Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Если всюду заменить гармонические функции двух (действительных) переменных такими же функциями и переменных (см. и. 45), то можно рассматривать субгармонические и супер- гармонические функции в областях пространства )чп. ЗАДАЧИ 1. Пусть дана произвольная последовательность точек о„смС, сходящаяся н бесконечности. Доназатзч что для любой последовательности чисел Ьп ~ С можно найти целую функцию [ таную, что )(оч) Ьч для всех п=[,2, 2. (Теорема Адамара о трех прутах.) Доказать, что если [ голоморфна в (п([а[(гз) н Мт(г) |пах[1(а)1, то [пМз(г) — выпунлая фуннцня от р=[пг, [в[ г т е.
для любого геа (гь гз) [п МГ (г) < ~ 1п МГ (гз) + з 1п МГ (г1). Рз Р| Рз Р~ (Указание: подобрать и так, чтобы го[М[(г,)=гзМ[(гз) н н многозначной функции а [(а) с однозначным модулем применить принцип максимума.) о 3. Доказать, что если ) — полипом степени п, то Му (г1) МГ (гз) „и 1 и 2 для любых 0<с~<ге.
Равенство имеет место лишь для )(з) =с,а". ') Функция и называется полунвпрврывноа снизу в точна аз, если функция — н полуиепрерывна сверху в этой точке. задачи 4. Пусть /-целая функция и сеем(0,1) — фиксированное число. ДокаМу (ог), зать, что !!ш — равен О, если ( трансцендентна, н равен ал, если Му (г) (-полином степени не выше и,, 6. Пусть/(з) ~сиял-пелая функция нМ/(г)(е"' для всех с~ге; л э /Ает)т доказать, что)си)(! — ) для всех достаточно большик л. (Указание1 Мг (г) в неравенствах Коши )сл(( — „взять такое г, чтобы оценка была наилучшей; для этого найти минимум правой части по г.) л /Аст)т 6. если ((з) = ~и~~~ слал-целан функция и!сл((! — ) для всех л)ле, л то Му(г)(с1~+~1г для любого е > О и всех достаточно больших г.
(Ука%ч / Аст 1 т эаиие: МУ(г) ( ~~! си )гл( У ~ — ) гл+Р„(г), где полипом Ри доба- и О л о ален, чтобы компенсировать конечное число членов, для которык л < ле. А+ — )г е'1 л л Имеем !Ри(г) ! <с~ /, а заменяя — ближайшим целым й, получим е и Х~ / Астгт 1т ЧСЧ /Ас ) ч С ~~~ — г"'), где С-некоторая константа. По фор- е е «-о // 1а / з'1з муле Стнрлинга (зад. 4 к гл. 1Ч) У2лй ( — ) й1, а )/2пй < ~1+ — ) е 2А] для достаточно больших й, поэтому оценка продолжается так: ,~Д" % "Г.,...„.) з-э 7. Из зад. 5 и 6 следует.
что порядок целой функции ((з) ~ слзиесть и — л!и л р- ит и+в !ив (с ! Пусть о — тип функции (; доказать, что ! ( ! ( л (сор)э 11ш (лс У! си!). л + сл Построить целую функцию ( данного порядка р в данного типа о, (Ответ. л лл-2;( е')т*.) л 1 <гл ц 256 дополнительные вопросы 8. Доказать, что з) не существует голоморфной на Рс функции, отображающей Р ' на множество с внутренними точками; б) существует целая функция, отображающав )ч ' на всюду плотное подмножество С.
9. Пусть 11 — область в С и последовательность ее точек а не имеет предельных точек внутри 11, Доказать, что для любых последовательностей комплексных чисел Ьч и целых чисел й >О найдется функция ), голоморфиая в () и такая, что для каждого и функция )(з) — Ь, в точке пч имеет нуль порядка й„. 10. В кольце с3' целых функций задава топология равномерной сходнмостп аа ограниченных подмножествах С.
Доказать, что для любого собственного аамкнутого идеала 1 ~Х его остов (з; )(з) =-0 для всех (сы() является нспустым множеством без предельных точек в конечной плоскости. 11. Доказать, что для всякого замкнутого идеала 1 с Я' найдется функция йсп! такая, гго /=дй," (другими слоаамп, идеал ! имеет одну образующую). 12.
