Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Возьмем дугу у" я=у' и построим непрерывную на у функцию Ь(~), положив ее равной и(ге) — е на у", равной и(г,) на у'к.у', а на дугах у"~ун пусть она линейно зависит от агд(~ — г,) =1. Тогда на у будет и <и, и по определению субгармоничиости и(гс)~ <"(гь) 2 ~ п(Ь) "Г (4) где /г(г) — гармоническое продолжение й(с) в 0 (см. предыдущий пункт). Но правая часть (4) строго меньше и(ге) — противоречие доказывает теорему ь Следующая теорема показывает, что локальное свойство субгармоничности, выражаемое определением 2, влечет за собой соответствующее свойство в целом.
') Подробнее сн. Книгу И. И. Привалова, цит. на стр. 24В. дополнитвльныв вопвосы [гл. ч Теорема 2. Если функция и субгармонична в 0 и область 6 а0, то для любой функции Ь, гармонической в 6 и непрерьсвной в О, Ь)~ и на дОф',Ь > и в О. (5) < Положим о=и — Ь; так как эта функция полунепрерывна сверху в й, то она достигает в О своего наибольшего значения М; требуется доказать, что М (О. Обозначим в' = =(генО: о(г) =М); по теореме 1 это множество открыто, а в силу полунепрерывности о оно также и замкнуто в О. Если оно пусто, то М достигается на дО, где о ь.О, поэтому М (О. Если в' непусто, то в О, и тогда о= — М в 6, а в силу полунепрерывности о мм М и в б', опять М (О, ибо о(0 на дО ~ Функцию Ь, удовлетворяющую условию (5), будем называть гармонической мажорантой функции и для области 6.
Теорема 3. Если субгармоническая в области 0 функция и в некоторой точке ге области Ое= =0 совпадает со своей гармонической мажорантой Ь для О, то и ~= Ь в О. ч Функция о=и — Ь субгармоничиа и иеотрицательиа в О; поэтому в каждой точке г еи О, где о=О, она достигает локального максимума. Множество в =(генО: о(г) =0) непусто (оно содержит ге), по теореме 1 оно открыто, а в силу полунепрерывиости о в то же время и замкнуто в 6. Поэтому ь =6 ~ Следствие.. В условиях теоремы 1 функция и постоянна во всей области О.
Теорема 4. Пусть и„, где индекс а пробегает некоторое множество А,— семейство функций, субгармонических в области О. Если верхняя огибаюгцая семейства, б(г) =анри (г) емл полунепрерывна сверху'), то она субгармонична в О. ч Нужно проверить лишь условие 2) в определении субгармонической функции. Пусть круг У ед0, а гармоническая в У и непрерывная в У функция Ь )~ й на дУ. Тогда Ь Р и на дУ для всех аяА, а так как и„субгармоничны, то Ь)~ и„и в У для всех а ~ А.
Отсюда следует, что и Ь ~ й в У ь. В предыдущем пункте мы доказали, что гармонические функции характеризуются тем, что их значение в каждой точке равно их среднему значению по окружности (или кругу) с центром в этой точке. Приведем аналогичное свойство и для субгармонических функций, конечно, с заменой равенства соответствующим неравенством. Теорема 5 (критерий субгармоничности). Для того чтобы полунепрерывная сверху в области 0 функция и ') Есле мяожествод конечно, то вто условне выполняется евтомвтнческн. з Н1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 25! была субеармонической в Р, необходимо и достаточно существование для казкдой точки генР такого числа го(г) >О, что для всех г<г, хя и(г) » «вЂ” ~ и(г+ ген)сП.
о м а) Н ео6 ходи масть. Пусть и субгармонична в Р, г— произвольная точка Р и г,— расстояние от г до дР. Так как и полунепрерывна сверху, то для любого «<г, существует сходящаяся к и на окружности у=(Ь; 1(.— г~ =г) убывающая последовательность непрерывных на у функций и» '). Обозначим через Ь» гармоническое продолжение и» в круг (у=(ь: 1ь — г~ <г). Так как на д(у=у имеем и»+з(~).4и»(ь), то по принципу максимума такое же неравенство имеет место и для гармонических функций й» в К т. е.
последовательность й» убывает в (7. Поэтому в 0 определена функция й(г) = 1нп Ь»(г), (7) которая по теореме Харнака (и. 44) либо гармонична в (7, либо тождественно равна †. По теореме о среднем для гармонических функций л» (г) - — ~ и» (г + геи) а'1; о переходя к пределу под знаком интеграла (что законно в силу монотонности), получим, что 6(г) = — и (г+ геи) сЫ. Если Ь= — оо в (7, то там и и= — со, т.
е. (6) выполняется тривиально. В противном случае из субгармоничности и и неравенств и <6» на д(7 заключаем, что и(г) <й»(г) для всех й= 1, 2, ..., и в пределе при й- со получаем, что и (г) «< 6 (г) = — ~ и (г + ген) й!. о Необходимость критерия доказана. '1 В качестве таких функций можно, например, взять м»(й)=азах(н(Д вЂ” »1й — Г'1), й 1, 2, ...! рмт представляем чнтателю доказать, что и» непрерывны на т н что п»~ан, !гл. ч дополнитвльиыв вопяосы 252 б) Достаточность.
