Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В, шабат ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1гл. у в полосе (0<нег(л). В этой полосе )г — лп)~п(л — 1) для л 1, 2, ..., следовательно, «г ~Ю 1 %1 1 %ч ! ((з(г) (~<-~з + ыгв ) р +2 7~ ( Пзиз « -т «т+! стремится к О при г-+со в этой полосе. Так как !з!пзг(=э!пзк+зпзу при этом также стремится к нулю, то и Ь(2) стремится к нулю при 2-ь «о, 0<нег<и. Поэтомуаограничена в полосе, а в силу периодичности и в С; по теореме Лиувилля Ь постоянна и, следовательно, равна нулю. Таким образом, разложение Миттаг-Леффлера имеет вид 1 %ч 1 (6) э!пз г (г — пп) « -а 2.
Мероморфная функция с1иг имеет простые полюсы в тех же точках ! а =пп (л О, ш!> ...) с главными частями р« Ряд из главных 2 — Пм частей расходится, но легко видеть, что можно взять поправочные многочлеиы нулевой степени: ряд Х ( г-пн лн) Х (г-пн)пп (штрих у суммы означает, что при суммировании выпускается индекс~и=О) сходится равномерно на каждом компакте. Остается найти целую функцию» в разложении (5), что можно сделать так же, как в предыдущем примере; мы убедимся, что Й = О. 1 1 Проще, однако, проинтегрировать —.— — по любому пути, соеди- Э1ПЗ 2 2З няющему точки г О и г н не проходящему через полюсы л«ФО. Пользуясь формулой (6), мы получим нужное разложенке Миттаг-Леффлера (т) с!22- — - зт ( — + — » г лая 1 г — лл пп) и .о (ночленное интегрирование (6) законно в силу равномерной сходимости). Теорема Миттаг-Леффлера и ее следствие являются теоре мами существования и не дают информации о том, как фактически выбирать многочлены Ря и целую функцию й.
Для практических целей полезнее не столь общая, но более конструктивная теорема, при доказательстве которой используется метод Коши улучшения сходимости. Т е о р е м а 2. Если на некоторой системе окружностей у„=(~г~ =г„», г!<Гг<..., г„- оо, мероморфная функция ! растет не быстрее, чем гю, т. е. суи(ествует постоянная А такая, что для всех а~у„(н 1, 2, ...) (1)(г) ЖА12Р" '(8) рдзложвния цвлых и мнроморвных втнкцин 227 % кч 2н! ~ ~ — и ь )() Хй" ()' тн' (тн) (9) Если бы интеграл в левой части стремился к нулю при )и'- оо, то сходился бы ряд из главных частей ( и поправки на сходимость были бы ненужными. Однако у нас этого, вообще говоря, нет, и для получения стремящегося к нулю интеграла 1 нужно под знаком интеграла вычесть из — начальные члены ь — 2 ее лорановскога разложения в бесконечности, т. е.
сумму члее нов вида —. Это удобно сделать так: положим г=О в ра~еь1 венстве (9) и тех равенствах, которые получаются из него последовательным дифференцированием по г (мы считаем, что г=Π— правильная точка )); получим р((~) 11'1(ю) ~~ д1е1(о) 2н1 и' тем й1 ьЬ2 й1 (А=О, 1, ..., т). (тн) ') Если, конечно, внутри ти есть хотя бы один полюс й 1иь то в разложении (5) в качестве Р„и й можно принять много- члены степени не ваше т. м Фиксируем любую точку г ~ С, отличную от полюсов 1, и предположим, что ун содержит г внутри.
Функция Р(ь) — внутри ун голоморфна всюду, кроме точки ~=г 1 (~) и полюсов функции 7. Вычет ее в точке г равен )(г), сумму вычетов в полюсах 7, лежащих внутри ун, обозначим через з. Для подсчета з заметим, что в каждом таком полюсе вычет ч„(4) функции Р совпадает с вычетом функции Рн(ь) = —, где <рн(ь) = ги д„(~) означает сумму всех главных частей ) в полю(тн) сах, лежащих внутри ун. Функция Рн рациональна и кроме упомянутых полюсов она имеет полюс в точке Ь=г с вычетом ~рн(г), а ее вычет в бесконечности равен нулю, ибо Рн имеет там нуль не ниже второго порядка '). По теореме о полной сумме вычетов (п.
