Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Однако любое подмножество И, его точек (а, [,(з)), где [, являются ветвями одной аналитической функции, связно. В самом деле, если точки А = (а, [, (е)) и В = (Ь, [, (е)) принадлежат Иы то элементы ((У„[,) и ((У„[,) получаются друг из друга продолжением вдоль некоторого пути у: е = з(1), 1~ [а, (3]. Но тогда и точки Л,= [ан [,,(з)) в=Я для любого 1~ [а, й]. Тем самым определено непрерывное отображение [а, й] — «И, т. е. путь — А„принадлежащий Яв и связывающий точки А и В.
Таким образом, Иа даже линейно связно (см. п. 4). Кроме того, И, вместе с каждой точкой А содержит и некоторую окрестность У(А), т. е. является открытым множеством. Поэтому И является областью пространства Я. 12 Б. В Шабат аналитическое продолжении 1гл, гм 178 Мы доказали, что каждой аналитической функции соответствует некоторая область риманова многообразия Я. Очевидно, что и, обратно, каждой области на Я соответствует некоторая аналитическая функция'). Таким образом, доказана Теорем а 2. Между аналитическими функциями и областями риманава многообразия Я имеется взаимна однозначное соответствие. О п р е д е л е н и е 5. Область Я, риманова многообразия Я, которая характеризуется условием, что голоморфные функции 1„принадлежагцие ее точкам А=(а, 1,(г)), являются ветвями некоторой аналитической функции, называется риманавай поверхностью этой функции. Мы пришли к общему понятию римановой поверхности.
Смысл этого понятия состоит в том, что каждую аналитическую функцию мы можем рассматривать на ее римановой поверхности как функцию в обычном смысле слова (т. е, однозначную функцию). В самом деле, по построению риманова поверхность имеет столько точек А с данной проекцией а, сколько различных элементов (У„),) с данным центром а имеет аналитическая функция, т. е. сколько значений относит аналитическая функция этой точке а. Таким образом, аналитическая функция оУг является функцией тачки на ее риманавай поверхности еУ: А=(а, 1,(г))- 1,(а) (а не функцией точки а на плоскости).
На комплексно аналитическом многообразии, каким является римаиова поверхность, можно ввести понятие голоморфной функции, н тогда окажется, что аналитическая функция голоморфна на своей римановой поверхности (см. 8 9 ч, П), Римановы поверхности в элементарном смысле, рассмотренные в предыдущем пункте, можно рассматривать как модели общих римановых поверхностей. Заметим, что в теории функций рассматривают и другие модели. Можно, например, отправляться не от многозначных, а от однозначных функций и строить риманоиы поверхности так, чтобы эти функции были на них взаимно однозначными, — тогда (многозначные) обратные функции будут (однозначно) отображать плоские области на построенные поверхности, Построим, например, поверхность, на которой взаимно однозначна показательная функция ш=е*.
Мы знаем, что она переводит в одну точку такие и только такие точки, разность между ') При этом доказательстве мы пользуемся тем, что иа И всякая область является линейно связным множеством (докажите это). 179 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОН ПОВЕРХНОСТИ которыми является целым кратным 2ж' (и.
12). Поэтому для нашей цели естественно отождествить точки а+2нн/, где й=О, ч.1, ... — произвольное целое число. Иными словами, пусть 6 — совокупность сдвигов плоскости С на векторы, целые кратные 2ей 5: з-~а+2/тн/ (/г= О, .+1, ...). (7) Очевидно, что 6 образует группу (относительно композиции,т..е, последовательного выполнения преобразований), которая является подгруппой группы Л всех дробно-линейных преобразований (см. и. 8). Обозначим через [а)О класс эквивалентносги Рис. 61.
точки а~С по группе 6, т. е. совокупность всех точек 5(а), где 5 ен 6 (иначе говоря, совокупность всех точек а+2йнй й=О, -~-1, ...). Совокупность таких классов эквивалентности мы обозначим через О/6; элементы последнего множества можно рассматривать как отождествленные точки а+2йн( (/г=О, -Р1,,), Введем теперь на множестве С/6 топологию. Для этого под окрестностью точки [а)О мы условимся понимать совокупность точек [з)ш где а~С вЂ” произвольная точка из окрестности (в топологии С) какого-либо представителя а класса эквивалентности [а)ш Таким образом, С/6 превращается в топологическое пространство. Это пространство можно представить наглядно следующим образом. Будем выбирать представителей классов эквивалентности [з)а так, чтобы они лежали в полосе (О <1ше<2я). Достаточно малая окрестность точки ем для которой О<1глз,<2п, изобразится тогда кругом с центром в еч, а окрестность точки гь для которой 1тз, =О, — совокупностью двух полукругов (рис.
