Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 47
Текст из файла (страница 47)
решает задачу Дирихле для В. в) Решение для круга. Начнем с эвристических соображений. Пусть задача Дирихле для единичного круга У и граничных значений и решена. Построим голоморфную в У функцию ), имеющую решение этой задачи своей действительной частью, Предположим еще, что ~ непрерывно продолжается дополнительные вопяосы !гл. о 244 в 17'), тогда в любой точке а~У по формуле Коши ои Преобразуем правую часть (1) так, чтобы ее действительная часть содержала лишь известные значения Ке(=и на дУ. Для 1 этого возьмем точку г* = =, симметричную с г относительно дУ, воспользуемся теоремой Коши о= —.
! =„(~ 1(й) 2л) Ь г лй (2) то будем иметь 2я,~ ~(е 11 — ~я 2 о Мы достигли поставленной цели: отделяя здесь действитель- ные части, получим так называемую форлсулу Пуассона 1 Г тг "( )= 2к,) "©! — >гсоч(т — Ч) сг" где положено еще гс ке'е. Правая часть формулы Пуассона известна, если заданы значения и на дУ; покажем, что функция и, определенная в У по этой формуле, решает задачу Дирихле для круга. Прежде всего заметим, что ядро интеграла Пуассона ! ! — т' Р(с, г)=— 2п ! — 2г соз (! — Е) +»' после несложных преобразований (с учетом того, что ~~) =1) можно представить в виде Р(ь, г) = — = — Ке —.
! 1 — )г)' 1 к+г 2п (~ — г)г 2к ~ — г ' (4) ') Это предиоложеяие откосится к 1!и 1, так как ке 1 решает задачу Дирикле и, значит, иеирерывиа в (). и вычтем (2) из (1). Так как (~! =1 и можно положить Ь=ес!, с(Ь=Цс(1 и, кроме того, 1 ! й г й(! )г) ) 1 — г й — г' 1 — йг рв — ! )1 — йг)г $ и! ГАРМОНИЧГСКИЕ И СУБГАРМО!!ИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 245 Поэтому функция и, определяемая интегралом Пуассона, является в (7 действительной частью функции 2н ((е)= ~ ~ и(ь) й ((, (8) о голоморфиой в (7!), и, следовательно, гармонична в (7.
Остается показать, что при е, стремящейся по точкам (7 к произвольиой точке !з еи д(7, значение и(г) стремится к и(ьз) Для доказательства заметим, что для любой точки г ец (7 ) Р(ь, г)Ж = 1. з (6) Это следует из доказанного выше: функция и=1 — едииствеи- иое решение задачи Дирихле с граничными данными и=1, и оиа удовлетворяет условиям, в которых выведена формула Пуассо- иа. Далее, (7) 1пп Р(ю г)=0 при ~Ф~е, г~(7, гжы Фиксируем е>0 и, пользуясь непрерывностью и(,",) в точке го, выберем б>0 так, чтобы при ~à — (е! <26 было (сс(т) — и(со) ! <в; (9) обозначим у,=(Ь ее д(7: (! — (з(< 26) и уг=д(Лу~ и разобьем интеграл в (8) иа интегралы по дугам у, и у,.
Для первого из ') !'оломорфность функции (5) можно доказать дифференцированием цод знаком интеграла: для любой г ~ми имеем 2Н 2н 1( +А )-)(г) ! (' ~дт Аг (' ~и(ДЕ! Ьг я,) (~ — г)2 ж,) (й — г)2 (й г — Ьг) а е откуда видно, что цри Лг.+О левая часть стремится к нулю, т. е, суще- ствует р (г). причем сходимость равномерна по ~ иа любой дуге у с: д(), ие содержащей какой-либо окрестности точки ~з,— это видно из формулы (4) (ее средней части). На основании (6) разность между значением и и ее предполагаемым пределом при г- ьз=еи равна 2н 2я Л= ) и(~) РЯ, г)с(г — иЯз)= ) (ц(Ь) — сс(сз))Р(й, г)с(г.
(8) о о 246 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ !Гл. ч них в силу (9) при любом генУ имеем ~ (и(Ц вЂ” и(Ьо))Р(Ь, г)сй <е ) Р(Ь, г)а!<в) Р(Ь, г)аг=в т~ и е (10) (мы воспользовались положительностью ядра Р и равенством (6)). Теперь положим г=гееэ и будем считать, что )~р — !о~ <й; в силу (7) найдется р, 0<р<1, такое, что Р(ь, г) <е для всех Ьенуз и всех г, для которых !ф — (с~ <6, !)г>! — р (мы воспользовались равномерностью предельного перехода (7)). Поэтому для всех г из области О, гг l заштрихованной на рис.
74, имеем с, )1~ О- КЛ К.Л )с <2М ) Р(ь, г)Й<2Ме ° 2п, (11) где М=гпах!и© ~. Объединяя (10) и 7л с гс' (11), получим, что для всех генб спраРнс. 74. ведливо неравенство !о!< (1+4ЛМ)е, а это нам и нужно. Доказана Теорема 1. Любую функцию и, непрерывную на границе дР односвязной жордановой области Р, можно единственным образом гармонически продолжить в Р.
