 11|и !" (г) = оо; а+а !гл.
12 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКНИЙ 420 (111). суп(ественно особой точкой, если 1' не имеет нн конечного, нн бесконечного предела прн г а. П р и м е р ы. 1. Все три типа изолированных особых точек реализуются. Например, з(п 2 функции г и — имеют «=0 устранимой особой точной (для второй из 2 них это видно из того, что при 2 Ф 0 справедливо разложение з!п г г» 2' =1 — — + — — ... г 3! б! из которого следует, что существует 1пп = 1), Функции — „, где и— 51П 2 1 »ме 2" ' целое положительное число, имеют полос в точне г О.
Функция е' имеет 2-0 своей существенно особой точкой, ибо, например, при стремлении г=х к нулю по действительной оси пределы справа и слева различны (предел справа равен бесконечности, а слева — нулю); при стремлении 2=!у ! 1, . 1 к нулю по мнимой оси функция е» соз — — )з)п — вообще не имеет Д Д предела. Могут, конечно, существовать и не изолированные особые точки. 1 1 Например, функция — имеет полюсы в точкак г- — (и = с-!, -~- 2,,), и и з(ив 2 следовательно, 2=-0 является для нее иеизолированнай особой точкой — предельной точкой полюсов. 2. Более сложный пример особык точек доставляет функция 1(г) ~ч'~ г» = 1 + 2' + 2' + г' + л-о По формуле Коши — Адамара ряд (1) сходится в круге ()2(<Ц, и, следовательно, 1 голоморфна в этом круге.
При г-и! по направлению действительной оси она стреиится к бесконечности '), следовательно, точка 2= 1 является для пее особой. Но 1(2') = 1+ 24+ 2»+... =1(г) — 2», следовательно, цг) =2»+1(2»] стремится к бесконечности и когда г-ь — 1 по радиусу круга. Аналогично 1(г) =г'-1-2'+1(2'), следовательно, 1-ь со и когда г -ь жг по радиусам нруга. Вообще 1(2) — гз+. у. Рг +1(2 ) ') Это утверждение и е с л е д у е т из расходимости ряда (1) кри 2=1 (вспомните замечание в конце и.
!4) и требует особого доназательства; при м г=х, 0<х<1, имеем 1(х) > ~~0~ х', где У вЂ” произвольное натуральное н о число; предел при х-ь ! суммы в правой части равен А!+1, следовательно, найдется б>0 такое, что 1(х) >А) при ! — 0<х<1, следовательно, 1!ш 1(х) ».э !-о $6! РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ 121 Характер изолированной особой точки г=а тесно связан с характером лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки (мы будем коротко называть его разложением в окрестности а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
