Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Для любой функции и, гарл!онической в области Р, локально, в окрестности каждой точки ген=0, можно построить голоморфную в этой окрестности функцию !', для которой и является действительной (или мнимой) частью ч ПУсть Р=(~г — гь~ с,г) с: 0; в силУ (1) фоРма сь= — — йх+ — йу является точной в 0 (см. п. 15), поэтому ди ди ду дх интеграл от ы в Р не зависит от пути и в Р определена функция о(х) = ~ — — йх+ — йу. ди ди дг дх Обычным для действительного анализа способом доказывается, что о дифференцируема в Р (в смысле (ч') и что ее частные производные соответственно равны дс ди дс ди (4) дг ' дг дх Но это в условия комплексной дифференцируемости функции !=и+!о, а и=йе!.
Функция !1= — о+!и~Н(0) имеет и своей мнимой частью > 3 а меча пи е. Если область 0 односвязна, то это же рассуждение доказывает существование функции (~Н(0), для которой и=!се! глобально, во всей области Р. Для многосвязных областей теорема неверна, П р и м ер: в области 0=(О()г!(1) функция и=!п(г(= — 1пей ! гармонична, но условиям (4) вместе с и удовлетворяет только функция о=Ага'г, определенная в 0 лишь локально, во всей Р эта функция не определена (она многозначна!).
Установленная связь позволяет распространить на гармонические функции некоторые свойства голоморфных функций. 1. Б е с к о н е ч н а я д и ф ф е р е н ц и р у е м о с т ь. Любая гармоническая в области 0 функция и(х, у) обладает в каждой точке частными производными всех порядков, которые также являются гармоническими в Р. и По теореме 2 строим голоморфную в окрестности 0 точкн г=х+!у функцию 1, для которой и-!се!, н замечаем, чу дополнительные вопросы 1ГЛ. ч 240 — = 2се ~'(г), — = — (щ)'(г). По теореме 1 эти частные произдх ду водные гармоничны в У. Применяя к ним уже доказанное, получим существование и гармоничность вторых частных пронзводныхит.д.
ь 2, Теорема о среднем. Если функция и гармонична в круге О=(ь": ~ь — г~ с )с), то для любого г<)с значение и в центре круга равно среднему ге значений на окружности (1Ь вЂ” г1=х): 2я и(г) = — „~ и(г 4-ген)йй (5) Доказательство получается отделением действительных частей в формуле ) (г) = — ~ ~ (г + геи) д1, о выражающей теорему о среднем для голоморфных функций. Заметим, что в этой теореме вместо среднего по окружности можно брать среднее по кругу У; (6) где с(о=гдгс(т — элемент площади. Для доказательства достаточно помножить обе части (5) на г и проинтегрировать по г в пределах от О до тс. 3.
Теорема единственности. Если две функции и2 и и„гармонические в области О, совпадают на множестве И'~ О, имеющем хотя бы одну внутреннюю точку, то и2=— иа в О. я Обозначим и=и~ — из и рассмот)уим множество о ,Я =(г~0: и(г) =0). Открытое ядро,У' по условию непусто; оно замкнуто в О, ибо если геен 0 является предельной точкой о о7, то существует последовательность г„ ~о~, )пп г„ =ог„ и фУнкциЯ 1=и+ы, голомоРфнаЯ в окРестности го, Яалаетса мнио мой постояннои '), т.
е, и=О в этой окрестности и г,еноУ . Поо этому Р— = 0 и о 1) В рассматриваемой окрестности У найдется точка х ~яд, в окрестности У~У которой и == О; по уравнениям Коши — Римана в т' имеем дс до — =— — — = О, т. е. У=с=сона1; тогда (=м всюду в С2. дх ду э га] ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУН!(ЦИИ 24! и(г)= —, ~ ~ и©йг„ 1 !]С-а]<т] (7) то она гармонична в 0. Б. В. Шабат Для гармонических функций теорема единственности формулируется в более слабой форме, чем для голоморфных: требуется, чтобы множество в' имело не предельную, а внутреннюю точку в О, В такой сильной форме теорема и неверна: гармоническая в С функция и=х равна пулю на мнимой оси, не будучи тождественно равной нулю.
4. Принцип экстремума. Если гармоничешсая в области 0 функция и достигает (локального) максимума или манили]лт в какой-лабо точке гав= О, то она постоянна в 0 Рассмотрим голоморфную в окрестности (7 точки г, функцию ), для которой и=!(е]; если и достигает в г, максимума, то н модуль голоморфной в (7 функции е! — также (]ег! =е"); поэтому ), а следовательно и и, постоянна в сг. По теореме единственности и постоянна и в О.
