Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(13) Лз) (2л) И л ! В заключение докажем теорему об инв ар и антности аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопных деформаций этого пути. Теорема 3, Пусть пути уо! г го(1) и уз! г=гз(1) гомотопны, как пути с общими концами, и элемент е9 продолжаем вдоль любого пути у,: г=г,(1) (з~У), осуществляющего гомотопию уз у!. Тогда результаты продолжения ет вдоль путей уо и у! совпадают, м Пусть г=г(э, 1)! УХУ-ьС вЂ” функция, осуществляющая гомотопию уо-у, (см. п. 16), так что г,(1) =г(з, 1).
Обозначим через Яз (зенУ) результат аналитического продолжения элемента х вдоль пути у, и рассмотрим множество ( ен У. ссз !со) Оно непусто, ибо содержит точку э=0. Пусть во~в'"; по лемме существует г>0 такое, что радиусы зс(1) элементов т)', осуществляющих продолжение вдоль у,, не меньше е для всех (енУ. В силу равномерной непрерывности функции г(э, 1) найдется окрестность и(зо)с:У такая, что для всех з~и(зо) и всех УеиУ ( (з, ) — (зо, ) ) ( 2 . (14» сходяпзийся на всем диаметре (0,2) (здесь лн=п(п — 2)... и последний множитель равен 2, если л — четное, и 1, если л — нечетное).
По теореме Абеля (п, 19) ряд (11) сходится и для комплексных х х в круге (! и, следовательно, представляет голоморфную в (У функцию (п. 20). На диаметре (0,2) зта функция совпадает с й а по теореме единственности (п. 21) отсюда следует, что она совпадает с ! всюду в (!. Таким образом, всюду в (т АнАлитическое пРОЛОлжение [Гл. [и [50 По теореме 2 выберем Г,ену так, чтобы точки е~ =г(з, 1,) для всех т= 1. .. а удовлетворяли неравенству ~ео ао и элементы Я, [ и Я, (мы обозначаем Я, = Я1',) являлись непосредственными аналитическими продолжениями друг друга.
Обозначим еще г,=г(з, 1 ), 4У,=Ф) и заметим, что при зепи(зч) в силу (14) и (15) ) г, — е',, ~ < е для всех ч = 1, ..., и (рис. 48). а о Ф, Элементы Я[ и т[ являются непосред-. / ственными аналитическими продолжениями элемента чУ и, следовательно, друг друга ! е (мы пользуемся тем, что у нас ~ г",— а ( < — и ~г[-в[~< [. Точно так же мы докажем, Е '1 е что и элементы Ф, и Я, являются аналн- о тическими продолжениями друг друга (ч= 1, ..., П).
Но элементы Ф и Ф„имеют к тому же общий центр (ач г = ([) и о .поэтому совпадают. Так как зе~д', то Я„=А„'=Я, следовательно, и я„=Ы'=яч, т. е. ЕСЕЗ'. Мы доказали, что и(з,) ~ Й' вместе с зм т. е. что Ь вЂ” открытое множество. УР Но в то же время в' является и замкнутым множеством. В самом деле, пусть зе†предельная точка Ь; построим окрестность и(зе) такую же, как выше. у~ В ней найдется точка з~е', так что продолжение У вдоль у, приводит к элементу Я'.
По тем же соображениям, что и выше, продолжения вдоль путеи т, и у, приводят к равным элементам, следо- 1~! вательно, Я'= Ы и зч~д'. о Таким образом, е =У (см, п. 4) и, в частности, Я = Я~ м 3 а меч ание. Если хотя бы вдоль одного из путей у„осуществляющих гомотопию уе-уь элемент чУ непродолжаем, то результаты его продолжения вдоль у0 и у[ могут оказаться различными. В самом деле, рассмотрим полуокружности уо и у, из разобранного выше примера. Они, очевидно, гомотопны и их понятия кнллитичвскоп етнкции 15Г 5 81 гомотопию можно осуществить при помощи дуг окружностей у., 04з 41, проходящих через точки +1 (рис.
49). Пусть для определенности уь обозначает прямолинейный отрезок [1, — 11. Элемент чУ = (У, 1) из упомянутого примера можно описанным выше приемом аналитически продолжить вдоль любой дуги 1 уо з Ф вЂ”. Продолжение вдоль уа невозможно, ибо, как мы видели, )'(г) - оо при г- О, а отрезок у,, содержит точку а=0. Этого оказывается достаточным для того, чтобы продолжения вдоль уе и уг приводили к различным элементам (см. упомянутый пример). й 8. Понятие аналитической функции Описательно говоря, под аналитической функцией понимается то, что получается из аналитических элементов в результате аналитического продолжения.
Здесь мы подробно разберем это понятие. 28. Аналитические функции. Под (аналитическим) элементом мы будем сейчас, как в п. 26, понимать пару ,У =()э, г), составленную из области 0 и голоморфной в 0 функции 1". В различных окрестностях фиксированной точки а голоморфная функция порождает различные элементы. Мы введем понятие эквивалентности элементов с тем, чтобы отвлечься от несущественного различия в выборе окрестностей.
