Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Пусть ! — мероморфная функция, не принимающая трех различных значений а, Ь, сенС. Эти значения можно считать конечными, ибо если бы какое-либо из них было бесконечным, то ! была бы целой функцией, не принимающей двух значений, т, е., по теореме 1, постоянной, Рассмотрим функцию ! Е !х)— она, очевидно, целая (ибо !Фс) и не принимает значений ! 1 и ь с .
По теореме 1 функция у постоянна, но тогда и ! постоянна ь Замечание. Целая функция есФВО, мероморфная функция 1п еФч-г, следовательно, теоремы Пикара не могут быть усилены в отношении числа непринимаемых значений (такие значения называются ггикаровскими исключительными значениями). Можно доказать, что свойство мероморфных функций принимать все значения, за исключением, быть может, двух на самом деле является локальным свойством их поведения в бесконечности. Нмеет место так называемая б ол ь ш а я теорема Пикара, по которой любая функция в любой сколь угодно малой окрестности предельной точки ее полюсов принимает все значения, за исключением, быть может, двух, Точно так же в любой ЗАДАЧИ 22! окрестности существенно особой точки любая функция нринимает все конечные значения, за исключением, быть может, одного.
В этой формулировке большая теорема Пикара является существенным усилением теоремы Сохоцкого '), ЗАДАЧИ !. Докалсите следующее обобщение принципа аргумента: если функция ) мероморфна в замкнутой области В, ограниченной конечным числом непре- рывных кривых, причем на дВ нет ни нулей, ии полюсов й то для любой функции гр, голоморфной в В, ! оч Г Р (2) Кч — гр (2) — Г(2 = Хч ор (ао) — Г ф (Ьа), 2гн,) ) (2) дэ Ф=! а=! где первая сумма распространяется на все нули, а вторан — на все пол ю с ы функции ( в В.
При ф — ! получаем принцип аргумента. (Указание: примени!е к интегралу в левой части теорему Коши о вычетах.) 2. Пусть Цз) мероморфиа в единичном круге В и непрерывна в окрестноств дВ. Доказать, что для любого числа А такого, что 1А!)шах 111, число дц А-точек в круге (о' равно числу пол!осов. 3. Пусть )(2) непрерывна всюду на С и гачоморфна вне некоторого компакта Кс С. Доказать, что )(К) =)(С) К). (Указание: пусть зо еи С)К и )(2) )(за) )чь)(хо) на К; тогда нужно рассмотреть функцию 8(2) =, до- 2 хо казать, что она имеет конечное число нулей, устранить их и применить иринцип аргумента для непрерывных функций.) 4.
а) Найтв радиус сходимости ряда ()О) из примера в п. 34, который обращает целую функцию м=зе-"' в окрестности точки ш=б. б) Объяснить, почему этот ряд имеет конечный радиус сходимости. в) Вывести из б] асимптотичсскую формулу Стирлинга для л! б. Пусть (о, ..., ( голоморфны а замкнутой области В. Доказать, что функция ор(2) =(го(2)1+ ... +)( (2)1 достигает максимума на ее границе дВ. я я) 6. Пусть  — полоса ~- — < (гп 2 < — у в С.Покаисите, что целая функ- 2 2) ция е' ограничена на границе области В в С, но пе ограничена в В.
Однако всякая равномерно ограниченная в В голоморфная функция ) по мод лоо ие п евосходит у Р знр 1 г (2) 1. ! г\о о! 2 7. пусть г(2) — голоморфнав функция в единичном круге В такая, что ! ! ((0)=1 и 17(2)1<М в В. Покажите, что в круге ~121( — у выполняется неравенство !)(2) — (!(~М 12!. 8. Докажите, что иа поверхности модулк голоморфной фуикцви )Ф сопз! внутри всякой замкнутой линви уровня (1))=с) число минимумов на единицу больше числа точек перевала. ') Доказательство большой теоремы Пикара (для голоморфных функций) можно найти в кинге А, И. Маркушевича, цит. на стр.
207. ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОИ ТЕОРИИ 222 !Гл. гц 9. Докажите, что всякое голоморфное отображение замюгутого круга Д в себя имеет неподвижную точну. Приведите пример такого отображения, все неподвижные точки которого находится на границе круга (). !О. Если [ годоморфиа в единичном круге (7, непрерывна в (7 и [](г)[-1 для всех агжд(7, то [ — рацяональная функция.
[Указание. Первый способ: сначала предположите, что [МО в (1, и докажите, что [==сопя(, затем устра. инте нули ], не менчя [][ па д(Г. Второй способ: примените принцип симметрии.) !!. (Н. П Че бота ре в). Пусть [(г) голо сорфна в верхней полуплоскости У=(1ш г>0), непрерывна в У ПС и [ (У) <: У, а [ ()7) ~ Р. Доказать, что в этих условиях [ — линейная функцив. [Указание: по принципу симметрии [ — целан; докажите, что оиа возрастает на оси х, затем рассмотрите [(э) функцию я(э) = —, где хе — единственный нуль [, и докажите, что 1п я =- сопз(.] 12. Пусть [(г) голоморфна в нруге д и постоянна по модучю на его границе д(7.
Докажите, что агц [ при обходе д(7 меняетсн монотонно. 13. Пусть функции [т в круге (7 голоморфны, отличны от нуля и все по людулю меньше единицы. Тогда, если [т(0) -+О, то [т(э) -+ 0 равномерно во всяком внутреннем круге. 14.
Докажете, что любой конформный изомоофизм кольца (г,<[э[<ге) на кольцо (р~<[ш[<рт) линеен. [Указание: примените принцип симметрии] 15. Докажите, что любой конформный изоморфизм прямоугольника на прямоугольник, переводящий все 4 вершины в вершины, линеен. 16. Приведите пример голоморфного (но, конечно, неоднолистного) отображения кругового кольца на круг н пример такого же отображения круга на кольцо. !7. Пусть для функпии [: С-ьС множество прообразов (г: [(х)=шэ) для любой точки шэшС дискретно, т.
е. не имеет предельных точек в С, Докажите, что такая функция не может быть более чем двоякопериодической, т. е. существуют периоды ы| и шх такие, чго любой период [ имеет внд ы=л1ы1+ляма где п1 н лэ — целые числа. 18. Проверьте, что функция ш=зп (э, й) взаимно однозначно (н конформно) отображает прямоугольник ( — 2К<Кег<2К, — К'<1гп э<К) с отождествленными противоположными сторонами на поверхность, которая полу. чится, если взять два экземплнра плоскости ш с разрезами по отрезкам ( — 1/й, — 1), (1,!/й) и склеить берега разрезов крест-накрест, ГЛЛВА Н ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ Здесь мы рассмотрим две не связанные между собой темы, которые, с одной стороны, завершают набор основных сведений из теории функций одного комплексного переменного и, с другой стороны, необходимы для теории функций нескольких переменных.
2 13. Разложения целых и мероморфных функций 42. Теорема Мнттаг-Леффлера. В п. 24 было доказано, что любая рациональная функция разлагается на сумму некоторого многочлена (своей главной части в бесконечности) и главных частей в конечных особых точках. Здесь мы хотим получить аналогичное разложение для произвольных мероморфных функций. Через а„(п=!, 2, ...) мы будем обозначать полюсы') мероморфной функции (, а через главную часть ее лорановского разложения в полюсе ап.
Если мероморфная функция ( имеет лишь конечное число полюсов, то, вычитая из ) сумму ее главных частей в этих полюсах, мы получим, очевидно, целую функцию й. В этом случае поставленная задача решается тривиально: функция ) разлагается в сумму целой функции )т и своих главных частей.
Таким образом, представляет интерес лишь случай бесконечного числа полюсов. Здесь вместо конечной суммы мы имеем ряд из главных частей, и возникает вопрос о его сходимости. Этот ряд, вообще говоря, расходится, и для получения сходящегося ряда к главным частям при)годится вводить поправки, которые, как мы увидим, можно брать в виде миогочленов — отрезков тейлоровских разложений главных частей. ') Напомним, что мероморфная функция не может иметь более чем счетное множество полюсов: в каждом круге (~г)<Ж), И 1, 2, ..., полюсов лишь конечное число, ибо в противном случае существовала бы нх конечная предельная точка, которая была бы неиаолированной особой точкой, а не полюсом.
