Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 42
Текст из файла (страница 42)
72. !т 1, — 1, та к ней применим принцип симметрии, по которому она аналитически продолжается в прямоугольник )хь симметричный с )7оотносительно [К, К+!К'», причем продолженная функция (мы снова обозначаем ее через зп) отображает )7, на нижнюю полуплоскость (!Гп в<0» (рис, 72). Продолженная функция также удовлетворяет условию принципа симметрии и по этому принципу аналитически продолжается в прямоугольник )сг, симметричный с»(~ относительно отрезка 2К, 2К+гК'.
Прямоугольник )со отображается снова на верхнюю полуплоскость, и притом по построению для всех г ее гто -Ь '-~ й l г7! 4 йпт (3) эп (г+ 4К) = зп г (см. рис. 72; точка г„симметричная с г относительно отрезка [К, К+(К'», переходит в точку зп г, а точка го = г+4К, симметричная с г, относительно [2К, 2К+ГК'»,— снова в точку зпг). Точно так же мы можем продолжить функцию зп в прямоУгольник гггн симметРичный с )со относительно отРезка [ — К+ !К', К+!К'», только это продолжение будет мероморфным — в точке 2К', отмеченной звездочкой на рис.
72, функция зп имеет полюс Е 121 СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИ11 И ПРИНПИП СИММЕТРИИ 2!7 первого порядка (см, замечание после принципа симметрии). Продолженная функция зп отображает 1Т1, на нижнюю полу- плоскость н, по тому же принципу симметрии, аналитически продолжается в прямоугольник Тс,', симметричный с 771, относительно отрезка ( — К+21К', К+ 21 К'), и этот прямоугольник она отображает снова на верхнюю полуплоскость. Как и выше, мы получим, что для всех г ее )7о зп (г+21К') = зп г (4) (см.
рис. 72). Рассуждая точно таким же образом, мы можем продолжить эллиптический синус зп на всю плоскость С. Продолженная функция окажется мероморфной: в точках 1К'+4Кт+21КОг, где т, п=О, .Р!, ...— произвольные целые числа (эти точки отмечены звездочками на рис. 72), она имеет полюсы первого порядка, а в остальных точках С голоморфна. Эта функция обладает также интересным свойством деоякопериодичности— как видно из соотношений (3) и (4) и аналогичных им, она имеет два независимых периода Т1=4К и Те=21К'. для любых целых т, и= ч=1, +.2, ...
справедливо соотношение зп (г+4Кт+2(К'п) =зпг. (5) Таким образом, функция зп инвариантна относительно неноторой группы движений плоскости С, т. е. линейных преобразований вида г-+г+4Кт+21К'п (т, п=О, -1-1, ...), Функции, обладающие свойством инвариантности относительно некоторой группы дробно-линейных преобразований, называются автоморфными функциями.
Красивой теории автоморфных функций посвящена обширная литература '). В п. 32 мы говорили о римановой поверхности эллиптического синуса. б) Модул я рная фу'нкция. Рассмотрим круговой треугольник То=АВС, образованный дугами окружностей, ортогональных к единичной окружности (рис. 73). По теореме Римана существует единственное конформное отображение ш= =11(г) этого треугольника на верхнюю полуплоскость, переводящее точки А, В и С соответственно в точни те=О, 1 и оо.
По принципу симметрии функцию 1А можно аналитически продолжить в треугольники Т,, А = 1, 2, 3, симме ричные с То отно(м сительно его сторон. Точки, симметричные вершинам Т, относи- 1) Сн., нанрнмер, Л, Р. Форд, Антонорфные функции, ОНТИ, 193б. !гл. ш ОснОВы ГеОмьтРическОЛ ГеОРии й!в тельно сторон, противоположных этим вершинам, также лежат на единичной окружности. (В самом деле, при инверсии, скажем относительно дуги ВС, дуга окружности ()е) =1), содержащая точку А, перейдет в дополнительную дугу этой окружности и образ Л| точки Л попадет на эту дополнительную дугу.) По свойствам инверсии (п.
9) стороны треугольников Т~ снова бу- ьв дут дугами окружностей, ортогональных единичной окружности. Продолженная функция р конформно отображает каждый из Т1~ на нижнюю полуплоскость так, что стороны переходят в один Г из отрезков (О, !), (1, оо), (ОР, О). Поэтому к !г снова Аг Рг можно применить принцип симметрии, и, следовательно, , и ЛУ Г ' гге р аналитически продолжаетг г гм г.ш ся в треугольники Т, кото- х /; г, е рые получаются из Т, отl Я нв г г ражением относительно их сторон (заштрихованы на рис.
