Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Область Хартогса называется полной, если вместе с каждой точкой г' ей принадлежат и !гг( все точки г, для которых г„=го (т=(... и — 1), а ~г„— а,~ < <)г'„— а (. Очевидно, что области О~рулстосгл»Ъар гогса составляют более широкий а класс, чем области Рсйнхарта '). 1 лр,а Области Хартогса с плоскостью симметрии (г„=О) можно изображать в пространстве размерности г/ (2и — 1), если воспользоваться пре.р образованием (3: С" - О" 1Х Р м определяемым формулой Рис. 78. г- )3(г) =(г1, ..., гв 1, ,'г„~).
(6) Для краткости письма обозначим через 'г= (гн..., г„,) проекцию точки г в пространство Ов — ' и через '0 проекцию В в Сп-1 (т. е. совокупность всех 'г для г ен В). Изображение полной об- 1) Термин «полукруговые области» относится н начальному периоду, когда теория функций нескольких комплексных переменных была в основном теорией функций двух переменных. Такие области обладают «круговым свойством» по одному переменному, т. е. половине всех переменных в 1'». 269 КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО ласти Хартогса вместе с каждой точкой ('га, (г„'() содержит весь отрезок Я г', (Е„О: (е„(<)е~ !). Диаграмма Хартогса понижает размерность на 1 и при п=з является вполне наглядной. На рис.
78 изображена неполная область Хартогса; следует иметь в виду, что точка на этой диаграмме изображает окружность, а вертикальный отрезок, опирающийся на '17,— круг. На рис. 79 изображены шар из С' и х/ У~ А, Рис 79. бикруг; на рисунке хорошо видны трехмерные куски гранины Г' н Г' и остов Г бикруга.
6. Трубчатые (или цилиндрические) области определяются как области, обладающие следующим свойством; вместе с каждой точкой га= (е',) области принадлежит и любая точка а = (г~~+ 1у ), — ОО<р„<СО, ч=!, ..., п. Любую трубчатую область можно представить в виде произведения В Х Р"(р), где  — так называемое основание области — некоторая область и-мерного действительного пространства Р"(х), х= (хп ..., х„), а Р"(у) — действительное пространство точек у= (у1,..., у„). Таким образом, трубчатая область полностью характеризуется ее основанием  — областью п-мерного действительного пространства. Положив г=х+1у, где х и у — действительные и-мерные векторы, трубчатую область можно символически записать в виде Т = В + (Р" (у) нли, подробнее, Т = (х+ 1у: х~ В, уев Р") При п=( трубчатыми областямн будут, очевидно, полосы (и<х<р, — оо<у<ОР), а также потуплоскостн (х)я) или (х<я).
Заметим, что отображение ~р: г,-+е' (Р= 1, ..., Л) преобразует трубчатую Область Т в некоторую область Рейнкарта В. При этом основанию области В соответствует 7)Р— изображение Р на диаграмме Рейнхарта. 7. Пол у трубчатые обл асти составляют более широкий класс областей, чем трубчатые. Это области, которые вместе с каждой точкой ('ге, гД содержат все 'точки ('го, го + 1у„), — оо(у„(оо.
Иными словами, полутрубчатая область Р— это область вида 6+1)ч'(у ), где 6 — область в (2п — 1)-мерном пространствеС» '('г) Х )ч'(х„). Подробнее: Р=(('г, г„)пи С»: ('г, х„)еиб, д„я Й'). 3 2. Понятие голоморфности 3. Определение голоморфности. Пусть в области Рс:С» задана комплексная функция 1: Р-а- С. Пользуясь понятиями окрестности, введенньттти в пространстве теории функций С» и замкнутой плоскости С, мы обычным образом определяем понятия предела и непрерывности 1 в точке гееиР и в области Р (см. п.
3 ч. 1). Чтобы ввести дальнейшие ограничения на функцию 1, предположим, что Р состоит из конечных точек (Рс:т',») и что 1 принимает в Р лишь конечные значения (1: Р- С). Предположим, что 1 дифференцируема в точке г~Р в смысле действительного анализа (в смысле Йа»), т. е, что существует дифференциал ') с(1 = — с(х +... + — т(х д( д( дх1 ' ''' дкт„ Введя комплексные переменные г, и г„по формулам + кт кт х 2 ° х»+» (2) мы можем формально переписать (!) в виде ~Ч вЂ” д, «г~ + + †„, т(г» + д; т(г~ + + да ~(г»~ (3) д( д( д) д( где положено для т=!, ..., а Определение 1. Функция 1, определенная в некоторой окрестности точки ген т',", называется дифференцируемой в этой точке в смысле комплексного анализа (в смысле С"), если она дифференцируема в ней в смысле Йа н в этой точке — =0 (о=1, ..., п), д( (б) ') Кап н в случае одного переменного, мы считаем (=и+го в под д( н д( дп , до — понимаем соответственно дп+1до н — + ~ —.
