Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Объединение кругов сходимости элементов, принадлежагцих аналитической функции, образует область. ы Пусть 0 — это объединение; оно открыто, как объединение открытых множеств (если гав=В, то ее принадлежит и кругу сходимости У некоторого элемента, а У входит в 0). Но 0 и связно, ибо для любых точек а, Ь~0 можно найти принадлежащие функции элементы, которые имеют эти точки центрами, а так как зти элементы получаются друг из друга продолжением вдоль некоторого пути у, соедннянзщего а и в, то и все точки у принадлежат О. Таким образом, 0 — открытое связное множество, т. е.
область > Заметим, что аналитическая функция не является в этой области функцией в обычном смысле слова. В самом деле, пусть еГ= (О, )г), где У=()е — 11<1), и 1гл гп лнклитичкског пьодолжвние 164 функции можно будет рассматривать как обычные (однознач- ные) функции, Правда, в некоторых случаях аналитические функции можне рассматривать как обычные функции и в плоских областях. Например, справедлива такая Теорема 2 (о мо нодро ми и). Если некоторьчй элемент ,У = ((7, )) аналитически продолжаем вдоль любого пути у, принадлежащего односвязной области О, то определяемая ппо- должениямиР вдоль таких путей аналитическая функция одно- значна в этой области.
< Пусть,У имеет центром точку а еп 0 и з — произвольная точка этой области. В силу односвязности 0 любые два пути уь и уь ведущие в 0 из точки а в е, гомотопны, а по условию элемент У продолжаем вдоль любого пути, осуществляющего гомотопию. Следовательно, по теореме об инвариантности ана- литического продолжения (п. 27) элементы аналитической функ- ции с центром в точке з совпадают. Их значение в точке е мы и сопоставим этой точке. Таким образом, аналитическая функ- ция определяет (однозначную) функцию в области 0 > Если условие теоремы о монодромии не выполняется (на- пример, если область 0 неодносвязна или не все элементы продолжаются вдоль всех путей у ~ 0), то аналитическая функ- ция может сопоставлять точкам зев 0 несколько значений (они будут значениями различных в е т в е й аналитической функции в точке г).
Сколько же значений может прн этом сопоставляться фиксированной точке7 Ответ на этот вопрос дает Т е о р е м а 3 (П у а н к а р е — В о л ь т е р р а) . А налитическая функция может иметь не более чем счетное множество различ ных элементов с центром в фиксированной точке. м Пусть аналитическая функция определяется начальным элементом,У с центром а и з — произвольная точка области 0, образованной кругами элементов, которые получаются при про- должении,7 (теорема 1). По теореме 2 п. 27 любой принадле- жащий функции элемент У с центром в точке з можно получить при помощи конечной цепочки элементов с центрами а, зь ...
..., з„ь з, в которой каждый следующий элемент является непосредственным аналитическим продолжением предыдущего. Без ограничения общности можно считать, что точки з„ (ч=1, ..., п — 1) рациональны (т. е. Кез„и 1т г„— рациональ- ные числа). В самом деле, пусть сначала центры з, элементов ьг, (э=1, ... и — 1) произвольны. В сколь угодно малой окре/ стности каждой точки з, возьмем рациональную точку з„и заме- ннм У, его непосредственным аналитическим продолжениемьэг, с центром в з,. Ясно (см. доказательство теоремы 3 из п. 27), что понятии хнхлитическоп еэнхцни при достаточно малых (г', — г,)результат продолжения по новой цепочке будет совпадать со старым. Остается заметить, что множество возможных непосредственных аналитических продолжений Ф, с рациональными центрами элемента Р счетно, так же как и множества элементов чг „..., У „,.
Так как задание Я „, и точки г однозначно определяет элемент Я (хотя различные У „, могут привести к одинаковым У), то множество возможных элементов Я не более чем счетно ь Пример аналитической функции, которая сопоставляет точкам области Р бесконечное (счетное) множество значений, мы приведем в следующем пункте. Над аналитическими функциями можно производить обычные для анализа действия, которые определяются как соответствующие действия над их ветвями. Так, производной аналитической функции (аУ „), ае=А, называется аналитическая функ- Р ция, элементами которой служат пары Р *=(Р„(), а ~ А, где (Р„, ),) = чг „.
Суммой аналитических функций (чУ,) и (Ф,), определяемых элементами У,=(Р„; („) и Я,=(Р„, д,) с одинаковыми областями, называется аналитическая функция с элементами (Р„, („+д„). Аналогично определяются произведение и частное аналитических функций, однако частное двух аналитических функций будет аналитической функцией лишь в том случае, когда делитель отличен от нуля. Можно определить также композицию двух аналитических функций ('Г,) и (Я„) как аналитическую функцию с элементами (Р„, д„о(„); при этом предполагается, что У „=(Р„(„), 'т =(б„, д„) и что ((Р ) с: б„для всех а ~ А. Например, под е(э а) понимается аналитическая функция с элементами (Р„, за~.
При желании можно определить действия над аналитическими функциями, не связывая их с рассмотрением областей элементов. Для этого нужно воспользоваться локализацией понятия элементов, перейдя от них к росткам. Напомним, что ростком $ аналитической функции в точке а называется класс эквивалентных элементов при следующем понятии эквивалент. ности: элементы (Рь (,) и (Р., (з) считаются эквивалентными, если пересечение РЯР, содержит точку а и )1=— ), в некоторой окрестности этой точки.