Принести пример функиии ср, гармонической в круге у=(ха+уз<я), непрерывной в Р,(0), равной нулю всюду на д(Г' (0) и не равной аулю тождественно. (Пример показывает, что освобождение одной только точки гра. цииы от условий может привести к неединственности решения зздачи Дирих- 1 ле.
Ответ: ср =! — Ее —.) 13. Если у — гладкая кривая, а функция р непрерывна на у, то дейссвительная функция ср (з) = ~ и (ь) !п ( ь — 2(( дь) цззьсвается логарифмическим потенциалом с плотностью р. Доказать, что а) ср гармонична вне у; б) если у — окружность (!з!=г) и 9=в 1, то.ср 'постоянна в круге ((з((г), 14. Пусть ср гармонична в верхней полуплоскости (!газ>0) и равна пулю всюду на осн х.
Доказать, что ф=мр, где а — неотрицательная константа (ср. с задачей 11 гл. Пс). 15. Дано, что ((г) и з((а) — комплексные гармовические функции (т, е. комплекснозна шые функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа] Доказать, что ( — голоморфная функция 16.
Если гармонические функции фч положительны в области Д и ряд Хсрч сходится хотя бы в одной точке а~(1, то оп сходится равномерно на компактах из О. 17. Пусть ф — действительная функция, гармоническая в замкнутой области (с, за исключением коаечного числа точек из со, в которых она равна — сю, Доказать, что анр ф = зир ф. и ап 18. Доказать, что необходимое п лостаточное условие субгармоничности функции ф~Сз выражается неравенством дф дф йр= + — >О. дх' ду' 19. Если функция ф субгармонична, а функция и на Рс выпукла, то их суперпозиция п ч ф является субгзрмопической функцией. 20.
Доказать, что предел убывающей последовательности субгармонпческих функций является субгармонической функцией. 21. Пусть ( — комплексная гармоническая и области 11 функция. Доказатсч что если )1(=сопя! в )2, то и ! =сопя!. ГЛА ВА ! ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пожалуй, главную трудность для начинающего прн переходе к изучению функций нескольких комплексных переменных представляет отсутствие простых, наглядных геометрических представлений. Поэтому мы с самого начала отметим особенности комплексного пространства и подробно опишем ряд простейших областей в нем.
1. Комплексное пространство 1. Пространство С". Рассмотрим ч е т н о м е р н о е евклидова пространство Р'", точками которого являются упорядоченные наборы 2и действительных чисел (х,, ..., хт ). Мы введем в нем комплексную структуру, положив г,=х„+!х,,з.„(т= =1, ..., и). Часто мы будем обозначать х,э,=у„, так что х,=х„+!у„(т=1, ..., и).
Пространство, точками которого являются упорядоченные наборы и (конечных) комплексных чисел х=(хь, х ) =(х.), (1) (2) 17~ мы будем называть и-мерным комплексным пространством и обозначать его символом С". В частности, при и=! мы получаем С'=С вЂ” плоскость комплексных чисел. Можно считать, что при любом и пространство С' является произведением и комплексных плоскостей с сх...хс. Таким образом, точки и-мерного комплексного пространства С вЂ” это точки 2и-мерного действительного пространства г,"". Однако введение комплексной структуры в Рэ" сразу вводит в этом пространстве а с и м м е т р и ю — не все координаты в нем равноправны (например, х, и хвы мы объединяем в комплекс хь а х, и х, не объединяем). Следствием такой асимметрии является, в частности, то, что не все плоскости при переходе от И~" к С" оказываются равноправными.
Рассмотрим, например, 2г-мерную плоскость П~: ~ а„„х,=~3„(р= 1, ..., 2и — 2г), ' (3) М-! 260 голОмОРФные Функнн(т нгскОльких пеРеменных (Гл. г где а„„и ри — действительные постоянные и уравнения Независимы, т. е. гап14(а „) =2п — 2г. Полагая, как выше, г„= =х„+(х„» (т=1, ..., и), будем иметь и поэтому мы сможем переписать уравнение этой плоскости в виде л ~~Р~ (а„тг, + а„',г,) = Ь (р, = 1, ..., п - г,) (4) где а„,, а„', и ܄— комплексные постоянные'). Среди всех таких плоскостей выделим те, в уравнения которых ие входят переменные г„; такие плоскости будем называть (комплексно) г-мериыми аналитическими плоскостями. Следовательно, по определению уравнением г-мерной аналитической плоскости будет А'1 ~ ао,г,= Ьи ((с=!, ..., п-г).
