Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(4) (П1) Единичный круг (7; ш = ега а, ( а ( < 1, а ен )с, 1 — аг ' (5) Остановимся подробнее на автоморфизмах круга. Как видно из формулы (5), они зависят от трех действительных параметров: двух координат точки а и числа а. Покажем, что, подбирая эти параметры, можно найти один и только один автоморфизм Х~Л(11), удовлетворяющий условиям нормировки х(а) = ь, ага А."(а) = а, (6) (7) где а, Ьен(1 — произвольные заданные точки и аен)с — произвольное число.
г — а В самом деле, построим автоморфизмы ря г- ега ! и г — б т: г — э! ', тогда автоморфнзм Х=т ' ° 1г, определяемый из уравнения т(ш) =!А(г), т. е. м — б г — а = е1а 1 — бм 1 — аг' будет удовлетворять условиям (6). Пусть 4енЛ((7) — еще какой-либо автоморфизм, удовлетворяющий тем же условиям. Тогда автоморфизм )=т ° 1., ° 1А-' будет, очевидно, удовлетворять условиям 1(0) =О, ага('(О) =О, откуда по лемме Шварца (как и при доказательстве теоремы 2) заключаем, что 1(ге) = — ге, т.
е. что (=е — тождественное отображение. Таким образом, т '4 ° 1А-'=е, откуда Х1 — — е-' о ив = Х. По сделанному выше замечанию группа автоморфизмов Л(1)) ЛЮбОй ОбЛаСтИ Аг, ИЗОМОрфНОй ЕдИНИЧНОМу КруГу (7, ИЗО- морфна группе Л((7), т. е, тоже зависит от трех действительных параметров. Учитывая теорему 1, можно ожидать, что и изоморфизмы двух областей, изоморфных О, также образуют трех- параметрическое семейство. И в самом деле, справедлива ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ 1Ч гав Теорема 3. Если области 01 и Оо изоморфны единичному кругу, то совокупность конформных отображений 01 на Во зависит от трех действительных параметров.
В частности, существует одно и только одно отображение !': Ог - Оь нормированное условиями !Г(го) = гво агя 1' (го) = 0 (8) где гоен01 и твояОо — произвольно заданные точки и Овнов произвольное число. < Пусть !"и О, — О и !,: О,— Π— конформные отображения, устанавливающие изоморфизм данных областей единичному кругу. Тогда будет, очевидно, конформным отображением Ог на О,. По теореме 1 совокупность всех таких отображений задается формулой г=ор ° го, где оо — произвольный автоморфизм области О,.
Но, как мы видели, Л(ОТ) зависит от трех действительных параметров. Первое утверждение теоремы доказано. Пусть ),(г)=а, агй~;(г)=8, и !' (и,)=Ь, аг~~',(гв)=0 построим по формуле (7) автоморфизм Х единичного круга, нормированный условиями Х(а) =Ь, агни'(а) =а=0+ОТ вЂ” Оь Тогда является изоморфизмом О, на О, и удовлетворяет условиям (8). В самом деле, !(г)=! 3 (а) =! (Ь)= ш и агй~'(го) = = — агй)~(гво)+агдх (а)+агд~,(го)= — ОТ+а+О, = О. Существование нормированного изоморфизма доказано.
Пусть существует еще изоморфизм д: О, — Оь нормированный теми же условиями. Тогда ор=!" оу ' будет автоморфизмом О„нормированным условиями <р(гво) =во, агй~р'(гво) =О, а !о =) игр о ! — автоморфизмом У, нормированным условиями Л(Ь) =Ь, ага л'(Ь) =О. По доказанному выше к=е (тождественное Отображение), следовательно, и ГР = ! ° Х ° ! = е. Таким образом, Год-'=е и 1=8 и Легко видеть, что различные канонические области не изоморфны друг другу. В самом деле, замкнутая плоскость (сфера) С даже не гомеоморфна С и Ег, а следовательно, ее, нельзя и конформно отобразить на эти области, Области С и Ег гомеоморфны, но конформного отображения, скажем С на У, не су- 199 ТЕОРЕМА РИМАНА % н> ществует, ибо такое отображение должно осуществляться целой функцией 1, для которой всюду 1((г) ) <1, а тогда по теореме Лиувилля (=сопз1. Область, граница которой — пустое множество, совпадает с С.