25) сумма всех вычетов функции Рн, т. е. з+~рн(г) =О, откуда з= — <рн(г) = — ~~'., д„(г). (", ) Применяя к Р теорему Коши о вычетах, найдем ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. Ч 228 Умножим это равенство на г" и затем вычтем сумму получен- ных равенств из (9): ж ь э[ — — — „в,„ [/ 7 (Ь) с(Ь вЂ” 7 (г) — Й (г) — ~~ (дв (г)- Р„(г)), (тн) (10) где " е[м (О) Р,(г) = Наша цель достигнута; в самом деле, оценим левую часть (1О), т. е. величину 2пв З ~м ~ (~ — г) тл (мы просуммировали геометрическую прогрессию под знаком интеграла).
Пользуясь неравенствами (8), получаем оценку А)г[м~~ Г [г) из которой видно, что )сн(г) - 0 при й[- оо и притом равномерно на любом компакте Р П р и и е р. Нетрудно видеть, что с[е г ограничен на окружностях — )~ [ )) ) )г)=п(н+ — ~ т и О, ..., поэтому к функции )(г) с[нг — — применима 2) 1" г теорема 2, в которой можно положить т=о, Мы снова получаем разложение (7).
В заключение приведем обобщение теоремы Миттаг-Леффлера на случай произвольной области йс-[,. Без ограничения общности будем считать, что Р содержит бесконечную точку (этого можно достичь дробно-линеиным преобразованием) и что д0ФЯ, т. е. что ОФС (в этом случае теорема тривиальна). Теорема 3. Каковьс бы ни бь[ли последовательность точек ав ен.0, не имеющая предельных точек в (г, и последовательность функций у„вида (1), существует мероморфная в 0 фУнкЦиЯ 7, котоРаЯ имеет полюсы во всех точках аи, пРичем главная часть )' в каждом полюсе а„совпадает с д,. < В случае конечного числа точек а„ теорема тривиальна, поэтому последовательнссть аи нуж [О считат бесконечной.
Для каждой а„найдем точку а„епд(г, ближайшую к а„(такая точка существует, ибо непрерывная функция р(ь) = )ь — а„) до- дополнитнльнын вон~осы 1гл. и 230 (это множество, как легко видеть, замкнуто). Если в доказательстве теоремы 3 выбирать в качестве а„точку И', ближайшую к а„, то ряд (12) определит функцию ), мероморфную в дополнении к а (которое является открытым множеством и, следовательно, состоит из не более чем счетного множества областей). 43. Теорема Вейерштрасса. Здесь мы рассмотрим разложения целых функций на линейные множители, соответствующие их нулям, аналогичные такому же разложению многочленов: 1 Р(г)=аг" П(г — ал)=Аг П~ о ) (1) л ! л ! (через ал мы обозначаем корни многочлена, отличные от нуля; каждый повторяется столько раз, какова его кратность; через т обозначена кратность корня г=О).
Целые функции в общем случае имеют бесконечное (счетное) множество нулей, и мы приходим к необходимости вместо конечного произведения (1) рассматривать бесконечные произведения. Напомним определения и простейшие факты, относящиеся к таким произведениям. Бесконечное произведение с комплексными членами (2) ~!и (1+ сл) л'! (3) ') Условие П МО вводится для сохранения свойства произведений обращаться в нуль, лишь когда один из множителей равен нулю. называется сходящимся, если все его множители отличны от нуля и частичные произведения Пл - П(1+ с„) имеют предел ь-! П !пп Пл, также отличный от нуля'); число П называется л+ л величиной произведения (2), Пл Так как 1+си —, то условие с,- О является нее-! обходимым для сходимости произведения (2); оно, конечно, 11 недостаточно: пример и (1+-).
