Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Однако просуммировав зту геометрическую прогрессию, мы найдем, ! что 1, (2) = , и полученная формула дает аналитическое продолжение ! — 2 функции 1, в область С'~,(!). Рассмотрим менее тривиальный пример Гамма-ф~~нкцшч Эйлера при Вез>0 определяется интегралом по положительной полуоси Г (2) = ) е 1!' ' г(1, о где под !'-1 для !>О понимается е!'-'>ьа '.
Функции г"„(г)= )Г е '!2 с(! (П=1, 2, ...) л — целые, ибо интеграл можно дифференцировать по параметру в любой точке плоскости. Так как на любом компактном подмножестве правой полуплоскости (Кез>0) последовательность (г"„) раВНОМЕрНО ПО и СХОдИтСя К Г(2), тО ПО тЕОрЕМЕ ВЕйЕрштрасса гамма-функция голоморфна в правой полуплоскостн, Если х=Кег (О, то интеграл (1) перестает сходиться из-за того, что подинтегральная функция слишком быстро возрастает при 1 0 (у пас !!'-1) й енео — '!'"1=!" — ', а е — '- 1 при 1- 0). Мы улучшим сходимость при 1=0, если вычтем из е — ' начальные члены ее тейлоровского разложения в нуле и тем самым получим множитель, стремящийся к нулю при 1- О.
При !сез>0 мы получим на этом пути л л Г(г) = " и-' — У( !) ! 1'1ж+У( !) "!А" !с(!+ (2 11' гс(1 .«.) й! г! ! й! о А=О а-о о ! 139 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕГКОГО ПРОЛОЛЖЕНИЯ % 71 или, вычисляя элементарные интегралы, л Г(,)- т. ъх ( — 1)" 1 Л! Ь! +А Аса ! = ~(е' — ~~ ~, !)!' г(1+~ е !' Л. (2) о А=О ! которому удовлетворяет эта функция при Ке г>0. В самом деле, при )хе г ) 0 мы можем написать Г(е) Г (а+1) а потом заметить, что правая часть этого равенства определена при Ке е) — 1, г Ф О. Повторяя этот прием достаточное число В этом равенстве второй интеграл справа — целая функция (см.
выше), первый интеграл сходится равномерно по е на любом компактном подмножестве полуплоскости (Гхег> — (77+1)) ибо е ' — ~„1~= т !' стремится к нулю при ! — 0 .а.! И вЂ” .2а ь! а-о А=л.!-! со скоростью !"е') и, значит, представляет собой функцию, голоморфную в этой полуплоскости. Таким образом, равенство (2) позволяет аналитически прол Ъл 1 — 1) ! должить разность Г(е) — „~~— Й1 2+1 в полуплоскость а=о (Йег> — (и+'!)), а сама Г(г) оказывается продолженной до функции, мероморфной в этой полуплоскости. Так как в качестве и можно взять любое натуральное число, мы получаем мероморфное продолжение гамма-функции на всю плоскосгь. Мы видим также, что продолженная функция имеет в нуле и отрицательных целых точках полюсы первого порядка, причем 1 1)Ф вычет в полюсе г= — й равен —,, (Я=О, 1, 2, ...).
На рис.40 приведена поверхность модуля гамма-функции, на которой нанесены также линии равного модуля и аргумента. Метод улучшения сходимостн, который здесь продемонстрирован, называется методох! Коши; в гл. Ч мы еще раз будем им пользоваться (см. п. 42). Заметим, что мероморфное продолжение гамма-функции в левую полуплоскость можно осуществить также, пользуясь функциональным уравнением Г(2+ 1) = еГ(е), 1гл.
тп АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 140 раз, мы продолжим гамма-функцию в любую точку ечьО, — 1,— 2,.... Конечно, задача аналитического продолжения не всегда раз- решима. Вспомним пример из п. 24: функция п)=Х"" а-о голоморфна в единичном круге У=(!е!<!), но окружность (!г~=!) является ее особой линией, и поэтому аналитическое продолжение !" ни в какую область, строго содержащую 0, не- возможно, Рис. 40. Если функция ! (как в этом примере) голоморфна в некоторой области 0 и не продолжается аналитически ни в какую область, строго содержащую О, то мы будем называть 0 областью голоморфности функции 1.
В и. 43 мы докажем, что каждая область 0 с= С является областью голоморфности некоторой функции. Сейчас мы рассмотрим пример, который заставит нас рас ширить принятое понятие аналитического продолжения. Пусть область 0 представляет собой плоскость А,, разрезанную вдоль отрицательной полуоси: 0=(е=гг'ч: — п«р<п, г>0), В этой области определена функция — !— о ш !о(е)='ггге ', — п«р<п, ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 141 взаимно однозначно отображающая 0 на правую полуплоскость 0*=~го=регэ: — — <ф< —, р)0~, Мы имеем и!я=гегог а (так ю что !о(е) = рГг) и в силу того, что отображение (е.0- 0" взаимно однозначно, можем воспользоваться правилом дифференцирования обратных функций '), по которому в каждой точке е ее 0 существует 1 1 ! Г(е) = — = — = о Но 2го 2!а (о) и'го Ю Таким образом, функция !с голоморфна в 0. Рассмотрим теперь сектор 5=(п <гр<п+6), где Ь)0 Рис, 41.