(5) т=1 Только аиа,читические плоскости будут «Настоящими» плоскостями пространства С", другие плоскости из Рэо ( в частности, все иечетиомериые плоскости) ие следует считать плоскостями из С". Например, в С' множество точек, описываемое уравнением гт-хт+тхэ=0 (т. е. двумерная плоскость (х1=0, ха — — 0) из Р'), считаетса плоскостью, а множество х1+(хе=О (т. е. двумерная плоскость (х1=0, х,=О) из й,") ие считается.
Комплексно (и — 1)-мерные аналитические плоскости г„=О мы будем называть координатными плоскостями. Комплексно одномерные аналитические плоскости называются еще аналитическими прямыми. Лиалитические прямые, проходящие через о го оъ а заданную точку г =(г1, ..., г„,(епС, можно записать уравнениями о о а1 «1 ал Еа Тл 011 отл где оэ„екС вЂ” некоторые постоянные (ие все равные 0). Обозначая общую величину отношений в (6) через и, мы можем переписать уравнение аналитической прямой а параметрической форме: й: г =г'+от 1 (1~С( у=1, ..., и). ') Чтобы перейти от системы (3) к (4), мы сложили р-е ураонение (3) с (и — г+р).м, умноженным на й и сгруппировали коэффициенты прн ят и ат. КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО В О" естественно вводится структура векторного пространства: под суммой векторов г'= (г,'» и г" = (г,"» понимается вектор г'+г" =(г,'+г,"), и под произведением вектора г=(г,» ца число АЕЕΠ— вектор ),г=(лг„».
Пользуясь этими операциями, мы можем записать уравнения аналитической прямой в векторной форме: г — ге+ „,ге где 2о= (ыь ..., от ) ееО'" — направляющий вектор прямой, а ~~Π— параметр. Таким образом, аналитическая прямая — это линейная вектор-функция комплексного переменного ь со значениями в комплексном пространстве (1.: О- О"). В О' можно ввести структуру метрического пространства. Обычно рассматривают две метрики: евклидову метрику е(г', г"), или / е ,/ ее )г' — г"! — 1/ .У, (г' — г" »2 = ~Г ~2 (х' — х")' (9) т=! т=~ и еще одну метрику— р(г', г") = шах ~г,' — г,"~, (10) которую мы будем называть р-метрикой, Очевидно, что р-метрика, как и евклидова, удовлетворяет обычным аксиомам: а) р(г', г") =р(г", г') — аксиома симметрии; б) р(г', г") >О при г'Фг", р(г, г) =0; в) р(г', г"') 4р(г', г")+р(г", г"') — аксиома треугольника.
В соответствии с этими метриками в О" вводятся и топологии'). Это делается указанием системы окрестностей: в евклидовой метрике под е-окрестностью точки г' понимается шарп (го Л) (г Е 2 е (11) а в р-метрике — поликруг (или полицилиндр): (у(ге е) (ге=О р(г ге) (е» (12) Очевидное двойное неравенство р(г', г")(~ г' — г" »()/и р(г', г") (13) 2) подробнее об этом см. начало следующей главы (и. 9), показывает, что метрики (9) и (10) вводят в О" эквивалентные топологии.
В заключение этого пункта опишем коротко кол2пактификацию пространства О", т. е, пополнение его бесконечными 262 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЪ|Х |ГЛ.Г элементами. Наиболее простой способ компактификацин приводит к так называемому пространству теории функций С". Мы уже говорили, что С" можно рассматривать как произведение п комплексных плоскостей С. Но плоскость С присоединением бесконечной точки пополняется до замкнутой плоскости С, гомеоморфной сфере (п. 1 ч. 1). Естественно поэтому пополнить Сь до произведения и замкнутых плоскостей (сфер) — так мы и приходим к пространству теории функций С"=Ох ... хС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