Для сходимости произведен!' л ! ния (2) необходима и достаточна сходимость ряда $ !3) РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛЫХ И МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 231 при надлежащем выборе значений логарифмов. В самом деле, пусть ряд (3) сходится, т. е. частичные суммы 2„~~'.~ 1п(1+ сь) ь ! сходится к конечному пределу Х; тогда частичные произведения П„ = е ь стремятся к пределу П=е~+О, т.
е. (2) сходится. Пусть сходится (2), т. е. существует 1ппП„=ПРО; выберем знал+~ чения логарифмов !п П„так, чтобы !пП„- !пП, а затем положим 1п(1+с!) =!п П!, значение 1и(1+сз) подберем так, чтобы !Н(1+с,)+!п(!+сь) =1пПА и т. д. (считая выбранными значения 1п(1+сь) для й=1, ..., и — 1, мы подбираем !п(1+с„) так, о чтобы ~!п(!+с„) !пП„). При таком выборе значений лога- А ! рифмов Е !пП„- 1пП, т.
е. ряд.(3) сходится. Наконец, бесконечное произведение, множителями которого служат функции, голоморфные на множестве М, мы будем йазывать сходящимся на этом множестве, если среди множителей есть лишь конечное число обращающихся на М в нуль и после вычеркивания таких множителей произведение оказывается сходящимся в каждой точке М. Основной для дальнейшего является следующая т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я целых функций с заданными нулями: Теорема ! (К. Вейерштр асс). Какова бы ни была последовательность точек а„ыС.
1ппа„=оо, существует целая и+ в функция )', которая имеет нули во всех точках а„и только этих точках, причем порядок нуля )". в точке а„ таков, сколько членов, равных а„, имеет данная последовательность. < Без ограничения общности можно считать, что а„ФО (ибо вместо ) можно рассматривать целую функцию —, где и!— 1(х) порядок нуля 1 в точке а=О) и что точки а„ занумерованы в порядке неубывающих модулей.
Подберем натуральные числа р„так, чтобы ряд (4) ь ! равномерно сходился в любом круге (!е~ <)с); для этого достаточно, например, положить р„+1=а (примените критерий Коши и воспользуйтесь тем, что а„- оо). При таком выборе р бесконечное произведение !гл. ч ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 232 сходится на любом компакте К из (.;. Для доказательства ассмот им ункцию р р ф л(ь, р) = (! — ь) е и заметнм, что ее логарифм йР «РМ ~Р«2 1п и(Ь, р) =!п(1 — Ь)+ Ь+ ... + — = — — ' Р я+1 Р+2 при ! ь !~~ у(1 допускает оценку ~Р«! 11п а(~, р)1(! 11' (1+1~1+ ...) ( 1й ~ (6) Если теперь обозначить К,=(~г!<д'а„!), то для любого К~ С найдется номер йР такой, что К~ К, для всех п." У.
Для всех таких п в силу (6) )1П д ~ †, р„)~ =— и, следовательно, ряд ,)~~ 1п д ( —, р„) л=н на К мажорируется равномерно сходящимся рядом (4), т. е, представляет голоморфную на К функцию дн(г). Поэтому иро. изведение й д( —, р )=)н(г)=е и л=-н сходится и представляет голоморфную и отличную от нуля функцию на К. Произведение (5) отличается от !и множителем н=! И д ( — ', р„), который обращается в яуль в точках аь лл ' л -1 ..., ан 2 и только этих точках. Так как К вЂ” произвольный компакт, то ! — целая функция и имеет заданные нули ~ Следствие. Любую целую Функцию ! можно разложить в бесконечное произведение, соответствуюгцее ее нулям; ~ «1»л 1(З) — Ел«ЕЕ и) П (! ) Е л» Р» 1, лл«' (т) лл! л ! й !з1 РАЗЛОЖЕНИЯ БЕЛЫХ И МПРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 233 где пг — порядок ну,тя (" в точке 2=0, о — некоторая целая функция и числа р„выбраны так, чтобы сходился, ряд (4), < Будем считать !и=О (для чего достаточно вместо 1" рассмотреть функцию — 1 и расположим нули ) в порядке не- 1(а) у убываюгцих модулей, повторив каждый нуль столько раз, какова его кратность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
