Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Примерами мероморфных функций с бесконечным числом полюсов являются 1иа и с1дз. Те о р е м а 4, Если мероморфная функция 1' в бесконечности имеет устранимую точку или полюс (т. е. если она в О не имеет других Особенностей, кроме полюсов), то она является рациональной функцией. м Число всех полюсов функции Г конечно, ибо в противном случае в силу компактности С существовала бы предельная точка полюсов, которая является неизолированной особой точкой, а не полюсом. Обозначим через а, (У=!, ..., и) конечные полюсы ) н через (Й (Й с и с ( а,(г)= ', +...+— (г — а) ч г — ау (б) д (г) = с(з+;...
+ снзн (7) главную часть лорановского разложения Г в окрестности а=со; если а=со явлйется устранимой точкой ), положим и== — О. главную часть лорановского разложения 7 в окрестности по- люса а„. Обозначим еще Ряды ЛОРАНА и ОсОБые ТОчки 127 Рассмотрим функцию ч ф(а) =1(е) — И(е) — Ха.(е); ч=| она имеет все точки ген С правильными, и по теореме Лиувилля ф(а)= — со Таким образом, ) ( ) А со+ и (е) + Х а, (а), (8) т. е. является рациональной функцией ь 3 а м е ч а н н е.
Формула (8) представляет собой разложение рациональной функции ) на целую часть и простейшие дроби. Наше рассуждение дает простое доказательство существования такого разложения. Иногда мы будем употреблять термин «мероморфная функция» в более общем смысле. Именно, будем говорить, что функция 1 мероморфна и области О, если она не имеет в О других особенностей, кроме полюсов. И такая функция не может иметь более чем счетное число полюсов.
В самом деле, мы построим компактное исчерпывание (6„) области О (см. лемму в п. 22) и увидим, что в каждой 6„функция ) может иметь лишь конечное число полюсов. Если число полюсов функции 1', мероморфной области О, бесконечно, то предельные точки множества полюсов принадлежат границе дО. 25. Вычеты. Это звучит парадоксально, но наиболее интересными при изучении голоморфных функций являются точки„ в которых функции перестают быть голоморфными — их особые точки. В дальнейшем мы будем иметь много фактов, убеждающих в том, что в особых точках и главных частях лоранов. ских разложений в их окрестностях содержится основная информация о голоморфных функциях '). Мы проиллюстрируем это утверждение задачей о вычислении интегралов от голоморфных функций.
Пусть функция голоморфна в области О всюду, за исклгочением изолированного и, следовательно, не более чем счетного множества особых точек. Пусть область 6 ~ О и граница д6 состоит из конечного числа непрерывных кривых и не содержит особых точек; особые точки, попавшие в 6, мы обозначим аь ..., Оч (их ') Это утверждение допускает физическую интерпретацию. Бслн трактовать голоморфную функцию как комплексный потенциал векторного поля, скржем поля скоростей течения жидкости (см.
п. 7), то особые точки будут интерпретироваться иан источники, стоки, вихри и другие элементы, определяюшие это поле. Об этом см. М, А. Лаврентьев и Б. В. Шабат, цит. ка стр. 42. СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. 11 (28 конечное число). Построим окружности у„=((г — а„( =г) столь малого радиуса г, что круги 6„, ими ограниченные, не пересекаются друг с другом и содержатся в 6. Пусть у, ориентированы против часовой стрелки (рис. 38). Обозначим ь область 6" Ц Пу через 6„; фуккция ( голоморфна в 6„, сле- У-1 довательно, по интегральной теореме Коши для многосвязных областей (3) По теореме о неизменности интеграла при гомотопной деформации контура вычет не зависит от величины г (при г достаточно малых) и определяется локальным поведением ) в ее особой точке.
Доказанное выше соотношение (2) выражает так называемую теорему Коши о вычетах. Т е о р е м а 1, Пусть функция (' голоморфна в области 0 всюду, за исключением изолированного множества особых точек, и область 6 ~6, а ее граница д6 не содержит особых точек; тогда ) ('йг=2а( ~~~ гез(, ао (о( ' (4) да Но ориентированная граница д6„ состоит из д6 и ориентированных отрицательно окружностей у, (у=1, ...
..., п), и по свойствам интегралов мы получаем е ) ('дг = „~~ ) (' Ыг. (2) да у-1 т У Таким образом, вычисление интеграла от голоморфной функции по границе области сводится к вычислению ее интегралов по сколь угодно малым окружностям с центрами в особых точках функции. О п р е дел е н и е 1. Интеграл от функции 1 по достаточно малой окружности у,=((г — а~ =г) с центром в изолированной особой точке а енО этой функции, деленный на 2п(, называется вычетом )' в точке а и обозначается символом ГЕЗГ= 2,1 "т РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ $61 еде сумма распространяется на все особые тос:чг а, функиии !', принадлежащие 6. Эта теорема имеет большое принципиальное значение, пбо она сводит вычисление гл о б а л ь н о й величины, какой является интеграл от голоморфной функции по границе области, к вычислению величин локальных — вычетов функции в ее особых точках.
