Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 20
Текст из файла (страница 20)
И', наконец, сделаем еще одно 3 а м е ч а н и е. Мы убедились в том, что представимость функции Г в круге (]г — а) <тс) в виде суммы сходящегося степенного ряда является необходимым и достаточным условием ее голоморфности в этом круге. Однако сходнмость степенного РЯДЫ ТЕЙЛОРА я 5] юз ряда в точках границы круга сходимости н е с в я з а н а с голоморфностыо суммы ряда в этих точках. В этом можно убедиться на простых примерах. В самом деле, напишем разложение в геометрическую про- грессию — ~~~ 2 ,-о (6) сходящееся в круге ()2~<Ц. Во всех точках окружности (121=1) ряд (6) расходится, ибо его общий член не стремится к О. Однако сумма этого ряда голоморфна во всех точках окружности, кроме 2=!. С другой стороны, ряд ,у; — „, =и) л=! е .
1 ') заметим, что функция 1(я) = ее мп — перестает быть голоморфной а точке а=о, ибо при а-+О по некоторым напраалениям (например, по на- 1 праалеиию мнимой оси) а1п — стремится к бесконечности быстрее любой 2 1 степенн — . а' сходится во всех точках окружности круга сходимости (!2! =1), Сч 1 ибо он мажорируется сходящимся числовым рядом у —,. Однако его сумма 1" не может быть голоморфной в точке 2=1, так л-! как производная )'(2) = х — при стремлении к 1 по действии ! тельной оси неограниченно возрастает. 21. Теорема единственности.
Оп редел е н и е 1, Нулел! функции ) называется любая точка аеиС, в которой эта функция равна нулю, т. е. корень уравнения 1(2) =О. В действительном анализе нули дифференцируемых функций могут иметь предельные точки, в которых функция остается дифференцируемой (такова, например, точка х=О для функции ) (х) = х з)п — ) . В комплексном анализе дело обстоит не так: 2 к)' нули голоморфной функции непременно изолированы, они могут иметь предельные точки лишь на границе области, в которой голоморфна эта функция ').
Этот факт выражает Т е о р е м а !. Если точка а является нулем голоа!орфной в этой точке функции 1, не равной тождественно нулю ни в 1гл. и своиствл голомоееных етнкции 104 какой окрестности а, то существует такое натуральное число и, что ((г) =(г — а) "ф(г), (1) где функция ф голоморфна в точке а и отлична от нуля в некоторой окрестности этой точки.
ч В самом деле, в некоторой окрестности точки а функция ! разлагается в степенной ряд. Свободный член этого ряда равен нулю, ибо !(а) =О, но все его коэффициенты не могут быть равными нулю, ибо тогда !=0 в некоторой окрестности а. Поэтому найдется отличный от нуля коэффициент с младшим номером, который мы обозначим через и, и разложение имеет вид 1(г) =с,(г — а) "+с„„,(г — а)" "+.'..., с„чьО, (2) Обозначим через ф(г) =с,+сии(г — а)+'.. сумму ряда, сходящегося в некоторой окрестности а, и поэтому голоморфную в этой окрестности.
Так как ф(а) =с„~О, то в силу непрерывности этой функции фФО в некоторой окрестности а в Теорема 2 (единственности). Если две функции (генН(Р) совпадают на множестве 3', которое имеет хотя бы одну предельную точку а, принадлежащую Р, то (~=)т всюду в О. < Функция (=~~ — )г~Н(Р); нужно доказать, что 1=0 в Р, т. е. что множество ьУ =(г~ Р: !(г) =0):эй совпадает с О. Предельная точка а является нулем ! (в силу непрерывности последней).
По теореме ! функция 1=0 в некоторой окрестности а, ибо иначе эта точка не могла быть предельной для множества нулей 1. о Таким образом, открытое ядром множества ьУ (т. е. совокупность его внутренних точек) непусто — оно содержит точку а. о По построению,У открыто, но оно в то же время и замкнуто (в относительной 'топологии области О). В самом деле, если о ЬенР является предельной точкой ьУ, то по той же теореме ! о функция 1=О в некоторой окрестности Ь, т. е. Ь ен У .
Так как Р по определению области связно, то по теореме 3 п. 4 имеем ьэт — = Р и Эта теорема также показывает существенное отличие понятия голоморфности функции от понятия дифференцируемости в смысле действительного анализа. В самом деле, две даже бесконечно дифференцируемые функции действительного переменного могут совпадать на части области определения, не совпадая тождественно (рис. 36), Но по доказанной теореме две Ряды теилоРА 105 голоморфные функции, совпадающие па любом множестве, которое имеет предельную точку в области, где они голоморфиы (иапример, на маленьком кружке или на дуге, принадлежащей области), совпадают тождественно во всей области. Заметим еще, что, пользуясь теоремой ! единственности, можно несколько упростить формулировку теоремы 1. Именно, условие, что функция ) не равна тождественно нулю ц Р менить условием, что она вообще не равна нулю тождественно (по теореме единствен- Рис.