Случай минимума сводится к случаю максимума, если вместо и рассмотреть функцию — и и 5. Теорема Лиувилля. Если функция и гарлгонична в С и ограничена хотя бы с одной стороны, например; и(г) <М для всех г БЕС, то иая сопэ1. м Так как С односвязна, то существует целая функция ) такая, что и=)(е) в С. По условию все значения ) лежат в полуплоскости (гсе7<М); пусть Х вЂ” дробно-линейное отображение этоп полуплоскости на единичный круг, тогда ), ° ) является целой ограниченной функцией, т. с, константой. Отсюда следует, что 1, а следовательно, н и=сонэ! м 6. Инвариантность относительно конформн ы х о т о б р а ж е н и й, Если функция и гармонична в области 0 и г=г(~) — конформное отображение 0а на 0, то сложная функиия и ° г(т) гармонична в 0'.
Рассмотрим произвольную точку ~б е= 0т и ее образ г]г=г((б), в окРестности гб стРоим голомоРфнУю фУнкцию 7" такую, что и=)(е); тогда и ° г(ь) =Ке) ° г(г), а так как функция 7" ° г(~) голоморфпа в окрестности ",ь, то и*а(~) гармонична в этой окрестности м В следующем пункте мы покажем, что теорема о среднем ха р актер изует гармонические функции, т. е. что справедлива Теорем а 3. Если конечная в области 0 функция и, локально интегрируемая по площади, в каждой точке г~ 0 для всех г < гб(г) совпадает со своим средним по кругу (ь: ~~ — ~<т): дополнитвльныа вопгосы )гл.
ч Сейчас мы воспользуемся этой теоремой для доказательства одного утверждения о пределе последовательности гармонических функций, которое понадобится в дальнейшем изложении. Т е о р е и а 4 (Х а р н а к). Предел убывающей последовательности гармонических в области Р функций иь (А=), 2, ...) является либо гармонической в Р функцией, либо тождественно равен — оо. ч Пусть сначала и всюду конечна в 0; по теореме о среднем для гармонических функций иь в любой точке г~Р и„(г)= — „, ~ ~ иг(~)йв 1 (8) )К-к) <г) для всех г<г,(г), где ге(г) — расстояние от г до дР.
В силу монотонности последовательности иь в (8) можно перейти к пределу при и- оо, и мы получим и(г)= — „,, ~ ~ и(~)йв, ()с-~) <~) и, следовательно, для любого ген г()г — г,~ < — ~ р) и(г)= —, ~ ~ и(Ь)ба= — оо, 1 н)) )К-я) <р) ибо круг (~1 — г1<р) содержит круг()Ь вЂ” г,)< д~; таким образом, ~~г — г,)< — ~~о". Точно так же доказывается и зар) мкнутость в (в топологии .О), Поэтому в=0, т. е. и = — оо в Р В заключение этого пункта укажем, что понятие гармоничности распространяется на функции любого числа действительных переменных. Пусть Р— область в и-мерном евклидовом пространстве К".
Функция и: Р- К класса Сз называется гармо- причем функция и локально интегрируема по площади. По теореме 3 отсюда следует, что функция и гармонична в Р. Пусть теперь и= — оо в какой-либо точке гг~0. Обозначим в' (г~0; и(г) = — оо); это множество непусто, ибо содержит г,. Оно открыто: пусть г)енв и расстояние от г, до дР равно 2р; мы имеем ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 243 5 и! нической в В, если в каждой точке х= (х„..., х„) ецВ удовлет- воряется уравнение Лапласа %ч д2и йи= „7 — =О.
ьз зх' я (9) 16~ Для таких функций остаются справедливыми свойства ! — 5 гармонических функций двух переменных. Эти свойства нуждаются в специальных доказательствах (ибо приведенные нами доказательства основаны на свойствах голоморфных функций), но мы па них не будем останавливаться. 45. Задача Дирихле. В ряде вопросов анализа используется задача о гармоническом продолжении функций; мы рассмотрим эту задачу в простейшей постановке. Задача Дирихле. Задана односвязная область Вс: С с жордановой границей дВ и на дВ задана непрерывная функция и.
Требуется гармонически продолжить и в область В, т. е. построить непрерывную в В и гармоническую в В функцию, которая на дВ совпадает с заданной. а) Е д и н с т в е н н о с т ь. Покажем, что задача Днрнхле не может иметь двух различных решений. В самом деле, пусть существуют два решения и, н иь Тогда их разность о=и,— иг гармонична в В, непрерывна в .0 и равна нулю на дВ. Если максимум или минимум о в В достигается в В, то по принципу экстремума о=сонэ! в В, а в силу непрерывности и в В; так как о=Она дВ, то в этом случае о=О в В.
Если же обе эти величины достигаются на дВ, то они равны О и опять о=О в .О. б) Р е д у к ц и я к к р у г у. Предположим, что задача Дирихле разрешима для единичного круга У=(!г~ <!), и покажем, что тогда она разрешима и для любой односвязной области В с жордановой границей дВ. В самом деле, по теореме Римана существует конформное отображение г: В- У, непрерывно продолжаемое в Р по принципу соответствия границ (и. 39), Пусть на дВ задана непрерывная функция и; зададим на дУ значения о=и о~-' н обозначим через о гармоническое продолжение этих значений в У (оно по предположению существует). Тогда функция и=по! по свойству б предыдущего пункта будет гармонической в В; она непрерывна в Ю, а на дВ равна и о~-~ о~=и, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
