Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В областях, удовлет- понятия хихлитическои ехнкции 159 воряющих указанному условию, можно выделить п различных ветвей нашей аналитической функции. Каждая из таких ветвей отличается от другой множителями е " и вполне характеризуется указанием области, в которой оиа определена, и значением в одной из точек этой области. (Например, можно говорить о ветви т г, которая определена в плоскости С с разрезом вдоль отрицательной полуоси и которая равна ! прн м— а=1; другие две ветви Р г в этой области при я=! принимают 2и~ 4ис ьч соответственно значения е ' и е ' = е ' .) (в=с пз/ Рис.
52. Над корнями можно производить действия в том смысле, какой нм был придан в конце предыдущего пункта. В частности, можно рассматривать производную которая также является аналитической функцией. 2. Логарифм комплексного переменного г в=1па можно определить аналитическим продолжением начального элемента, который состоит из области Вь=( — п<ср<п) и заданной в ией функции в !па= 1пг+ир, — п«р<п, которая называется главной ветвью логарифма (как и выше, мы полагаем а=ге'ч). Функция (9) гомеоморфно отображает ~ь иа полосу .0с =(в: — и < !а в < и), (рис. 52), а так как из свойств показательной функции (п.
12) следует, что (9) АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 1гл. !и 1бо е"=е'"" еоо=г, т, е, что функция (9) обратна к показательной, то по правилу дифференцирования обратных функций в каждой точке го~Ро существует 1 1 — (1п г) = — = —. ак е к (10) (1! ) л ! (которая получается аналитическим продолжением в 0 с диаметра (О, 2) действительной функции 1пх=!п(1+(х — 1))= -! (к — !)" ! = ~~л(-1)л ' — /. Элементы (Ро, 1пг) и (Р, 1пг!О) экл ! вивалентны. Каждой точке гоееР=()Р„аналитическая функция (.па относит с ч е т н о е м н о ж е с т в о значений, которые определяются по формуле ев = !п го+ 1(!ро+ 2йи), (12) ГДЕ Го= !го!, !Ро — ОДНО ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ЗНаЧЕНИй АГЦ г, И й — ПРО- извольное целое число, Все они различны и лежат на вертикальной прямой Кем=!пт, на расстоянии, целом кратном 2п, друг от друга (см.
рис. 52). Все этн значения считаются логарифмами числа го; таким образом, каждое конечное комплексное число, кроме г=О, имеет бесконечно много логарифмов. Ветви аналитической функции 1.пг, так же как )тг, можно выделять в любой области 6, которая не содержит ни одного замкнутого пути, охватывающего точку г=О. В самом деле, продолжение вдоль такого и только такого пути может перевести канонический элемент в другой элемент с тем же центром, не равный первому. В каждой области 6, удовлетворяющей указанному условию, можно выделить бесконечно много ветвей Таким образом, элемент У о — — (Р,, !пг) — аналитический. Аналитическое продолжение элемента У о можно, как и выше, определить при помощи семейства элементов оУ',(а~ В), которые состоят из области Р =( — и+а«а<а+а) и голоморфной в ней функции )„(г) =1п т+йр, — и+а«а<и+и.
Объединением областей этих элементов по-прежнему служит С с исключенными точками г=О и г=оо. Можно определить (.па также при помощи канонических элементов. В качестве начального элемента можно принять круг У=(!г — 1~ <1) и голоморфную в нем функцию 1п г !и = ~ (-1)" ' % з! ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОИ ФУНКЦИИ Ьпг, которые отличаются.друг от друга постояннымн слагаел мыми — целыми кратными 2ИЬ Поэтолеу ветви Ьп г, как и у'г, однозначно определяются указанием области, в котором рас' сматривается ветвь, и ее значения в одной из точен '). Над логарифмом люжно производить действия в смысле, указанном в п.
28. В частности, производная логарифма (1.п г)' =— 1 оказывается функцией, голоморфной в области Р (все ветви логарифма имеют одну и ту же производную). Голоморфна и функция еьп а — г. (14) в этом смысле можно Описательно говорить, что логарифм является функцией, обратной к показательной'). Не так благополучно обстоит дело с алгебраическими действиями над логарифмами. Например, справедливое равенство Ьпг+1пг=2Ьпг (в самом деле, в обеих его частях стоит аналитическая функция, определяемая элементом (Р„21пг)) нельзя рассматривать как равенство для соответствующих значений логарифма в фиксированной точке го~Р: 1-и го + Ьп го Ф 2 1.п го (!) (в самом деле, действия над совокупностями чисел Ьпг„не о п р е де лен ы, поэтому такое равенство просто не имеет смысла; если же определить эти действия «естественным» образом как действия над совокупностями, то получится неправильный результат: 21п го+2лп1=2(1п г,+2(тя(), где Й вЂ” произвольное целое число).
Мы закончим раздел, посвященный логарифму, упоминанием о споре, который разгорелся в !7!2 — !7!3 гг. в переписке между двумя ирупнейшими математиками того времени Иоганном Бернулли и Г. Лейбницц е м ') о логарифмах отрицательных чисел. Бернулли утверждал, что оии ') Это справедливо н е д л я в се х аналитических функций.
