Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Точки отрицательной полуоси не составляют исключения; © („-~ ~3 д57лйГлй7 !-Ес. Еб. часть поверхности, лежа!цап над окрестностью такой точки, изображена на рис. 56, в. Так как самопересечение поверхности мы не принимаем в расчет, то топологически этот рисунок не отличается от рис. 56,а — рассматриваемая часть со,р,' стоит из трех не связан- ных друг с другом кругов. " " " ' " "Юи* Риманова поверхность -7Е ' ' логарифма и! = 1.не (3) а) 4 бесконечнолистна.
Ее устройство показано на рис. 57. Мй опять берем оби. './ !7 ласть П вЂ” плоскость С с разрезом вдоль отркцаии тельной полуоси — и в ней иl ф главную ветвь логарифма и! =- 1и(з) =1п~ з~ + !'агни Рис. вп ( — и< агина<я). Эта функция однолистно и конформно отображает В на полосу 17о = (- и < 1!и в < и); соответствие берегов разреза и границ полосы указано на рис.
57. Логарифм имеет в области Р бесконечно много ветвей О/= 7Я(2)= 7и(е)+2еп! (й = О, 1, ...), ПОНЯТИЕ РИМАНОВОП ПОВЕРХНОСТИ 17З отображающих (У на полосы ВА, сдвинутые по отношению к бо на целое кратное 2п!'. В соответствии с этим мы берем счетное множество экземпляров области 6 и склеиваем верхний берег разреза на 0-и экземпляре с нижним берегом разреза на 1-м экземпляре, а нижний берег нулевого разреза — с верхним берегом разреза на — 1-м экземпляре (рис. 57).
К оставшимся свободным берегам мы затем приклеиваем соответственно нижний берег разреза на 2-м и верхний берег разреза на — 2-м экземпляре н т. д. Над окрестностью каждой точки гчьО, Фоо лежит часть поверхности, состоящая из счетного множества отдельных кругов; каждому кругу мы отнесем ветвь логарифма с соответствующим номером, действующую в этой окрестности (точки отрицательной полуоси не составляют исключения), Поэтому логарифм можно рассматривать на построенной римановой поверхности как функцию в обычном смысле слона, В точках г=О и г=оо логарифм не определен, поэтому мы будем считать, что его риманова поверхность не имеет точек над г=О н г=со. В качестве более сложного примера рассмотрим риманову поверхность арксннуса ыl = Лгсз!и г.
(4) В п. 13 мы видели, что функция г=з!п ю однолнстно и конформно отображает полуполосу ~ — — '< 1(е ы < —, 1т ю ) О ~ 2 2 ' л на верхнюю полуплоскость г; ясно, что вся полоса~ — —,, <Кеш< —,1 при этом отображается на плоскость г с разре- 2 ! вами вдоль лучей ( — оо, — 1) и [1, оо) Мы обозначим последнюю область через 6 и через и!=да(г) обозначим ту ветвь арксинуса, которая отображает 6 на пол л 1 2 2 ! лосу 6о = ~ — — < Ке ш < — (эту ветвь можно характеризовать также условием до(0) =0). Так как арксинус имеет счетное множество ветвей, то для построения римановой поверхности мы должны взять счетное множество экземпляров области 6. К й-му экземпляру (А=О, ь1, ...) мы отнесем значения Й-й ветви арксинуса в=аХ(г), которая отображает 6 на полосу 6А = ~ — — + йп < Ке и! < — + йя~ (ее можно характеризовать 2 ' 2 также условием ЯА(0) =йп).
Остается склеить между собой отдельные экземпляры области в соответствии с тем, как склеены их образы 6А. Как это сделать, видно из рис. 58 1гл. и! АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 174 В результате получится бесконечнолистная риманова поверхность, которая имеет над точками г= «-1 счетное множество точек ветвления. В точке е=оо она имеет две логарифмические точки ветвления (одну образуют четные экземпляры области и- зн г, -,7 б) Рис. Ез. б, другую — нечетные). К этому же выводу можно прийти, ис* следуя в1яражение арксинуса через логарифм А гсз1п е = — 1 1.п ( 171 — ее + 1г).
32. Общий подход. Здесь мы введем общее понятие римана. вой поверхности как некоторого абстрактного топологического пространства. Хотя понятием топологического пространства мы уже не раз пользовались, остановимся на нем подробнее. О п р е д ел е н и е 1. Множество Х называется топологическим пространством, если в нем указана система подмножеств, называемых открытыми множествами, причем: 1) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств снова являются открьпыми множествами; 2) пустое множество и все пространство Х являются открытыми множествами.
Открытое множество, содержащее точку х~Х, называется окрестностью этой точки. Когда на множестве Х указывается система открытых множеств (или окрестностей точек), удовлетворяющая требованиям 175 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ $91 Перейдем к описанию общего понятия римановой поверхности, Рассмотрим множество Я, точками которого служат пары А=(а, т,(г)), (1) где точка ание и функция ~ га(г — а)", ,-о если а е= С, (2) ~~ с„ и-а если а = сю, голоморфна в некотором круге с)о с центром в а; для определенности будем считать У, кругом сходимости соответствующего ряда (2). Введем в Я топологию следующим образом: под е-окрестностью су(А) точки А~Я будем понимать совокупность точек В=(Ь, )ь(г)) таких, что: !) Ь принадлежит е-окрестности 1 ) точки а (т. е.