Как мы сейчас увидим, вычеты функции в ее особых точках полностью определяются главными частями лорановских разложений в окрестностях этих точек. Тем самым будет установлено, что в задаче о вычислении интегралов от голоморфной функции достаточно иметь информацию лишь об ее особых точках и главных частях в них. Те о р е м а 2.
Вычет функции ! в изолированной особой точке ае= г,' равен коэффициенту при минус ггервой степени е — а в ее лорановском разложении в окрестности а: ГЕЗ(=С Р а ч В проколотой окрестности точки а функпия ! представляется рядом Лорана г" (е) = ~~'.г с„(а — а)", причем на окружности у„=(~е — а!=т) при достаточно малых т этот ряд сходится равномерно.
Интегрируя ряд почленно вдоль у„и пользуясь ортогональностью степеней (п. !4), мы найдем ~ !'де= с, ° 2яг. Ур ((е) = ='+ ~ с„(е — а)". а 0 Отсюда сразу получается формула для вычисления вычета в полюсе первого порядка: с г — — )пп (е — а))(е). в+а (6) 9 в. В, швбвв Вспоминая определение вычета, получим (5) Следствие. В устранимой точке аен г; вычет функции равен нулю. Приведем формулы для вычисления вычета фуннции в полюсе. Пусть сначала а — полюс первого порядка. Лорановское разложение функции в его окрестности имеет вид своястВА ГоломоРФных Функция !зо (гл. !1 Особенно удобна для вычислений небольшая модификация этой формулы.
Пусть в окрестности точки а )(г) =,~(,) где у и ф голоморфны в а, причем ф(а) ФО и ф(а) =О, ф'(а) ФО (отсюда следует, что а — полюс первого порядка функции )). Тогда по формуле (б) Ф( ), ~у(г)-$(а) ' т. е. Ф (а) Ф'(а) ' (6') Пусть теперь ( имеет в точке а полюс и-го порядка; тогда в проколотой окрестности а )(г)= "„+ ... + — '+ ~ сл(г — а)~. г-о Умножнм обе части этого разложения на (г — а)" для устранения отрицательных степеней в правой части, затем продифференцируем п — ! раз (чтобы выделить справа с,) и перейдем к пределу при г- а. Мы получим формулу для вычисления вычета в полюсе и-го порядка: ~л-1 с, = (цп —,((г — а)" ) (г)).
( л-1 (7) гез7= —. ~ ) аг, ! 2я) (8) ) где у- — окружность ((г! =)г) достаточно большого радиуса, про- ходимая по часовой стрелке, Для вычисления вычетов в существенно особых точках аналогичных формул пе существует, и надо находить главные части лорановского разложения. Несколько слов о вычете в бесконечности.
Определение 2. Пусть функция ( имеет ФФ своей изолированной особой точкой; ее вычетом в бесконечности называется величина РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ э 61 Ориентация у выбрана так, чтобы во время ее обхода окрестность бесконечной точки (й< ~1г)<оо) оставалась слева. Напишем разложение Лорана функции ) в этой окрестности: )(г) = ~~'., сиг". Интегрируя его почленно вдоль у и пользуясь ортогональностыо степеней, мы найдем гез) = — с н (0) Члены с отрицательными степенями входят в правильную, а не в главную часть лорановского разложения в бесконечности. Поэтому, в отличие от конечных точек, вычет в бесконечности может быть не равным нулю и в том случае, когда г=оо является правильной точкой функции. Приведем еше простую теорему о п о л н о й с у м м е в ыч е т о в.
Т е о р е м а 3. Пусть функция 1' голоморфна всюду в плоскости С, за исключением конечного числа точек а, (т=1, ..., и); тогда сум.иа ее вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю: и ~~'., гез ) + гез 1 = О. (10) ч=! а ч м Построим окружность уп=((г(=П) столь большого радиуса, что она содержит внутри все конечные особые точки а„; пусть ун ориентирована против часовой стрелки. По теореме Коши о вычетах и — ~ ) с(г = ~ра гез); У ч=~ ач я по теореме о гомотопии (и, 16) величина в левой части равенства не меняется при дальнейшем увеличении )с; следовательно, эта величина равна вычету 1" в бесконечности, взятому со знаком минус (учтите направление обхода).
Таким образом, последнее равенство равносильно (10) П р и м е р. При вычислении интеграла ег (аэ + ~)э 1 а1=2 нет нужды вычислять вычеты подинтегральной функции во всех ее восьми полюсах второго порядка, лежапгих внутри окружности 114=2). К этой функции 1гл. гт СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 132 применима теорема о полной сумме вычетов, по ноторой а Хт..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
