Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 25
Текст из файла (страница 25)
т.. геа + геа О. г В заключение приведем пример применения теоремы Коши о вычетах к вычислению несобственных интегралов от функций действительного переменного. Вычислим интеграл вдоль действительной оси еггх р(г) = ] —,гг'г, (11) где г — действительное число (он абсолютно сходится, ибо мажорируется сходящимся интегралом от функции Рнс. 39. — ') 1+ х' Методика применения вычетов такова. Продолжаем подинтегральную функцию в комплексную плоскость затем выбираем замкнутый контур так, чтобы он содержал отрезок ( — гс, гх] прямой интегрирования и какую-либо дугу, соединяющую концы отрезка.
К этому замкнутому контуру применяется теорема Коши о вычетах, а затем делается предельный переход при гтг- оо. Если при этом удастся вычислить предел интеграла по дополнительной дуге, то задача будет решена. Пусть Вг х+гу; учитывая, что (егзг) =е-и', мы будем различить два случая: 1)~ 0 и 1(0. В первом случае мы замкнем отрезок ( — йг, гс] верхней полуокружностью у' проходимой против часовой стрелки (рис. 39). При Я)1 внутри образовавшегося контура лежит один полюс 1 первого порядка г=г', вычет в котором легко находится по формуле (6'); еыг ег гез 1+ аэ 21 Но функция имеет в бесконечности нуль шестнадцатого порядка, поэтому ее лорановское разложение в окрестности а= со содержит лишь отрицательные степени, начиная с г ". Поэтому ее вычет в бесконечности равен О, следовательно, равна нулю н сумма вычетов в конечных особых точках, т.
е. 1=0. РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ 1ЗЗ (12') из которой видно, что этот интеграл стремится к нулю при Р- Оо. Поэтому, переходя в (12') к пределу при Р-+оо, мы получаем при 1~~ 0 ) ! (х) дх = ле '. (14') При !<О оценка (13) несправедлива, ибо )е'") =е-ж сильно возрастает при у- +ОС, Поэтому мы заменим дугу у' дугой у" нижней полуокружности (рис.
39). Пусть она проходится по часовой стрелке, тогда по теореме Коши о вычетах при Р>1 ~ г(х)ох+ ~ !(г) с(г= — 2л(гезу =па'. -с -л // тл Так как при 1<0 на у,", имеем ! еьи ~ = е м< 1 и ~ г'+ 1 1~ ) Р' — 1, то интеграл от г по у" также стремится к нулю при Р- Оо, и из (12") в пределе получим ~ 1(х) дх =ле'.
(14") Объединяя формулы (14') и (14"), получаем окончательный результат: пк ~э (!) = ~! —,, дх = ле ~ ' й 1+х' (15) В дальнейшем мы не раз будем пользоваться вычетами для вычисления различных интегралов. Приведем в заключение лемму, полезную при таких вычислениях. По теореме Коши о вычетах имеем, следовательно, я ) Г'(х)дх+ ) 1(г)ох=ле '. -л / Так, как при !) 0 на у„' имеем ~ е'"1=а М- 1 и ~ г'+ 1 ~Ъ ~~Р' — 1, то для интеграла по ч' справедлива оценка (13) / тл <гл, Н СПОНСТВД ГОЛОМОРФНЫХ ФУНК<<ИЛ !34 Л е м м а (Ж о р д а н) .
Пусть функция ) голоморфна в (1<п г > О) всюду, за исключением изолированного множества особых точек, и М(Я) =щах<)(г) ~ на г<олуокружности у<<в - (<г( =)г<, 1гпг~~0) стремится к нулю при Р- оо (или по последовательности )г„- оо такой, что уя не содержат особых точек )). Тогда для любого А>0 ~ <'(г) е<д'йг (16) стремится к нулю при гг'- оо (или по соответствующей последовательности )г, — оо). (Смысл леммы состоит в том, что М(<У) может стремиться к нулю сколь угодно медленно, так что интеграл от ) по уп не обязан стремиться к нулю; умножение на экспоненту гол с )<>О убыстряет стремление к нулю.) м Обозначим через у„' = ~ г = Ке<е: 0 «ф « — ~ правую поl из лавину уя. В силу выпуклости синуса при фен~О, — 1 имеем з)п ф> — ф, и, значит, на уя справедлива оценка ) г"' ~ = 2 22 Яр — Е "<Ма Ф «г и' .