(!г — а!<е), если а~С, и ~1г1> — т, если а=со), 2) элемент (Уь, Ть) является непосредственным аналитическим продолжением элемента (Уо, )о). Можно представлять себе точку А как точку римановой поверхности в описанном в п. 31 элементарном смысле, лежащую иад точкой адни. Дополнительное указание функции 1,(г) равносильно указанию листа, которому эта точка принадлежит. Окрестность с7(А) состоит из точек В того же листа, 1) и 2), то говорят, что на Х вводится структура топологического пространства. В частности, структуру топологического пространства всегда моионо ввести в метрическом пространстве. Для этого достаточно объявить окрестностями точки хоеиХ шары с центром х, и произвольным радиусом тх' в метрике рассматриваемрго пространства, т.
е. множества (х~Х; р(хо, х) <тт), Открытыми множествами считаются те, которые вместе с каждой точкой содержат и какую-либо окрестность этой точки. Оп р ел ел е н не 2. Топологическое пространство Х называется харсдорфовььн пространством, если его окрестности удовлетворяют следующей аксиоме отделимости: у любых двух различных точек из Х существуют непересекающиеся окрестности. П р ям ер нехауслорфова пространства.
Точками Х служат точки деаствнтельной осн м'; топология вводится так: открытыми множествамн объявляются ось Н, пустое множество н все множества, получаемые на й нскл1оченнем конечного чнела точек. Читатель легко проверит, что аксиомы топологпческого пространства (трсбованпя в определения 1) выполняются, а аксиома отделимости — нет. аналитическое пРОдОлжение [гл. и! которые проектируются в окрестность точки а (рис. 59); точки других листов, проектирующиеся в ту же окрестность (как В' на рис.
59), не считаются принадлежащими (! (А), Нетрудно видеть, что описанная топология вводит на Я структуру хаусдорфова пространства. В самом деле, если в этом пространстве считать открытыми множествами те, которые содержат вместе с каждой точкой и какую-либо окрестность этой точки, то требования из определения 1 будут выполняться. Проверим выполнерфЩРг3 нне аксиомы отделимости: если А ФВ, то либо а+Ь, либо а=Ь, но ),Ф)ь. Для построения непересекающихся окрестно(,"~чф стей о(А) и П(В) в первом случае до;;,'з статочно выбрать непересекающиеся окрестности точек а и Ь на С, а во втором— выбрать е столь малым, чтобы е-окрестРи с 59. ность точки а принадлежала кругам схо- димости обоих рядов („н (ь, и в б'(А) включить все точки (с, ),), где (У„),) является непосредственным продолжением (У„),), а в (У(В) — все точки (с, 1"-„.), где (О„),) — непосРедственное пРодолжение (сгь, гь) (окРестности (7(А) и ЕГ(В) не пересекаются, ибо иначе элемент (Уь, гь) совпадал бы с ((!„)~)).
О п р е д е л е н н е 3. Хаусдорфово пространство Я, точками которого служат пары А=(а, 1„(г)), где аснар и 1'„— голоморфная в точке а функция, а топология введена описанным способом, называется римановым многообразием. Можно определить проекцию риманова многообразия Я в С как отображение 1!: (а, 1,(г))- а.
(3) Глобально это отображение не является взаимно однозначным, ибо на Я существует бесконечно много точек с одной и той же проекцией, Но локально оно взаимно однозначно, В самом деле, если точка Ь принадлежит кругу сходимости ряда 1„ то непосредственное аналитическое продолжение (Уь, Гь) элемента (0„1„) вполне определено и, следовательно, в достаточно малой окрестности У(А) существует лишь одна точка с проекцией Ь, Очевидно также, что и (3), и обратное к нему отображение непрерывны, поэтому проекция является локальным гомеол!Ор!Ьиз.иом.
Проекция преобразует окрестность У(А) в некоторый круг плоскости С; совершая дополнительное дробно-линейное ото- 177 понятии Рнмлновоп пОВеРхнОсти 4 Я1 браженне этого круга на единичный круг (',~](1], можно считать, что в У(А) определен гомеоморфизм т„л и(Л) (]~]<Ц. (4) Каждая точка Ве=У(А) однозначно характеризуется своей проекцией Ь и, 'следовательно, точкой т= Тс(В) единичного круга. Поэтому ~ можно рассматривать как локальный параметр, действующий в окрестности У(Л). Если две окрестности У, )7С:И пересекаются, то возникает отображение друг на друга частей параметрических кругов, соответствующих этому пересечению; и =ро1,(ь) = ТР Ти'(1); (5) оно называется соотношением соседства (рис.
60). Так как соотношение соседства является композицией дробно-линейных отображений, то оно также дробно- линейно, т. е. конформно. Определение 4. Хаусдорфово пространство, которое можно покрыть си- Рас. 60 стемой окрестностей, гомеоморфных кругам, так, что все порождаемые этими гомеоморфизмами соотношения соседства оказываются конформными отображениями, называется комплексно аналитическим многообразием (комплексной размерности 1). Таким образом, доказана Те о р е м а 1. Риманово многообразие Я является комплексно аналитическим многообразием комплексной размерности 1. Комплексно аналитические многообразия высших размерностей мы рассмотрим во второй части книги. Риманово многообразие Я, очевидно, несвязно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