(рис. 41). Функция !с непосредственно формулой (3) продолжается в этот сектор. Так как при этом 5 взаимно однозначно отображается на сектор 5*=4 — (ф~ ~г плоскости го, то по тем же соображениям, (и и+б1 ! 2 2 что и выше, продолженная функция ((г)- у'ге ', и(!р<п+Ь, (4) голоморфна в 5. Однако ! нельзя рассматривать как аналитическое продолжение !в из 0 в область 0()5=! — П<гр<п+6) по той причине, что ! не является функцией в этой области, ибо она неоднозначна в 0ь)5.
В самом деле, любой -~ точке зо из пересечения 0П5 она сопоставляет два значения ш; если считать, что геен О, то зо нужно сопоставить значение ') В самом деле, в силу однолистиости отображения а-«и при Ля~ О имеем Ьв Ф О и, следовательно, Ьво 1 00 ао Ао Ьм В силу непрерывности етого отображения Его -«О при Ьо-«О, и если суще- Лв дг ствует !Нп — — Ф О, то, переходя в (*) н пределу при Лг-« О, полу- Ае.«с А!О ЛМ чим, что существует йп —, равный Лго во-«о Лл ~йо 1 о(а ив ~йа 1ГЛ. ПГ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 142 Ча 12(ес) = ~ гае ', тле — п<сРо< — и+6; если же считать го ее 5, то этой точке надо приписать аргумент я2=я24+2П (л«у<я+6) и, следовательно, значение функции Та+2» п.)=)'.
' =-).(.) (в обоих случаях у нас го= ,'ео!). Между тем если рассматривать ), только в верхней половине области О, т. е. верхней полуплоскости О+=(0«у<я), то функция Г(г)= у'ге ', 0<ф<я+6, (гб) будет аналитическим продолжением Г», ибо она голоморфна в О'()5 и 1!л+ =)2 Возникает настоятельная потребность обобщить понятие аналитического продолжения так, чтобы оно содержало и рассмотренное выше продолжение )о из О в О()5, но не требовало введения многозначных функций.
Заметим, что при аналитическом продолжении однозначность нарушается в тот момент, когда расширяющаяся область определения функции начинает «налезать» на себя, покрывать еще раз некоторую свою часть (подобно тому, как в нашем примере сектор 5 покрывает часть области О, см. рис. 4!). Из э~ого наблюдения в теории функций возникла идея (восходящая еще к Б. Риману и К.
Вейерштрассу) относигь появляющиеся при продолжении новые значения функции не к старой области, где функция уже определена, а к новой области, покрывающей старую. Так, в нашем примере значения г в пересечении ОП5, где уже определена функция )4, мы будем относить не к области О, о а к сектору 5 (точнее, к 5, ибо 5 содержит граничный луч (~р=п) и не является областью). Таким образом, на пересечении О()5 мы будем рассматривать два объекта; !) часть области Π— сектор ОР=( — л<ар< — я+6) — с голоморфной в ней о функцией Г, и 2) сектор 5=(л<ф<п+6) с голоморфной в нем а функцией !.
Хотя области О, и 5 геометрически совпадают, но функции ) и )2, им отнесенные, различны (они, очевидно, отлича~отся знаком), поэтому эти объекты следует считать различными. Итак, идея заключается в том, что вместо функции рассматривается новый объект — и а р а, составленная нз области и заданной в ней функции, Переходим к точным определениям, понятие АнАлитическОГО пгодолжсния 143 % 71 О п р е дел е н и е 1. Аналитическим элементом или, короче, элементом называется совокупность еУ = (Р, 1') области 0 с: С и голоморфной в этой области функции 7. Определение 2.
Говорят, что два элемента еУ2, =(Рн ~,) и Ф 2 = (0„12), области которых имеют непустое пересечение РД02, являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга через область Л— связную компоненту РД02 — если всю- дувЛ 21(г) 22(г) (7) р, (при этом значения (, н 12 в других ком- 2 понентах пересечения ОД02 не обязаны совпадать, см. рис. 42).
Так, в рассмотренном выше примере элемент У „который состоит из области 0=( — и<у<и) и голоморфной в ней функции )о, определенной равенством (3), и элемент еУ н состоя- 1 и Зя 1 ший из области Р,= 4 — '2 «р< — ~ (левой полуплоскости) и го- Зп ломорфной в ней функции(1(г) = р г е ', — <ср< —, составля- 2 2 ют непосредственное аналитическое продотжение друг друга через второй квадрант Л = 4 — ' < р < н~, но не через третий квадрант ~2 Л' ~н<~р< — '1, ибовЛ' значения(еи(, различны (рис.43). Рвс. 44.
Рис. 4З. Определение 3. Говорят, что элементы еУ =(О, 7) и Я =(6, д) являются аналитическим продолжением ') друг друга через области Л, (Т=О, ..., и — 1), если сушествует такая цепочка элементов У, = (0„1",), т = О, ..., и, что: 1) У,= У, У,= У; 2) области О, и В,е, имеют непустое пересечение и Л, является одной из его компонент (о=О, ..., и — 1); элемент У„н является непосредственным аналитическим продолжением У, (о=0, ..., п — 1) через Л, (рнс. 44), ') Уже бев слова «иепосрелствеииое» АнАлитическое продолжениа [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
