Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 39
Текст из файла (страница 39)
и+' П р и м е р. Пусть Н (Р) — семейство всех функций 1, голоморфных в области Л, и а — произвольная точка Л. Рассмотрим р-й коэффициент тейлоровского разложения 1 в точке а: с»(1) = —, 11»1 (а) Это — функционал на семействе Н(0); покажем, что он непРеРывен. Если 1„ - 1» РавномеРно на каждом К Е Л, то, взЯв в качестве К окружность у=()г — а! =г)с:1), мы для любого е>0 найдем У такое, что )(„(г) — )о(г) ~<е для всех п)А1 и всех гену. По неравенствам Коши получим тогда, что для всех п>)з) ! сз Ю вЂ” с» ((о) )~~ „» а это и означает непрерывность функционала ср()). О п р е д е л е н и е 5. Компактное семейство функций Щ называется компактным в себе' ), если предел любой последовательности )„он(1), равномерно сходящейся на каждом К~ Л, принадлежит семейству Щ. ') Коыпахтвые в себе множество называют танже пом»шагами теоРемА РимАнА 203 Т е о р е м а 4, Всякий функционал У, непрерывный на компактном в себе семействе Щ, достигает своей верхней грани, т.
е. существует функция (ье:-(У) такая, что для всех Щ) (У()ь) (>(УИ) (. (9) м Положим А=энр~ У(У)( — это некоторое число, быть мо/йш жет, равное ьо. По определению верхней грани найдется последовательность У„енЩ такая, что ~У(У„)! - А. Так как ()) компактно в себе, то существует подпоследовательность У , сходя- «А' щаяся равномерно на каждом К ~ О к некоторой функции У«ен(У). В силу непрерывности функционала имеем 1 У ()о)! = 1нп ( У ((„) ~ = А; « .« отсюда заключаем, во-первых, что А<ьь и, во-вторых, что ) У ()ь) ~ .'- ) У (() ) для всех ) ен (У)» В дальнейшем мы будем рассматривать семейства функций, однолистиых в некоторой области .О.
Для доказательства компактноати в себе таких семейств полезна Теорем а 5 (Гурвиц). Пусть последовательность функций ~„, голоморфных в области О, равномерно на любом К ~ О сходится к функции (Фсопэ(. Тогда, если ((га) =О, то в любом круге (~г — го~<с)с:О все функции у„, начиная с некоторой, также обращаются в нуль. м Пе теореме Вейерштрасса У голоморфна в О; по теореме единственности существует множество (О< 1г — го~ <р)сО, на котором (чьО. Обозначая у=()г — гь(=р) и р=пйп()(г) ), имеем «ят р)0. Так как )„сходится на у равномерно, то найдется Х такое, что )У (г) — У(г) ~ <р для всех г~у и всех п)Ф.
Для таких и по теореме Руше функция ) =У+()„— )) имеет внутри у столько же нулей, сколько их имеет там У, т. е. по крайней мере один нуль» Следствие. Если последовательность функций )„, голоморфных и однолистных в области О, сходится равномерно на каждом К~ О, то предельная функция ( этой последовательности либо однолистна, либо постоянна. и Пусть у(г~) =)(гг), но г1Фгг (гь гэгиО) и у=сонэ(. Рассмотрим последовательность функций д„(г) =у (г) — у (гз) и круг (~г — г,(<т), где т <)г,— гз); предельная функция й(г) = =У(г) — У(г«) обращается в нуль в точке гь следовательно, по теореме Гурвица и все й„(г), начиная с некоторого номера, обращаются в нуль в этом круге, но это противоречит однолистности функций („ » Основы ГеОметРическОЙ теОРии 204 38.
Теорема Римана. Любая односеязная область О, граница которой содерзкит более одной точки„изоморфна единичному кругу О. Идея доказательства такова. Рассмотрим семейство 5 голоморфных и однолистных в х) функций й по модулю ограниченных 1 (т. е. осуществляющих нонформное отображение (З в единичный круг [(). Фиксируем точку а<ып и будем искать в семействе функцию, для которой растяжение !р(а)! в точке а максимально. Выделив компактную в себе часть 8~ семейства Я и пользунсь непрерывностью функпионала У(0 =[Р(а)[, мы можем утверждать, что существует функция (ч с максимальным растяжением н точке а. Наконец, мы убедимся в том, что (ч реализует отображение с) на круг [) (а не только в ([, как остальные функции семейства), Такой вараациоиныа метод, когда ищется функция, обладающая тем илн иным экстремальным свойством, часто применяется в теории функций м а) Докажем, что в 0 существует хотя бы одна голоморфная и однолистная функция, ограниченная 1 по модулю.
По условию граница дО содержит две различные точки а и 8; ко/з — а рень квадратный )у р продолжается аналитически вдоль любого пути в области О, и так как О односвязна, то по теореме о монодромии (п. 28) этот корень допускает выделение в 0 двух однозначных ветвей фз и фь отличающихся знаком.
