Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 35
Текст из файла (страница 35)
[Укаэаняе1 ср, с задачей 3 к гл. 1Ц 6. Пусть Р— произвольная область, у ~ 0 — спрямляемая кривая, а [— функция, непрерывная в 0 и голоморфвая в 0 ! у. Докажите, что [ годоморфна в 0. 7. Для произвольного множества Е~ О положительной плоской меры по. стройте функцию [Ф сопы, непрерывную в с и голоморфную в О'1 е. [Ука. зэиие: ср. с задачей 4 к гл. 1Ц 3. Покажите, что 5!па является (однозначной) функцией от ь=з(п — 5). 9.
Докажите, что функция з (1 — г), где и и [) — действительные числа, ч допускает выделение голоморфных ветвей в О'у [О, !], если и+[) — целое число. 1 19. Найдите вычеты ветвей функции е в точке а=!. 1еу з 1!. Является ли функция д(э) [Вп(з — !)]1[(э), где [ — функция из задача 1, аналитической в единичном крусе? 12. Пусть функция ] голоморфна в некоторой области 0; обязана ли ]У [(з) иметь точку ветвления в любом нуле ]? (Ответ: иет.) 13. Пусть функция [ голоморфна и отлична от нуля в адносвязной области 0. Докажите, что для любого целого и)0 найдется голоморфная в Р функция д таная, что дч=] всюду в 0; приведите пример, пз которого видно, что утверждение неверно для иногвсвязных областей !4.
Опишите особые точки и риманову поверхность функции ш Агс13з, обратной к ю=!из. [Указание; найдите ее выражение через логарифм.] !б. Постройте конформное отобраигение тора Х ()(+ Г СО5 ф) СО5 ф, Р = ()? + Г Сез ф) 5!П ф, З = Г 51П ф на првмоугольник с отождествленными противоположными сторонами ') [Указание: дкфференциал дуги на торе 1(з -У()? + Г соз ф)' 1(фэ+ Гафт; Ф Г СИ положив 5 =ф, т) = ,1 )?+Гсо5! УЧИ Г?Э = (?? +Г ф) УС!555+ 1(т)' е то51у (ф ф) 1 (й т!) дает нужное отображение.] ') В следующей главе мы увидим, что такой прямоугольник можно ковформно отобразить на двулистную поверхность над плосностью (см, задачу !3 к гл.
ПГ), и теи самыи убедимся в том, что тор конформно эквивалентен римановой поверхности в элементарном смысле. ГЛЛНЛ )тг ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Эта глава вводит читателя в геометрическую теорию функций комплексного переменного, В ней будут рассмотрены основные вопросы теории конформных отображений, а также так называемые геометрические принципы, которые касаются лишь самых обших, топологическнх свойств голоморфных функций.
$10. Геометрические принципы ЗЗ. Принцип аргумента. Пусть функция ) голоморфна в проколотой окрестности (0< ~г — а((г) точки а~С. Мы назовем логарифмическим вычетом функции ) в точке а вычет логарифмической производной = — 1.п ) (г) (1) этой функции в точке а. Кроме изолированных особых точек (однозначного характера) функция 1 может иметь отличный от нуля логарифмический вычет в своих нулях. Пусть а~( — нуль порядка и функции ), голоморфной в точке а; тогда в некоторой окрестности (г„ имеем ((г) = (г — а) "~р(г), где р голоморфна в (г', и не равна там пулю. Поэтому в У, 1 (г) и (г — а)" е (г) + (г — а)" ~р (г] 1 юр (г) + (г — а) ф'(г) ( — а)" ф( ) 1(г) ч (г) где второй множитель голоморфен в (г, и, следовательно, разлагается в ()„в ряд Тейлора, причем свободный член этого разложения равен п (значенню множителя при г=а).
Таким образом, в с)а имеем — — (и+ с (г — а)+ с,(г — а) + ...) = р (г) ) 2 )(г) г — а — — +с,+с (г — а)+ ..., (2) откуда видно, что в нуле порядка и логарифмическая производная голоморфной функции имеет полюс первого порядка с вычетом и; логарифмический вычет в нуле равен порядку этого нуля. ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОИ ТЕОРИИ (гл. зн ! Если а — полюс функции ! порядка р, то — имеет в этой Т 'точке нуль порядка р, а так как р (г) й ! — = — — 1.п —, )'(а) г(г 1(г) ' то с учетом (2) получим, что в полюсе порядка р логарифмическая производная функции имеет полюс первого порядка с вычетом — р; логарифмический вычет в полюсе равен порядку э~ого полюса с обратным знаком.
Сделанные замечания позволяют дать метод подсчета числа нулей и полюсов мероморфных функций. При подсчете мы примем следующее согл а шеи не, которого будем всегда придерживаться и в да,льнейшем: каждьгй нуль и полюс считаетсл столько раз, каков его порядок. Справедлива Т е о р е м а 1. Пусть функция !' мероморфна ') в области 0с:С и 6Е==Π— область, граница которой д6 является непрерывной кривой; пусть еи(е д6 не содержит ни нулей, ни полю'- сов !', (з этих условиях пусть йг и Р соответственно обозначают общее число нулей и полюсов !" в области 6, тогда Л' — Р = —.