ПОЭтОМу 2 я2к<нч (() "й ~«М(В~ " )1й~=м()() —,",(1- -д), г, о 2 и интеграл по уя стремится к нулю при )г — у со. Оценка для у„" = у ч, у' проводится аналогично м Как видно из доказательства, условие голоморфности ) в этой теореме не существенно, ЗАДАЧИ !. Интегралом типа Коши называется интеграл вида г" (2) =— где у — гладкаи (или спрямляемая) кривая, а < — непрерывная (или сум. мируемая) на у функция. доказать, что г" является фуякцией, голоморфной в С''чу и равной нулю в бескоиечностг<, ЗАДАЧИ 135 2. Пусть у — гладкая замкнутая жорданова кривая, 0 — область такая, что у=дВ и [гиС'[у).
Показать, что при переходе через у интеграл типа Коши испытывает скачок, равный значению ) а точке перехода. Точнее: если вашу, а а-+ьз, оставаясь соответственно внутри'"В или вне О, то г(а) имеет предельные значения г""(ьч) и г-(ьз), причем р'(~з)-р (1з)=[(4з) (формула Ю. В. Сохоцкого). [Указание: представить г"(з) в виде г (з) = —, Г [(Р-[(~,) [Д,) Г д~ и'ь + 2я1 ~ — а 2н1,~ Ь" — л 3. В предположениях предыдущей задачи доказать, что каждое нз следующих условий необходимо и достаточно длн того, чтобы интеграл типа Коши был интегралом Коши: [(ь) дь а) ~ „ - О для всех а ем С " 0; б) ~ 'ьл(К)чь=б для всех п=О, 1, 2, 4. Доказать, что интеграл где Ь=а+1Ч,  — компактная область, а [ — гладкая в В ограниченная функция, а) является голоморфной в С'~,В функцией, равной нулю в бесконечности, б) в любой точке гшВ змеем дг" = =[(а).
дй [Решение. Утверждение а) проверяется непосредственно. Для доказательства б) предположим сначала, что! шС'(В) и что [=О в окрестности дВ. Продолжим [ на всю плоскость, считая ее равной нулю вне В, и будем считать, что в (*) интегрирование распространяется на всю пдоскость, Заменой переменного ь -ь ь+а получим, что [ [')(+идйдц В принятых условиях законно лифференцирование под знаком интеграла, поэтому в любой точке а ~В существует (мы вернулись к прежнему переменному интегрирования).
Возьмем теперь область 6 чшВ так, чтобы всюду на дВ было [=О, тогда по формуле Коши— [гл. П ОВОНОТВА ГОлОМОРФных Фкнкцнп 136 Грина из и, !8 получим, что интеграл в правой части равен [(г), — в дополнительных условиях утверждение доказано. В общем случае нужно воспользоваться тем, что любую гладкую в 0 функцию можно приблизить равномерно на любом компакте из (1 функциями, удовлетворяющими нашим дополнительным условиям.! б. Пусть [(г) ~ЧР„а„г" голоморфиа в замкнутом круге ([= ([г[([() п=о н ао ~ О. Доказать, что тогда [ отлична от нУлн в кРУге 1 ! «! < !ао[+М где М- щах (((г) !.
«мдп 6. Доказать, что степенной ряд не может сходиться ни в одной грааичной точке коуга сходимости, если там имеется хотя бы один полюс разлагаеллой в ряд функции. 7. Доказать, что любая целая функция [, не принимающая значений из правой полуплоскости, постоянна. 8. Вывести теорему Сохоцкого для целых функций из теоремы Лиувилля.