Действия над ростками вводятся естественным образом. Именно, под производной т,' ростка т„ понимается класс элементов, эквивалентных (Р, ('), где (Р, () — какой-либо представитель класса т„(очевидно, т,' не зависит от выбора представителя). Аналогично определяются сумма (, +я и произведение. )а'(ь ростков в данной точке. Совокупность ростков аналитиче., !гл. гп хнллитичвсков пяодолжвнив 156 ских функций в данной точке а составляет, очевидно, коммутативное кольцо. 29.
Элементарные функции. Здесь мы рассмотрим важнейшие примеры многозначных аналитических функций. 1. Корень. Под корнем и-й степени (и — натуральное число) нз г понимается аналитическая функция определяемая следующим образом. В плоскости С с выброшенной отрицательной полуосью Ро=С~,Р рассмотрим функцию л 1о (г) = )/г е " — и < ф < н (2) (мы полагаем г=ге'о). Она непрерывна в Ро и взаимно однозначно отображает Ро на сектор Ро=~ — — <оР< — У плоскости л л! оиг о ! 1 ог! яр а Рлс. 50.
комплексного переменного ое=реоо (рис. 50). Так как ге =г, то по правилу дифференцирования обратной функции для всех гонРо существует производная (см. сноску на стр. 14!). Поэтому пара оУ о=(Ро, !о) представляет собой аналитический элемент. Аналитическую функцию, которая получается при аналитическом продолжении этого элемента, н называют корнем и-й степени из г. Такое продолжение можно описать, например, так. Рассмотрим область Р„=( — и+а<ф<п+а) и в ней голоморфную функцию л . о 1,(г)= у'ге ", — и+а«р<п+а.
(4) ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ % В] 157 Очевидно, что элементы У „=(Р„, 1„) при всех а~(ч будут представлять собой аналитическое продолжение элемента (Р,, )А) (при )а~ <и — непосредственное). Совокупность этих элементов ФУ и описывает нашУ фУнкцию. Объединением областей этих элементов Р= ( ) Р, служит, а~Я ОЧЕВИДНО, ПЛОСКОСТЬ С С ИСКЛЮЧЕННЫМИ тОЧКаМИ а=О И г=оо (это — единственные точки из С, которые принадлежат границам всех Р„н не принадлежат ни одной Р„). Эту же функцию можно определить и при помощи канонических элементов.
Примем за начальный, например, элемент у, с центром в точке г=!, который состоит из круга Р= =()г — ! ~<!) н голоморфной в нем функции А-0 (мы, как и в примере на стр. 149, заметили, что при положительных г=х функция дч(х) = )7х, воспользовались биномиальным разложением этой действительной функции и продолжили разложение с отрезка (О, 2) в круг Р). Элемент ХУА ФУТ м ибо прн е=хен(О, 2) мы имеем г=х, ф=О и, следовательно, ~А(х) =дэ(х) = у'х, а так как обе функции 10 и й„голоморфны в Р, то по теореме единственности 1,(г) =д,(г) для всех ген0. По определению 3 предыдущего пункта аналитические функции, определяемые элементами чг", н Ям совпадают. Каждой точке е0~Р аналитическая функция гв = !'г относит точно и различных значений.
В самом деле, значения всех голоморфных функций, принадлежащих элементам У (ветвей нашей аналитической функции), определяются по формуле а Ф+2АЯ га = ~/г0е (6) где г,= )г,!, ФА — одно из возможных значений агп г,, а й — произвольное целое число, Положив в,= У'гав ", мы видим, что — А все другие значения в отличаются от и, множителями е а эти множители (корни и-й степени из 1) получаются из век2л тора 1 поворотами на угол, кратный —, т.
е. имеют и различ- АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕН!!Е 158 1гл 1И ных значений. Таким образом, среди значений (б) имеется лишь и различных значений шм и!! „., ш„ь которые получаются, если положить в (6) )г=О, 1, ..., и — 1. Эти значения располагаются в вершинах правильного и-угольника с центром в точке и!=О, одной из вершин которого служит точка ш, (см. рис. 50). В заключение несколько слов о ветвях аналитической функции )уг.
В соответствии с определением п. 28 под ветвью этой функции понимается любой принадлежащий ей элемент (не обязательно из числа элементов У ). Можно также понимать под ветвью голоморфную функцию, принадлежащую этому эле-, менту. и/! ! ! у иг 3 !ю= !'г! (г/ Ряс. Зь По теореме о монодромии (и, 28) ветвь ~~а можно выделить в любой односвязной области 6, не содержащей точек г=О и г=со. Примером такой области служит плоскость с любым разрезом, соединяющим эти точки (граница области должна быть связной). На рис.
51 изображена одна из таких областей 6 и ее образ 6* при отображении одной из ветвей к' г; две другие гч! еи ветви отображают 6 соответственно на области е з 6" и е ' 6", ги 4а полученные из 6* поворотом на углы — а — ' з з Вообще, ветвь )тг можно выделить в любой области, которая не содержит ни одного замкнутого пути, охватывающего точку Е=О. В самом деле, при обходе таких и только таких путей величина агпг меняется на целое кратное 2п, и, следовательно, аналитическое продолжение вдоль них какого-либо элемента может привести к другому элементу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