дкт дкт дач 270 голомороные охнкции нескольких пввнменных 1гл. г 27! ПОНЯТИЕ ГОЛОМОРФНОСТИ гя В„ аепЕ, (7) а~В,. и для каждой точки аее=-М в которую ! продолжается, Она, очевидно, непрерывна на М, можно построить окрестность У;, т. е. дифференциал имеет вид дг '+''' + дг а~л д1 д( (5) дгл Заметим, что условия (5) комплексяой дифференцируемости содержат 2и действительных уравнений относительно двух действительных функций (а=йе~ и о=1гп !). Таким образом, при и)1 эта система дифференциальных уравнений переопредел ен а: число уравнений в ней больше числа рассматриваемых функций. С некоторых точек зрении в качестве пространствеи. ного аналога комплексной функции одного комплексного переменного естественнее рассматривать не одну, а и комплексных ункцнй от комплексных переменных, т, е.
вектор-функцию = (1ь ..., 1„) вектора г= (гь ..., г„). Однако и это не спасает положения: записывая условия (5) для каждой компоненты 1„, мы получим систему 2и' действительных уравнений относительно 2и действительных функций, т. е, систему, также переопределенную прн и) !. Переопределенность условий комплексной дифференцируемости функций нескольких переменных влечет за собой ряд принципиальных отличий пространственной теории от плоской; с некоторыми из них мы познакомимся в дальнейшем изложении. Отметим, что переопределенные системы играют важную роль в теории уравнений с частными производными и что система (5) является одним из основных примеров таких систем.
О п р е д е л е н н е 2, Функция, дифференцируемая в смысле С в каждой точке некоторой окрестности точки г'ен Ол, пазы. вается голоморфной в точке гл. Функция, голоморфная в каждой точке некоторого открытого множества Йс С" (в частности, области), называется голоморфной на множестве 11. Заметим, что при определении понятия голоморфности на произвольном (не обязательно открытом) множестве М имеется тонкость, которая видна из следующего примера. При мер. Пусть множество М~С' состоит из двух замкну. тых шаров В, =~(г — (О, 1)~» (— ~ и В,=~(а+(О, 1)~~~ — ~, ! ! соединенных отрезком Е = ~а, = О, г,=х„~ х,~~( — ~. Определим иа М функцию 272 ГОломОРФИЬ|е Функции нескольких пеРеменных 1Гл.
г как голоморфная функция. В самом деле, для точек Вн включая 1 точку (О, —,) пересечения В~ и С, в качестве таких окрестностей 2 можно взять шары, не пересекающиеся с Вз, и продолжить в них 1, положив ее Равной еь ДлЯ точек В, сделаем аналогичное построение, только положим )(е) = — еь Наконец, для внутренних точек Е возьмем шары, не содержащие концов этого отрезка, и положим в них )=О Однако из теоремы единственности, которую мы докажем в п. 6, следует, что ! нельзя продочжить до голоморфной функции ни в какую связную окрестность Й всего множества М.
В самом деле, из этой теоремы следует, что не существует голоморфной в !2 функции, которая на одном шаре из !2 Равна еь а в ЛРУгом — еь Из этого примера видно, что необходимо различать локально голоморфные на множестве функции, которые в каждой точке множества можно локально продолжить до голоморфной функ ции, и функции глобально голомор4ные, которые продолжаются до функций, голоморфных в окрестности всего множества. В дальнейшем, говоря о голоморфности функции на множестве, мы, как правило, будем иметь в виду глобальную голоморфность.
Очевидно, сумма и произведение двух функций, дифференцируемых (в смысле С") в некоторой точке е, также дифференцируемы в этой точке, поэтому дифференцируемые в точке функции образуют к о л ь ц о. В частности, функции, голоморфные в некоторой области ()~С", образуют кольцо, которое мы будем обозначать символом 17'()2). Справедливо также правило дифференцирования сложных функций, которое мы сформулируем в следующих двух видах, пусть функция ) дифференцируема в смысле С" в точке еь= (еь), Юь ) (Еь) (1) Если функция ф дифференцируема в щ' в смысле С, то гр ° !" Лифференцируема в смысле С" в точке е'. (!1) Если функции ~р„.
(у=1, ..., Л) дифференцируемы в смысле С в точке Ьь, причем ф,(ьь) =е, 'то функция =7(грн ..., ~р„) дифференцируема в смысле С"' в точке гь. В частности, пусть ! голоморфна в некоторой области В~С" и е=Ь(~) — аналитическая прямая, пересекающаяся с й (т. е. совокупность линейных функций е,= е", + гь,~, у=1, ..., и, переменного ~~С таких, что хотя бы одно значение еее!2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