9. Пусть а является существенно особой точкой функции ['; чем может 1 служить а лля функции — 2 (Ответ: предельной точкой полюсов илн суще[' ственио особой точкой.) 1О. Доказать теорему Сохоцкого для предельной точки полюсов. 11. Пусть [ голоморфна в круге [г(<1 и ряд [(г) + Г (г) + [е (г) + ... сходится в точке г=б. Покажите, что ( можно продолжить до целой функ ции, причем указанный ряд сходится равномерно на всяком компактном подмножестве плоскости С. 12.
Если [ голоморфна и равномерно ограничена в правой полуплоскости и если /(п) =О для любого целого и > О, то ) — = О. 13 (В. И. Г а в р и л о в). Если [ (г) = г+ ~ а„г" голоморфна и одноп~2 и листна в ([г! < 1) и [а„[(п для всех п, то [ и все („(г) =г+ ~~р~ ааг" а 2 однолистны в круге ([«[ <т), где т — действительный корень уравнения 2 (! — 2)з-П+ т) =О, Опенка т достигается для г [о (г) = 2г— г — 2«2 3«л (! «)г [Указание: воспользоваться тем, что ~)! — г п г" =2 —, при [г, [, [г, [(г. ! [ («2) — ( (г ) ! '~т « -! 1 + г «2 — гл (1 — г!' и ~ 2 Заметим, что знаменитая гипотеза Бибербаха, по которой для функций 7(г)=г+ ~нр~а„г", голоморфных в ([г[<ц и однолистных там, [а„[(п и~2 для всех и, до сих пор не доказана и не опровергнута.1 ГЛАВА 1Н АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ В этой главе мы рассмотрим еще одно из самых основных понятий комплексного анализа — понятие аналитического прололжения.
Оно позволит нам, в частности, ввести так называемые многозначные аналитические функции. Самые простые залачи приводят к необходимости рассматривать многозначные решения. Например, уравнение а=аз при любом фиксированном гт О имеет два решения, отличающиеся знаком. Совокупность этих решений — мы обозначим ее )хив нельзя рассматривать как функцию от г, нбо функция по определению однозначна. Попытка отказаться от условия однозначности в определении функции сразу привела бы к значительным неудобствам.
В самом деле, какой смысл, например, надо вложить в сумму )тг+ )/г, если каждое слагаемое принимает два значения? Самые простые действия анализа с такими «многозначными функциями» оказались бы весьма затрудненными'). Понятие аналитического продолжения позволяет снять такого рола затруднения. й 7.
Понятие аналитического продолжения 26. Элементы аналитических функций. Мы начнем с изучения понятия аналитического продолжения, оставаясь в рамках теории однозначных (голоморфных) функций. С этой точки зрения под аналитическим продолжением функции (о, заданной первоначально на некотором множестве М с: С, мы будем понимать лоопределение ее ло функции ), заданной в некоторой области (х:»М, такое, что 1" голоморфна в О, а ее сужение на множество М совпадает с (о.
))м )о ') Если складывать т' г+ т' г как совокупности, то зта сумма будет уже трехзначной (ее значения: 2пь — 2ш1 и О, где н~ — одно из двух значений 1'г). Складывать лишь значения с «одинаковым» знаком? Но зто в комплексном анализе совсем бессмысленно: пусть )' г, ь(1+О, а )' аз= ес (!в — 1); какие знаки слагаемых в сумме г' г, +)' гз одинаковыт )ГЛ, Нг АНАЛИТИс!ЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ !38 Такую задачу можно решать самыми различными способами. В первой главе, например, мы аналитически продолжали функции е", ып2 и другие, заданные на действительной оси )с, на всю комплексную плоскость С.
Функ. ИП2 ция задана в области С'ч(0) (она не определена при 2=0)! написав 2 ее разложение в ряд по степеням 2: 51п2 2 2 :=! — — + — — ..., 31 5! мы при его помоши получим продолжение этой функции на всю плоскость С (такое продолжение равносильно доопределению в точке 2=0 по непрерыв- ности). Напротив, сумма ряда 10(2) = )+2+2'+ ... определена (и голоморфна) лишь в круге ()2!<!), ибо при !2)~ )! ряд расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