73). ггг Повторяя опнсанигяй про- А цесс аналитического просу долження неограниченно, мы построим голоморфную в единичном круге У функцию !м которая и называется Рис. 73. модулярной функцией. Оче. видно, что модулярная функция непродолжаема аналитически за пределы У, т. е. У является ее областью голоморфности. В самом деле, на окружности дУ=(еа! =1) всюду плотны множества точек, получающихся отражениями каждой из вершин треугольника Т,; но когда е стремится по соответствующему треугольнику к точке А„, получающейся отражениями вершины А, то !Л(е) О, а когда е так же стремится к точкам В„или С„(получающихся отражениями В или С), то !г(е) стремится к ! или Оо.
Таким образом, р нельзя продолжить в !г даже непрерывно. Из построения ясно также, что модулярная функция !г не принимает в 0 трех значений: О, 1 у со. Этим свойством мы воспользуемся в дальнейшем. Заметим, далее, что четное число отражений относительно дуг окружностей (инверсий) сводится к дробно-линейному преобразованию. Дробно-линейные преобразования, которые получаются четным числом отражений, описанных при определении модулярной функции, к тому же переводят окружность д() в $ !21 СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ И ПРИИЦИП СИММЕТРИИ 219 себя, т.е. являются автоморфизмами 11.
Они, очевидно, составляют груп ну Ль, которая является подгруппой группы всех автоморфизмов У. Легко видеть, что модулярная функция является инвариантной относительно преобразований группы Ль (т. е. автоморфной фуНКциЕй), В СаМОМ ДЕЛЕ, ПуСтЬ Агдд, — ПРОИЗВОЛЬНОЕ Отабрэ. жение и г ен У вЂ” произвольная точка; г принадлежит некоторому треугольнику Т из описанных выше (точнее, его замыканию в У), и функция р конформно отображает его на верхнюю нли нижнюю полуплоскость так, что вершины треугольника переходят в точки О, ! и оо. По построению функция и отображает треугольник 1(Т) на ту же полуплоскость, причем соответствующие точки снова переходят в точки О, 1 и оо. Поэтому 1А и р ° !! коиформно отображают Т на одну полуплоскость с одинаковым соответствием трех граничных точек, и, следовательно, (6) (см. п.
36). Опишем аналитическую функцию, обратную к модулярной. Для построения этой функции рассмотрим ее ветвь а=1!-!(ш), голоморфную в верхней полуплоскости и отображающую эту полуплоскость на треугольник Т,. По принципу симметрии эта ветвь аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость через каждый из (открытых) отрезков (О, 1), (1, оо) и ( — о, 0).
Каждую из продолженных ветвей можно снова продолжить в верхнюю полуплоскость через любой из этих отрезков. При этом, если второе продолжение происходит через другой отрезок, чем первое, то полученная ветвь отличается от начальной (она отображает верхнюю полуплоскость на один из треугольников Тг !). Этот процесс продолжения можно вести неограниченно; он и определяет аналитическую функцию, ооратную к модулярной. Нетрудно видеть, что аналитическая функция, обратная к модулярной, бесконечнозначна; точки О, 1 и о являются ее логарифмическими точками ветвления.
Все значения этой функции лежат в единичном круге У. На существовании функции, обратной к модулярной, основано простое доказательство следующей теоремы, которая представляет собой далеко идущее обобщение основного свойства многочленов. Т е о р е м а 1 (П и к а р). Любая целая функция, отличная от постоянной, принимает все (конечные) комплексные значения, за исключением, быть может, одного. ОСНОВЫ ГЕОМЕТРНЧГСКОИ ТЕОРИИ !гл гу 220 ч Пусть целая функция ) не принимает двух различных значений а, ЬЕЕС.
Функция ь- также целая и не принимает значений 0 и 1. В окрестности произвольной точки еьенС голоморфна функция ф=!г ' од, где р-' — какая-либо ветвь функции, обратной к модулярной, голоморфная в окрестности точки игь— - й'(зь) Так как функция д не принимает значений О, 1 и ьо — особых для аналитической функции р ', то функция ф продолжаема вдоль любого пути тс:С. Так как С односвязна, то по теореме о монодромпн (и.
28) функция гр однозначна и голоморфна в С, т. е. является целой функцией. Но все значения )г ' лежат в единичном круге, следовательно, ф ограничена и, по теореме Лиувилля (и. 20), постоянна. Но тогда и д, а следовательно и 1, постоянна > Целая функция — это мероморфная (в С) функция, не принимающая значения со, Теорема Пикара обобщается и на произвольные мероморфные функции: Т е о р е м а 2 (П и к а р) . Любая мерам орфная в С функция, отличная от постоянной, принимает все комплексные значения из С, за исключением, быть может, двух.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