Например, аналитичесная функция е , которую мы рассматривали в п, 28, в точке а, †имеет две различные ветви, соответствующие двчм значениям Узз —— -~-пй однако значения ее™ этих ветвей в точке аз совпадают ') Точнее, в правой части (14) стоит сужение функции иа область О, ибо левая часть не определена цри з=о и а= оч. ') Подробнее об этом можно прочитать в книге Л, Н. М а р к у ш е в и ч а Очерки по истории теории аналитических функций, Физматгиз, М.— Л., 195!! мы пользуемси здесь его изложением.
11 г. в. Шеоат (гл. гп днллитичзскои продолжвние 162 действительны и что !и( — х) -!и х Вот один из его доводов в пользу этого утверждения: из равенства ( — х)' х' следует, что 2!п( — х) 2!п х. Лейбниц же утверждал, что логарифмы отрицательнык чисел мнимы н что тождество 1п( — х) =1п х не имеет места, в частности, !п( — 1) Ф О. Вот один вз доводов Лейбница в пользу последнего утверждения: если подставить хт хз х= — 2 в разложение 1п (1+х) =х — — + — — ..., то получится равенство 2 3 1 1 1п (-1) — 1 — — — —, — ., в котором все члены справа отрицательны, 2 3 и, следовательно, !ц( — 1) чь О.
В !749 г. в спор вступил Л. Э й л е р. Он опубликовал статью, в которой утверждал, что нн олин из спорщиков не прав. В частности, паизеденный выше аргумент Бернулли он опровергал так. Подобным же образом из ра- венства (х ! — 1) =х' можно заключить, что 1и х+ !п г — 1= !их, т. е. что 4 1цУ вЂ” 1 и 1п)' — 1 О.
Носам Бернулли открыл, что —, а в последнем равен- У:1 стве сомневаться нельзя, ибо, писал Эйлер, «это открытие обосновано наиболее надежными средствами анализа». Приведенный выше довод Лейбница Эйлер также не считал убедительным. Он привел следующий пример: если поло! жить в разложении !+х 1 — х+хз — х»+ ... один раз х= — 3, а другой х 1 н сложить результаты, то получится равенство 0-2+2+!0+26+..., в котором левая часть равна О, хотя, как писал Эйлер, «правая часть пред- ставляется отличной от нуля».
В упомянутой статье Эйлер предложил правильное решение спора: лага. рифмы отрицательных (как и других камцлексных чисел) имеют бесконечное множество значений. Небезынтересна его аргументация. Заачение у=1п х определяется из уравнения х е" (1 + †. ) где ! — «бесконечна большое ! число» (термин и обозначенве Эйлера), Отсюда получается, что у 1(х! — 1) ! а число х — «корень с бесконечно большим показателем» вЂ” имеет бесконеч! но много значений, вообще говоря, комплексных. Интересно также, что в !76! г.
Ж. Пал эмбер в этом споре принял сторону Бернулли против Лейбница и Эйлера. 3. Обратные тригонометрические функции просто выражаются через корни и логарифмы. Найдем такое выражение, например, для арккосинуса. Решая уравнение 1 сон ге=г, или — (е' + е ' ) =г, нли, наконец, езгм 2ге! ! 1 0 как квадратное уравнение относительно е™, найдем е" и = г + )г г' — 1 (мы не пишем здесь обычный знак ~ь, ибо по нашему определению квадратный корень и так имеет два значения). Остается заметить, что из последнего равенства ге = Агссоз г = ю'?.п (г + 7 гз — 1) (! 5) ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 163 э е! 1 (мы ставим перед логарифмом 1, а не —., как должны были бы, 1 1 потому, что в силу соотношения,, =г — ~'г~ — 1 изме.+)Гп -1 пение знака перед логарифмом сводится к изменению знака перед корнем, а последний все равно имеет два значения).
Аналогичные выражения справедливы и для других обратных тригонометрических функций, например Атсз!па = — 11.п(1г + уТ вЂ” г'), Атс1дг = —.1.п .. (16) Формулы (!5) и (16) напоминают известные формулы для обратных гиперболических функций, и это неудивительно, ибо в комплексном анализе тригонометрические функции просто связаны с гиперболическими (см. п. !3). Обратные тригонометрические функции представляют собой аналитические функции, и в формулах (15) и (16) действия надо понимать так, как принято выше (при помощи ветвей). 4. Общая степенная функ ц и я вФ еа, где а — произвольное комплексное число, определяется соотношением Ш вЂ” Еа — еа ьп а (17) и представляет собой аналитическую функцию.
Для де й с т в нтельных показателей аевг' .будем различать три случая: а) а — целое число. В этом случае функция (!7) однозначна — многозначность логарифма погашается периодичностью показательной функции. Поэтому функция голоморфна прн а>0 в С (точка Е=О устранимая), а при а<0 в С'к(0) (точка э=по устранимая).
б) а = — — рациональное число (мы предполагаем, что дробь Р несократима). Здесь многозначность логарифма лишь частично погашается периодичностью показательной функции, и функция (17) каждому гчьО, +по ставит в соответствие д различных значений. Она совпадает с аналитической функцией ш = )Геп, в) а — иррациональное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