дополнительные вопеосы 224 !гл. ч Переходя к точным формулировкам и доказательствам, прежде всего условимся, что понимать под сходнмостью ряда нз мероморфных функций, которые могут обращаться в бесконечность в некоторых точках. О и р е д е л е н и е. Ряд из мероморфных функций называется сходящимся (соотв. равномерно сходящимся) на множестве М, если лишь конечное число его членов имеет полюсы на М и после удаления этих членов ряд сходится (соотв, равномерно сходится) на М, Задачу о разложении решает следующая т е о р е м а с у щ ествова пня мероморфной функции с заданными полюсами и главными частями: ' Теорема 1 (Митта г-Леффл ер).
Каковы бы ни были последовательность точек а„~С, !пп а„=ьь и последователь- 11 .+ ность функций а„вида (1), существует мероморфная функция !', которая имеет полюсы во всех точках а„и только этих точк х, причем славная часть !" в каждом полюсе а„совпадает с д„. я Без ограничения общности можно считать, что а„~ О (ибо вместо ) можно рассматривать функцию ! — уь, где дь — главная часть ! в точке а=О) и что точки а„занумерованы в порядке неубывающих модулей; 1а„~ <(а„чч~ (п=!, 2, ...).
Фиксируем число д, О<у<1, и обозначим К„=(г: ~г, '<д(а„~). Так как функция д„голоморфна в круге (1г(<1а„)) и К„компактно принадлежит этому кругу, то д„можно в К„равномерно приблизить полиномом Тейлора ~п ьи е„(о) (2) степень т„мы выберем так, чтобы для всех а е= К„было 1Ии(а) Р" (е)1< 2" (и= 1, 2, ...). При таком выборе Р„ряд сходится равномерно на любом компакте К из С в смысле определения 1. В самом деле, для любого К найдется номер й! такой, что К с: К„для всех и >~ йг; члены ряда 1 1з! ехзложиния целых и мигомогэных охнкцип 225 голоморфны на К, и в силу (3) этот ряд мажорируется на К сходящейся геометрической прогрессией.
Следовательно, ряд (4) сходится на К равномерно и его сумма )» по теореме Вейерштрасса (п. 22) голоморфна в Кн. Функция ) отличается от !н на рациональную функцию и-1 зл (д„— Р„) с полюсами а„и главными частями у„(п=), ... я=! , У вЂ” 1) и, следовательно, имеет в К заданные полюсы и главные части. Так как К вЂ” произвольный компакт, то ! мероморфна и имеет в С заданные полюсы и главные части ь С л едств и е. Любую мероморфную функцию ) можно разложить в ряд )=й+ Х(уз — Р„), (б) равномерно сходящийся на любом компакте, где й — целая функция, уя — главные части ) и Є— некоторые полинах»ы.
4 Занумеруем полюсы !" в порядке неубывающих модулей (точку г=О можно считать правильной, если вместо 1 рассмотреть функцию ! — да, где уз — главная часть ! в этой точке) и по теореме ! построим ряд ! =Х(у Р) а=1 равномерно сходящийся на любом компакте. Функция ( — (з=а, очевидно, целая ь ! П р и и е ры. 1, Мероморфная функция . 5 имеет полюсы второго по- 51П З рядка в точках а„=лк (л=о, '-1, ...), причем ее главная часть в полюсе 1 о„равна да= —. Ряд из главных частей (г — нп)5 сходится равномерно иа любом компакте (в смысле определения 1), нбо в любом круге (!х(ч.)() мажоряруется сходягциися рядом 7„ ! По.ЛГ (нк — )»)5 ' атому поправочные многочлены Ра в разложении (б) не нужны, и остается найти целую функцию й (г) = 1 т), 1 51п 3 м а (а — ля) а--а Эта функция периодичесхая с периодом к, поэтому ее достаточно изучить 1б в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