Области, границы которых состоят из одной точки, представляют собой плоскость С с выброшенной точкой и, очевидно, конформно (даже дробно-линейно) нзоморфны С. Основной результат этого параграфа — теорема Римана состоит в том, что любая односвязная область О, граница которой содержит более одной точки (и, следовательно, бесконечно много точек, ибо она связна), изоморфна единичному кругу Е>. Для доказательства этой теоремы нам нужно развить некоторый аппарат, полезный и в других вопросах теории функций.
37. Принцип компактности. О п р ед еле и не 1. Семейство функций Щ, заданных в некоторой области О, называется равномерно ограниченным внутри О, если для любого множества К~ 0 существует постоянная М М(К) такая, что 11(г) ( (М (1) для всех Е~К и всех (~Щ. Теорема 1. Если семейство функций Щ, голоморфных в области О, равномерно ограничено внутри О, то и семейство производных (1') так>не равномерно ограничено внутри Р. м Пусть У=(1г — гч)<т) — произвольный круг, Ра= О; построим круг )т=(1г — гч~(т), г'>г, такой, что и )т~ О. По формуле Коши для производных в любой точке ген)т имеем для любой 1ЕЕЩ (2) Пусть теперь Е~Е>, тогда для всех Ьепд)т имеем ~ Ь вЂ” г1)~ г' — г и, пользуясь равномерной ограниченностью семейства Щ, получаем из (2) 1( (г)1(, М((т) =М,((7), Доказана равномерная ограниченность ((') в кругах Рс:: О.
Любое множество К я:= О можно покрыть кругами, компактно принадлежащими О. По теореме Хейне — Бореля из этого покрытия можно выбрать конечное (Рч)~ > Тогда, если обозначить М>(К) =шах М>(Е>„), то для всех гепК и всех >ЕЕЩ будем иметь ) ('(г) ( ( М> (К) > йоо ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ (ГЛ. (О Определение 2. Семейство функций ((), заданных в некоторой области Р, называется равностепенно непрерывно/м внутри Р, если для любого в>0 и любого множества К ~ Р найдется б=б(е, К) >О такое, что У(") — [(г-) [<.
(3) для всех г', гпенК таких, что [г' — г"~ <6, и всех (ен((). Теорема 2. Если семейство функций (/), голол/орфных в области О, равномерно ограничено внутри Р, то оно и равно- степенно непрерывно внутри О. м Пусть Ка Р; обозначим через 2р расстояние между непересекающимися замкнутыми множествами К и дР (т.
е, (п()~ — г[ по всем гееК и всем ьендР) и через К"'= Ц ([ —;[< [ х~ м К р-раздутие множества К Так как, очевидно, К(м~ О, то по теореме 1 найдется постоянная М такая, что [1'(г) [ <М (4) для всех ген К(Р) и всех [~ Щ. Пусть г', г" — две произвольные точки К такие, что [г' — г"[<р; тогда все точки г прямолинейного отрезка [г', г"1 принадлежат К(Р) и, следовательно, для всех г е= [г', г") и всех )ее([) справедливо неравенство (4). Поэтому для всех Щ) мы имеем (/(г)-/(~)(-/ 1 /(*)~* ~и("-*" (.
(х', хп Отсюда и следует равностепенная непрерывность семейства Я еТ на К, ибо для любого В>0 можно взять б = пцп (р, м !» Определение 3. Семейство функций (1), заданных в некоторой области О, называется компактным ') в О, если из каждой последовательности („ функций этого семейства можно извлечь подпоследовательность 1„а, сходЯщУюсЯ РавномеРно на любом Ке==Р. ') Будем рассматривать функции, определенные в области Р, как точки некоторого пространства й (Р). В атом пространстве введем топологию, назвав сходящейся любую( последовательность /„, равномерно сходящуюся на каждом компактном подмножестве КекР.