) — йе, ! ! р(г) 2ш' .) 1(г) (3) дв где д6 — ориентированная граница, м Так как 6 кй О, то ! имеет в 6 лишь конечное число нулей аь ..., а! н конечное число полюсов Ь,, Ьаь а так как д6 не содержит ни нулей, ни полюсов, то д= — голоморфна в окрестности д6. Применяя к этой функции теорему Коши о вычетах, найдем ! м . ) — йг = ~ гез у + ~~~„гез д.
дв т=! т т-! т (4) 11о по сделанному выше замечанию гез д = тг„ я гез д = — р„ ьт где п„и р, — соответственно порядок нуля а„и полюса Ь,; подставляя (5) в (4) и учитывая принятое соглашение подсчета нулей и полюсов (по которому Л(=~п, и Р=~зр,), получим (3) > ') Напомним, что функция 1 называется мероморфной в области !), если она голоморфна всюду в р, за исключением, быть может, некоторого множества полюсов.
Э 1ь1 ГеометРические пРииципы Доказанной теореме можно придать геометрическую формулировку. Представим дб путем г=г(Г), СГ 41 ((1, и обозначим через Ф(1) первообразную функции — вдоль этого пути; по 7 формуле Ньютона — Лейбница будем иметь — йг = Ф(()) — Ф(а). (6) Но, очевидно, Ф(1) =1пггг(1)], где 1п обозначает любую ветвь. логарифма, непрерывно меняющуюся вдоль нутн дб. Так как 1 п1=1п ]11+гдгд1 и функция 1п]1" (г) ] однозначна, то для выделения этой ветви достаточно выделить ветвь агд1', непрерывно меняющуюся вдоль дб. Приращение 1п]г] вдоль замкнутого, пути дб равно нулю, поэтому Ф(]3) — 111(а) =1(агдГ]г(6)] — агд1" ]г(а)]).
Ооозначая множитель при 1 в правой части — приращение выделенной ветви аргумента — через бво аг~(, мы перепишем, (6) в виде — йг=1бво агй~, р Таким образом, теореме 1 можно придать следующий вид: Теорема 2 (принцип аргумента). В условиях теоремы 1 разность между числом нулей Й и числом полюсов Р функции 1 в области б равна деленному на 2п приращенпо аргумента зтой функции при обходе ориентированной границы области: — Азо аги г(г). 1 (У) Очевидно, правая часть (7) геометрически представляет собой полное число оборотов вокруг точки в=О, которые сделает вектор ге=1(г), когда г обходит путь дб.
Обозначим через дб'" образ пути дб при отображении 1, т, е. путь в=1[а(Г)], а ( Г ( ]1; тогда это число будет равно числу оборотов вектора Гв при обходе пути дб* (рис. 63). Последнее называют индексом пути дб" относительно точки Ге=О и обозначают символом !пд, дб', Теперь принцип аргумента можно прочитать так: Ж вЂ” Р = — аво агу в =1пдь дб*. 1 Ея 3 а м е ч а н и е 1. Вместо нулей функции Г можно рассматривать ее а-точки, т. е.
корни уравнения 1(г) =а; для этого ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕОРИИ [Гл. ш 166 достаточно заменить в наших рассуждениях 1 функцией )(г) — а. Если д6 не содержит а-точек (и по-прежнему полюсов) функции Г, то Лга — 1 2ги ) )(а) — о йг 2п ~"аа агк([(г) — а), (9) Г р() где Л[,-общее число а-точек ) в области 6. Переходя к плоскости [г) Рис. 63. тп =Дг) и вводя понятие индекса пути д6' относительно точки а, можно переписать (9) в виде й[а — Р = — бго* ага'(ш — а) = [пда д6', 1 (1О) Замечание 2.
Правая часть формулы (7) — врнращение аргумента функции вдоль пути — имеет смысл для произвольных непрерывных функций й не равных нулю вдоль этого пути (хотя ее первоначальное овределение с интегралом и связано с производной [', т. е, требует голоморфности функции). Эта величина, равная индексу образа пути дб», имеет т о п о л о г и ч е с к и й характер: опа инвариантна относительно топологпческих преобразований плоскостей а и ю, Оказывается, можно ввести и инвариантные относительно топологических преобразований определения порядков нулей и полюсов (не связанные с производными или разложениями в ряды). Тогда и привцнп аргумента примет топологическнй характер; он будет справедлив для всех функций, топологнчески эквивалентных мероморфным (т.
е, получающихся нз по. следвнх топологическими преобразованиями переменных). Читатели, интересующиеся этими вопросами, могут найти их подробное изложение в книге С. Стоилова «Лекции по топологической теории аналитических функций», й(,, 1964. Приведем пример применения принципа аргумента: Теорема 3 (Р у ш е), Пусть функции ) и йг голоморфны в .замкнутой области П с непрерывной границей д6, и пусть [[(г) )))д(г) ! для всех г~д6.
(11) Тогда функции Г и ~+йг имеют в 6 одинаковое число нулей. м Из (11) видно, что [ и ~+д не равны нулю на д6 '), поэтому к ним применйм принцип аргумента. Так как [чьб на д6, ') В самом деле, И>(е)> 0 и 11+я)> 1[1 — [е)>0 иа дб. геометРические пРинципы % ]О] ]Ет то !+у=!]1 + — ), следовательно, мы имеем при надлежащем е! 1)' выборе значений аргументов бао агд У+ д) = бас ага ]+ бзо атд (1 + Е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