Определение 1. Два элемента,9 =(О, 1) и Я=(6, "), области которых содержат одну и ту же точку вен С, называются эквивалентными в точке а (У Я), если суШествует окрест. ность точки а, в которой ~=д. Очевидно, что это отношение эквивалентности удовлетворяет обычным аксиомам. По теореме единственности (и.
21) для эквивалентности двух элементов в точке необходимо и достаточно, чтобы функции, принадлежащие этим элементам, совпадали во всей содержащей точку а компоненте пересечения их областей. Совокупность эквивалентных друг другу в данной точке а~С элементов называют ростком аналитическог1 Функг1ии в точке а.
Смысл этого понятия состоит в л о к а л и з а ц и и понятия элемента: рассматривая вместо фиксированного элемента класс всех элементов, ему эквивалентных (в том числе и элементов, области которых сколь угодно малы), мы выделяем в понятии ростка то общее, что объединяет эквивалентные элементы. Поэтому росток характеризует локальные свойства функции в рассматриваемой точке. Очевидно, росток означает нечто большее, чем просто значение функции в рассматриваемой точке. В самом деле, пусть АнАлитическое пнодолжение 1гл. Н! 152 а= — и' и функция ) в правой полуплоскости 21 определена соотношением т . рх ~счя — р! з!ч — ) )(г)=е ( 2 2) (РРС 2 ю (1) где г=ге'ч.
Продолжая элемент (О, )) в левую полуплоскость О по верхней полуокружности у,: г=е", 0.41(л, мы получим элемент 02, состоящий из 6 и функции (2) а продолжение его вдоль полуокружности у!, г=е", 0)~1)~ — и, приведет к элементу Я!, состоящему из 6 и функции Г 1сО5 — +! 3!и ) т п,(г)=е ~ '), Зп и — — ( р( — —. 2 2 ' (3) Элементы Ю и т! различны, поэтому различны и их ростки в точке а= — л'. Однако значения функций дч и д! в рассматриваемой точке совпадают; при подсчете др(а) мы полагаем <р=агй а=и и, следовательно, др(а) =е"'= — 1, а при подсчете п2(а) считаем гр= — и и, следовательно, д2(а) =е-"= — 1, К понятюо аналитической функции мы придем, если будем рассматривать совокупности (аиалитических) элементов (О, 1„), где а пробегает произвольное множество индексов А, причем предположим, что каждый из этих элементов получается из любого другого аналитическим продолжением.
Голоморфные функции )„аен А, принадлежащие элементам, будем называть ветвями рассматриваемой аналитической функции. Для удобства работы с этим понятием мы несколько конкретизируем его, заменив произвольные элементы каноническими н продолжение — продолжением вдоль путей (и. 27). Так мы приходим к следующему определению. О и редел ение 2. Аналитической функцией называется совокупность канонических элементов, которые получаются из одного какого-либо элемента 2У = ((), 1") аналитическими продолжениями вдоль всех путей, начинающихся в центре а элемента 29', вдоль которых такое продолжение возможно.
Очевидно, что это понятие не зависит от выбора начального элемента У . В самом деле, пусть Я=(У, д) — любой элемент, принадлежащий аналитической функции, которая определяется начальным элементом У . Тогда Я получается из У продолжением вдоль пути у. Но и 'Г получается из Я продолжением вдоль пути у, а любой другой элемент ~Ю, который получается ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОВ ФУНКЦИИ $ а) ((,)=(ге' з, и и — — <<р<— 2 2 (4) — элемент из примера, рассмотренного в предыдущем пункте. Мы видели„что его можно продолжить в круг $'=()г+1) <1) двумя способами, которые приводят к двум различным голоморфным в )г функциям де и дп д~(а) = — Агз(е) в )г.
Таким образом, аналитическая функция с начальным элементом аГ каждои точке ген)г ставит в соответствие два различных значения (отличающнхся знаком) т). Ниже, в $ 9, мы введем вместо плоских областей такие объекты (римановы поверхности), на которых аналитические ') Иными словами, две аналитичесние функции счнтаютси равными, если они имеют общий росток (тогда и все нх соответствующие ростки разны друг другу). а] Этот пример показывает, что аналнтическан функпни может иметь в одной точке различные ростки.
из У продолжением вдоль пути Л, можно получить и из У продолжением вдоль пути у () Л (определение объединения путей см. в п. 14). О п р е д ел е н и е 3. Две аналитические функции, определяемые каноническими элементами, считаются равными, если онн имеют хотя бы один общий элемент. (По теореме единственности продолжения вдоль пути тогда и все их соответствующие элементы равны друг другу.) Две аналитические функции, определяемые произвольными элементами, считаются равными' ), если какие-либо их элементы эквивалентны друг другу в смысле определения ! (тогда и все их соответствующие элементы эквивалентны). Т е о р е м а 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