Пусть и полунепрерывна сверху в Р и удовлетворяет условию (6). Обозначим через й функцию, гармоническую в круге У ей Р, непрерывную в Г и такую, что й.».и на д(7. Функция о=и — й полунепрерывна сверху в Г7, причем по условию (6) и теореме о среднем для гармонических функций для любой точки»~У и достаточно малых т оя и(») — Ь(») ~ — ~ (и(»+ гги) — Ь(»+ теи))й(, о илн о(»)( — ~ с(»+тги)й. о Полунепрерывности и этого свойства дос~аточно для того, чтобы для с в круге У было справедливо утвер>кдение теоремы !.
Поэтому если М вЂ” наибольшее значение о в (>, то множество Ь =(ге-=У: о(») =М) открыто; в силу полунепрерывности оно и замкнуто в (7. Дальнейшее доказательство идет, как в теореме 2; если в' пусто, то М достигается на дУ и, следовательно М <О; если в непусто, то в = — У и опять М (О > Функция Ь, определяемая в круге У формулой (7), называется наилучшей гармонической мажорантой функции и для этого круга. Прн помощи этого критерия легко доказывается утверждение, сделанное в начале пункта; Следствие. Если функция !' голоморфна в области Р, то функция и=!п~(~ субгармонична в этой области.
ч Полунепрерывность функции и очевидна. Если», ен Р не является нулем !', то ! и! допускает выделение голоморфной ветви в некоторой окрестности»о, функция и=!п1!1 является действительной частью этой ветви и, следовательно, гармонична в этой окрестности. Критерий (6) вь>полняется в точке», тогда (со знаком равенства) по теореме о среднем. Если !'(го) =О, то п(»о) = — оо и критерий (6) выполняется в точке»о тривиально ~ В заключение докажем одну теорему о верхнем пределе последовательности субгармоническнх функций, которая будет нам нужна во второй части и которая выражает свойство р а вн о м ер ности предельного перехода прн условии равномерной ограниченности функций последовательности. Т е о р е м а 6 (Х а р то ге).
Если функции ио субгармоничны в области Р, равномерно ограничены на каждом компактном - подмножестве Р и в каждой точке»е=Р 1пп ид(») (А, (8) о+»» 4 14! ГАРМОНИг!ЕГКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 253 то для любого множества К ей 0 и любого е)0 найдется номер йе, такой, что ил(е)."<: А+в (9) д.гя всех г и- :К и всех й > йе. < Без ограничения общности можно считать, что функции равномерно ограничены в О, ибо К погружается в область Р'~0, на которой ил равномерно ограничены по условию.
Кожно также считать, что ил <0 в 0, ибо вместо ид можно рассматривать функции ил — М, где М вЂ” верхняя грань всех илвР. Пусть Ке= =0 и расстояние от К до дР равно Зг. Для любой точки гоееК из критерия субгармоничности иа мы заключаем, что пг иа(ге)(~ ~ ~ ил(ь)йа)). (К-м! <г) (10) Йп) )' ) иа йо < ~ ~ 1цп ие йа. е Е По атой лемме в силу (8) 1пп )' )' иа(ь) т(а -Аягл; (!г-М! <.) следовательно, для любого е)0 найдется йе такое, что при всех й)~/св ие ((.) йв < (А + — ) пгв. (11) 0(-ва <г) Пусть теперь г — любая точка круга ((г — ге! <6), где Ь<г.
Так как круг ((~ — е) <г+б)~ О, то по свойству субгармоничности п(г+0)яме(г) <~ )Г ~ иа(ь) йа, ОЬ-а! <геа) ') Для получения неравенства ((0) достаточно умножить обе части (6) на г Вг и проинтегрировать по г от 0 до ге (см. п. 44).
') См., например, В. С. Влади и и ров, инт. на стр. 248.. Воспользуемся теперь л ем ма й Ф а ту'), по которой для лю- бой ограниченной последовательности измеримых на множе- стве Е функций ил. — оо т<ил < с<со ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 254 [гл. у а так как этот круг содержит ([Ь вЂ” гв[(г) и у нас иа.4 О, то в силу (11) „(,+б)ги„() - ~ ~ и,(),[ < а~А+ в) [ь-и[ <г[ Выбирая б (при фиксированных А, г и е) достаточно малым, получим, что для всех ген([г — гв[(б) и всех Й)~ йо иа(г) (А+е. Пользуясь леммой Хейне — Бореля, получаем утверждение теоремы > Заметим, наконец, что наряду с субгармоническими рассматривают также супергармоиические функции — двумерные аналоги функций, выпуклых вверх. Это — полунепрерывные снизу') в области 0 функции и: х)- ( — оо, оо), для которых для любого круга ()4==1) и любой функции А, гармонической в У и непрерывной в Г~, неравенство и)~А на дУ влечет за собой такое же неравенство в К Изучение таких функций сводится к изучению субгармонических функций, ибо для супергармоничности функции и необходимо н достаточно, чтобы функция — и была субгармонической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