Каждая из этих ветвей однолистна в О, ибо из равенства ф„(г,) =ф„(гз) (т=! нли 2) следует равенство и,— а з,— и — зз — р ' а из него, в силу однолистности дробно-линейной функции,— равенство г,=г,. Этн ветви отображают 0 соответственно на области 0',= ф,(0) и О"=ф (О), которые не имеют общих точек, ибо в противном случае нашлись бы точки гь гзен0 такие, что ф[(г[) =фз(г,), но из последнего равенства снова следует (1), а из него — равенство г,=гь т. е.
ф[(г[) = — фз(гз); мы пришли к противоречию, ибо ф„ФО в О. Область О*, содержит некоторый круг (/ю — шо(<р), и, значит, ф[ не принимает в О значений из этого круга. Поэтому функция 1[ (г) (2) очевидно, голоморфная и однолистная в О, ограничена: для всех еен0 имеем )([(г) )'(1. б) Обозначим через 5 семейство всех голоморфных и однолистных в 0 функций, по модулю ограниченных 1. Это семей. ство непусто, ибо содержит функцию (ь и по теореме Монтеля ТЕОРЕМА РИМАНА 205 $ н) компактно, Часть 5, семейства 5, состоящая из всех функций )ен5, для которых !)'(а) )) ~ (',(а)! > О (3) в некоторой фиксированной точке аен0, компактна в себе. В самом деле, по следствию теоремы б из предыдущего пункта предел последовательности функций )„ен5ь сходящейся на любом К» О, может быть лишь однолистной функцией (и тогда принадлежать к 5а) либо постоянной, но последний случай исключен неравенством (3). Рассмотрим на 5а функционал УУ) = ~,Г(а) (.
По доказанному в предыдущем пункте он непрерывен, и, следо- вательно, существует функция )аен5ь реализующая его макси- мум, т. е. такая, что (T(а) 1(~ ! )а(а) ( (4) для всех )ен5ь в) Так как функция )аен5» то она конформно отображает0 в единичный круг О. Покажем, что )а(а) =О,— в противном слу; чае в 5а нашлась бы функция а (г) = )а (а) — )а (а) ) )а(а) )а ОО для которои (д'(а)1= ~ ( ),, 1)а(а)~)()а'(а)(, вопреки экстремальному свойству (4) функции )а, Покажем, наконец, что (а отображает 0 н а весь круг К В самом деле, пусть )а не принимает в 0 некоторого значения ! ЬенУ; так как (а(а) =О, то ЬФО.
Но и значение Ь" =-Ь- не принимается этой функцией в 0 (ибо (Ьа()1), следовательно, по теореме о монодромии в 0 можно выделить однозначную ветвь корня которая принадлежит 5 (однолистность проверяется точно так же, как в и, а), справедливость неравенства (ф(г) ((1 очевидна). Но тогда 5 принадлежит и функция аЬ (а) — аЬ (а) 1 — аР(а) аЬ(г) [гл. Гт ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ для которой Но 1+1Ь!)2ЯЬ), ибо! Ь )(1, т. е, Ь и= 5, и ) Ь'(а))> )~'(а) ~ вопреки экстремальному свойству функции (о м $12. Соответствие границ и принцип симметрии 39. Соответствие границ. Приведем без доказательства так называемый принцип соответствия границ: Теор ем а (Ка р а теодор и). Пусть области 0 и 0* ограничены жордановыми кривыми д0 и дРе; тогда конформног отображение 1; 0- Р" можно продолжить на границу 0 до гомеоморфпзма замкнутьсх областей .Р и Лэ.
Для произвольных гомеоморфизмов теорема, конечно, несправедлива. Например, отображение единичного круга У на себя, которое в полярных коор- 1Ф динатах г=ггчв, в=резо зада- 7 ется уравнениями ф=ф+ 1'„* (1) очевидно, гомеоморфно, но на граничную окружность непрерывно не продолжается. Точно так же неверна тео- рема и для конформных отображений на области, границы которых нежордановы. Рассмотрим, например,конформное отображениеГкруга Она область О, изображенную на рис.
66, в состав границы которой входит часть 1 кривой о = з!и — с предельным сегментом у=(нк и=О, — 1(о(1). и Можно доказать, что при этом отображении дугам у„, отрезаю- шими от 0 области Р„(п=1, 2, ...), пересечение замыканий которых совпадает с у, в плоскости г соответствуют дуги Х„, отрезающие от У области У„, причем Д 0„ совпадает с неко- а ! торой граничной точкой гоа (рнс. 66). В этом смысле при отображении 1 точке гов соответствует целый отрезок у, так что Г нельзя непрерывно продолжить в замкнутый круг П.
К. Каратеодори ввел так называемые граничные элементы области, понимая под ними классы в известном смысле эквивалентных сечений этой области. Присоединение к области ее граничных элементов называется компактифинапией по Каратеодори. Он доказал, что конформное отображение й м) СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ И ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 207 областей устанавливает взаимно однозначное и в некотором смысле непрерывное соответствие граничных элементов этих областей. Поэтому сформулированная выше теорема распространяется и на нежордановы области, если пользоваться при этом компантификацией по Каратеодорн вместо обычных замыканий ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