61). Если мы склеим из нашей полосы цилиндр так, как это показано на рис. 61, то окрестности всех точек будут естественными окрестностями на цилиндре. Таким образом, рассматриваемое пространство С/6 с введенной в нем топологией является цилиндром в трехмерном пространстве. Этот цилиндр можно рассматривать как рнманову поверхность показательной функции (логарифм взаимно однозначно отображает иа нее плоскость С с выколотым началом координат). хнллитичаскоа пгодолжгниа 1ВО 1гл.
~п Рассмотрим еще один пример. В п. 41 мы выедем мероморфную функцию — эллиптический синус гв=зп г,— которая имеет два периода: действительный ьн и чисто мнимый (ыз, в прямоугольнике (О < Кеа<оь О <)гп г<ыз) она однолистна. Следовательно, для построения ее римановой поверхности достаточно отождествить точки а+А~в~+Ьз1ы,, где й, и й,— целые числа. Иными словами, надо рассмотреть группу Т движений з — а+ +драч+йзаз и рассмотреть пространство С(Т, точками которого служат классы эквивалентности 1а)т точек а~С по группе Т. Топология в этом пространстве вводится, как в предыдущем примере: под окрестностью точки (а)т понимается совокупность классов эквивалентности [а)т, где а~С вЂ” произвольная точка из окрестности (в топологии С) какого-либо представителя класса (а)т. Введение этой топологии превращает С(Т в обычный тор (рнс. 62), который и можно рассматривать как рнманоау поверхность эллиптического синуса.
В заключение этой главы мы хотим описать другую трактовку рнманова многообразия Я. Чтобы прийти к этой трактовке, заметим прежде всего, что в определении точек Я как пар (а, 1,(г)), где )„— функция, голоморфная в некоторой окрестности точки а ~ С, выбор такой окрестности несуществен. Поэтому можно считать, что точками Я служат р о с т к н 1, аналитических функций. Совокупность всех ростков в даннои точке а образует кольцо, которое принято обозначать символом Ю,. Множество Я, таким образом, можно рассматривать как поэлементное (дизъюнктное) объединение колец Ю, по всем а ен С: Далее, на множестве Я введена топология при помощи окрестностей, которые можно описать в терминах ростков следующим образом: окрестность П ростка 1, состоит из всех ростков (ь, для которых Ь принадлежит некоторой окрестности У„ и существует голоморфная в У, функция ) такая, что элемент ЗАДАЧИ !в! (ЕУ„)) является представителем обоих ростков $, и )з.
Как мы видели, эта топология превращает Я в хаусдорфово пространство. В этой топологии отображение Я вЂ” яС, которое каждому ростку г, ставит в соответствие точку а, является локальным гомво морф из мои. Пространство Я вместе с отображением р называют лучком ростков аналитических функций, Это понятие отражает локальный подход к понятию аналитической функции. Однако оно допускает и глобальный подход. В самок! деле, рассмотрим произвольную область гяс:С н голоморфную в ней функцию 1'. Эта функция определяет отображение (: В- Я, которое каждой точке «енВ ставит в соответствие росток )ь порождаемый этой функцией в точке «. Отображение (, очевидно, непрерывно в топологии Я, а композиция рл(является тождественным в области Х) отображением. Такое отображение !" называется сечением !тучка Я пад областью Е).
Множество всех сечений Я над областью х) образует кольцо, причем алгебраические операции в нем согласуются с операциями над ростками в любой точке «~0. Мы ограничиваемся здесь этим описанием. Общее определение понятия пучка будет приведено во второй части книги (см. п. 34). ЗАДАг(И л зз 1. Докажите, что функция ) (з) = ~ — „непрерывна в замки>том еччл'л 2л лыв яичном круге, но непродолжаема аналитически за его пределы. ал 2. Рассзготрим ряд Л~ ", где (а ) — ииожсство всех рационзлзга ге †ных точек отрезка (0,2и), а а — комплексные числа, для которых (~~~!ил! <со. л -г Докажите, что при )з)<1 и прн )з!>1 он.сходится соответственно к голоморфиым функциям !г и гз, которые не являются аналитическим продолжением друг друга.
3. Докажите: если 1 голоморфна в единичном круге У и в каждой точке окружности дУ, то она голоморфяо продолжается в некоторый круг йз!<р), тле р>1. 4. Постройте пример функции й голоморфной в круге (г=(!з!<1), непрерывной в 0 и такой, что она гололюрфно прололжается до функции, имеюшей существенную особенность в какой-либо точке окружности ()з)=1). (От- 1 вет: ((а) =(и — !)е з '.) дндлитичнскон продолжпнин !гл. ш 132 3. Пусть 0 — область с гладкой жордановой границей у; укажите условия голоморфной продолжаемости в 0 фуннции [. заданной на у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