В частности, длл единичного круга У эта задача решается интегралом Пуассона (3). Заметим, что для круга (!г~ <Ц интеграл Пуассона имеет вид и(г = — и ), аг', яз гз 2к ! (ь аз — Мс соз (с — о) + гз (12) '1 Разумеется, что функция и нрелколагается локально ннтегряруемоа ло плонсадн. где г=ге'е, ь )теи; это. получается из доказанного простой заменой переменных. В качестве примера применения гармонического продолжения приведем доказательство теоремы 3, сформулированной в предыдущем пункте.
Пусть конечная') в области Р функция и ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. Р 249 наложенных на ее границу'). В частности, для п-мерного шара В=(х~ К": »х»<Я» эта задача решается при помощи интеграла Пуассона и (х) = — » и (у) „ «(О, 1 Г )7«-2 О72 )х Р) (14) ав если и (го) ч-' — оо, (1) если и (гв) = — оо, » и (е) — и (хв) < е 1 — -а ! < б =3«( 1 » и(г) < — —, в ' или, что эквивалентно, 1пп и(х)(и(гв). (2) ') По этому поводу смл М. В.
Келдыш, О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, Успехи матем. наук, вып. 8 (!941), !71 — 292. ') См. ипнги: И. И. П р и в а л о в, Сувгармоничсские функции, ОНТИ, М., 1937 и В. С. В л ад и м и р о в, Методы теории функций игногих комплехсиых переменных, «Наука», М., 1964. лп"" где а„= В" ' — площадь п-мерной сферы дВ, а г[о— 12 ) элемент поверхности дВ в точке у (Г обозначает гамма-функциго Эйлера; Г[2) =1, поэтому Оа=2ПВ, и при 1[=2 эта формула совпадает с (12), если еще заменить с[О=В«[[). Формула (14) выводится из формулы Грина' ).
46. Субгармонические функции. Логарифм модуля голоморфной функции 1 является гармонической функцией лишь в окрестности точек, где [' Ф О, а в нулях )п[Г! обращается в — оо, т. е. теряет гармоничность. Сейчас мы введем более общий класс субгармонических функций, который, в частности, будет содержать и логарифмы модулей голоморфных функций. Одномерным аналогом гармонических функций являются лиг[«[г нейные функции 6(х) =)гх+Ь, для которых — „, = О.
Г1ри помощи линейных функций можно определить выпуклые функции следующим образом; функция и(х) называется выпуклой (вниз), если для любого отрезка (и, »э» из области ее определения и любой линейной функции г[(х) из неравенств й(сс))~и(и), [[(Я)~ и()з) следует неравенство 6(х))~ и(х) для всех х ее (ок Я. Субгармонические функции являются двумерным аналогом выпуклых функций. Они не обязаны быть всюду непрерывными — можно ограничиться лишь требованием полунепрерывности. О пределе ни е !. Действительная функция и, — оо < и<ос, опРеДеленнаЯ в окРестности точки ев, называетсЯ полрнеиРЕРьгзной сверху в этой точке, если для любого е > О найдется б > О такое, что 4 и] ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУЕГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 249 Если 0 — область, то функция и: 0 - [ †, оо), полунепрерывная сверху в каждой точке г ~ О, называется полунепрерывной сверху в этой области.
Нетрудно видеть, что для полунепрерывности сверху функции и в области 0 необходимо и достаточно, чтобы для любого сей( — оо, оо) множество меньших значений (г е= 0: и(г) <и) было открытым. Обычным образом определяется полунепрерывность функции на множестве и доказывается, что функция, полунепрерывная сверху на компакте К, ограничена сверху и достигает на К своего наибольшего значения. Определение 2. Функция и: 0- ( — оо, оо) называется субгармонической в области 0, если 1) она полунепрерывна сверху в 0 и 2) для любого достаточно малого круга 0 и любой гармонической в 0 и непрерывной в Г" функции й Ь )~ и на д0 =."р й )~ и в К (3) Такую функцию й будем называть гармонической мажорантой функции и для круга Е], Отметим несколько простых свойств субгармонических функций '), которые подчеркивают их аналогию с выпуклыми функциями.
Т е о р е м а 1. Если субгармоническая в области 0 функ](ия и достигает локального максимума в некоторой точке ге ~ О, то она постоянна в некоторой окрестности ге. м Пусть и не постоянна ни в какой окрестности ге. Тогда найдется достаточно малый круг б'с: 0 такой, что и(г) <и(ге) для всех г ен Г, а в некоторой точке 9] окружности дУ=у справедливо строгое неравенство и(ь,)<и(г,). В силу полунепрерывности сверху функции и для достаточно малого е)0 найдется дуга у' с: у, на которой иД) <и(ге) — е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