Тогда компактность семейства функпнй (1) сводится к компактности соответствующего множества точек в пространстве й(Р). Это замечание оправдывает сделанный выбор термина. 20! теоремА Римкнх з !и Т е о р е м а 3 (М о н т е л ь). Если семейство Функций Щ, голоморфных в области Е1, равномерно ограничено внутри О, то оно компактно в О.
м а) Докажем сначала, что если последовательность 1„ с: Щ сходится в каждой точке некоторого множества в с:Е!, всюду плотного в О, то она сходится равномерно на каждом К к=: ср. Фиксируем е>0 и множество К~ ст; пользуясь равностепенной непрерывностью семейства Щ, выберем разбиение Е1 на квадраты со сторонами, параллельными координатным осям плоскости г, столь мелкие, что для любых точек г', ге~К, принадлежащих одному квадрату, и любой )евЩ справедливо неравенство (5) Множество К покрыто конечным числом таких квадратов д„ (р=1, ..., Р); так как в' всюду плотно в О, то в каждом др найдется точка грев в'".
Так как последовательность (1 ) сходится иа в', то найдется число М такое, что (6) ! (,„(гр) — 7„(гр) ( < —, для всех т, п>И и всех гр, р=!,, Р, Пусть теперь г — произвольная точка К; найдется точка г„, лежащая в том же квадрате, что и г, и для всех т, п>И бу- дем иметь |)п,(г) — )и(г) ) <!)т(г) — )т(гр) ~+ ~1т(гр) — 1п(гр) ~+; + ~) (гр) — ( (г) ) <в в силу неравенств (5) и (6).
По критерию Коши отсюда заклю- чаем, что последовательность (1„(г)) сходится для всех г~К, причем сходимость равномерна на К б) Теперь докажем, что из любой последовательности 1„с:(1) можно извлечь подпоследовательиость, сходящуюся в каждой точке некоторого множества е'с:П, всюду плотного в О.
В ка- честве 3' выберем множество точек г=х+!уевО, обе коорди- наты которых х и у рациональны; оно, очевидно, счетно и всюду плотно в 0; пусть И'=(г,),", Числовая последовательность 1„(г!) ограничена, следова- тельно, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследователь- ность (ы — — 1„(й = 1, 2, ...). Числовая последовательность )„!(ге) также ограничена, следовательно, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность (ь,=~„'! (й = 1, 2, ...); по- следовательность функций ~„х сходится, следовательно, по край- 1гл. 1ч ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОИ ТЕОРИИ 202 ней мере в двух точках: г, и гз. Из последовательности 1„2(гз) извлекаем схоДЯЩУюсЯ поДпослеДовательность 122 = 1„2 (й = = 1, 2, ...) так, что 1„2 схоДитсЯ по кРайней меРе в точках г„ гз и г,. Аналогичное построение можно продолжать неограниченно. Остается выбрать так называемую д и а г о н а л ь н у ю последовательность 1И 122 1пп (7) Эта последовательность сходится в любой точке гренй, ибо по построению все ее члены, начиная с р-го, выбраны из последовательности 1„», сходящейся в точке г„.
Объединяя доказанное в б) и а), получаем утверждение теоремы ~ Теорему Монтеля часто называют принципам компактности. О и р ед е л е н и е 4. Функционалом на семействе функций Щ, определенных в области Л, называется отображение Х: Щ-+С этого семейства в С (это означает, что указан закон, по которому каждой функции 1~ Щ ставится в соответствие комплексное число У(1) ). Функционал У на Щ называется непрерывным, если для любой последовательности („~(1), которая равномерно сходится к 1»ен(1) на любом К~ Л, Ищ 1((„) =1((,1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