зб. ности эти условия совпадают). Из теоремы 1 видно, что голоморфные функции обращаются в нуль, как целая степень (г — а). О п р е д е л е н и е 2, Порядком нуля а е= С функции 1, голоморфной в этой точке, называется номер младшей отличной от нуля производной 11")(а). Иными словами, точка а называется нулем 1 порядка и, если в этой точке )'(а) = ... =)'" в(а) =О, )ьв(а) ~ 0 (и) 1).
(3) )М) 1«) Из формул для коэффициентов ряда Тейлора е„=— м видно, что порядок нуля совпадает с номером младшего отличного от нуля коэффициента тейлоровского разложения функции в этой точке, т. е. с числом и, которое участвует в формулировке теоремы 1. Теорема единственности показывает, что голоморфные функции, не равные тождественно нулю, не могут иметь пулей бесконечного порядка. Подобно тому, как это делается для многочленов, можно определить порядок нуля при помощи делимости. Именно, справедлива Те ор е м а 3, Порядок нуля а ~ С голоморфной функции 1 совпадает с порядком наивысшей степени (г — а)ь, на которую)' г (2) «делится» в том смысле, что частное» (после продолже- (2 и) ния по непрерывности в точку а) оказьсвается функцией, голоморфной в точке а.
< Обозначим через и порядок нуля а и через Л' наивысший порядок степени бинома (г —. а), на которую делится 1. Из формулы (1) видно, что 1 делится на любую степень А 4 п: „= (г — а)" р (г), (г-а)" ОВОиствл ГоломОРФных Функции (гл. н !ое поэтому !ч' ~~ и. Пусть 1 делится на (г — а)н, т. е, частное =тр( ) ( )м представляет собой функцию, голоморфну!о в точке а. Разлагая чр в ряд по степеням (г — а), мы найдем, что тейлоровское разложение ) с центром в точке а начинается со степени не ниже Л/. Поэтому п)~ ту', и, объединяя это с полученным выше неравенством, найдем, что А(=п ь П рви ер, срункння 1(з) з|пз — г имеет в точке з=О нуль третьего порядка.
В самом леле, имеем 1(0) =Р(0) =1" (0) =О, но Ра(0) чьо. Это видно также из разложения з з 1 (з) = з(п г — и = — — — + 3! 5! 3 а м е ч а н и е. Пусть ( голоморфна в бесконечности и равна там О; порядком этого нуля естественно назвать порядок нуля /!! в точке г=О функции ~р(г) =1( — !. Доказанная теорема останется справедливой и для точки а= о, если вместо деления на (г — а)" рассматривать умножение на гь (й=1, 2, ...). Понятие порядка нуля можно распространить на А-точки голоморфных функций.
Точка аенС называется А-точкой функции 1, если 1(а) =А, Порядком А-точки а функции (, голоморфной в этой точке, называется порядок а как нуля функции ! (г) — А. 22. Теорема Вейерштрасса касается дифференцирования рядов из голоморфных функций. Как известно, в действительном анализе почленное дифференцирование рядов требует сходи- мости ряда в какой-либо точке и равномерной сходимости ряда из производных. В комплексном анализе ситуация упрощается, Имеет место Т е о р е м а 1 (В е й е р ш т р а с с). Если ряд и)=Хи) иэ функций, голоморфных в некоторой области Р, сходится равномерно на любом компактном подмножестве этой области, то 1) сумма этого ряда !' голоморфна в Р; 2) ряд можно почлгнно дифференцировать в каждой точке Р любое число раз.
ч Пусть а — произвольная точка Р; построим круг Р =((г — а~!<г) к==Р. Так как ряд (1) по условию сходится на Р равномерно, а его члены непрерывны в П, то его сумма 1 непрерь!вна в Р. Обозначим через у ориентированную границу лю- гады твплогх В силу равномерной сходимостн на у„ряда (( ) т' ! ( ) (3) ( )ьы -,"., ( )е+! л О (он отличается от (!) множителем, модуль которого равен — „„ 1 для всех гнул) мы можем подставить (3) в интеграл (2). Применяя формулы (2) к функциям („, найдем (Оп()=Х вЂ”,' ( '"""„' =Х('.и() 2Ш л (л — а)ь и л О т л О л Утверждение 2) доказано ь В анализе особую роль играют ряды, составленные из полиномов.
По теореме Вейерштрасса можно утверждать, что если ряд нз полиномов (()=Х Р.() л О (4) сходится равномерно на каждом компактном подмножестве некоторой области Р, то его сумма ! голоморфна в Р. Для практики важна обратная задача о приближении произвольной функции, голоморфной в области Р, последовательностью полиномов, причем обычно требуется, чтобы такое приближение было равномерным на каждом компактном подмножестве Р. Приведем точную постановку задачи о равномерном поиблнженин полиномамн.
бого треугольника Лс:У. Так как ряд (!) сходится на у равномерно, мы можем проинтегрировать его почленно вдоль у: ~((г='~' ~(„(з. ч О т Но так как („голоморфны в с(, то по теореме Коши все интегралы в правой части равны нулю. Следовательно, равен нулю н интеграл от ( по у. Мы можем применить теорему Мореры, по которой ! голоморфна в К Утверждение 1) доказано.
Для доказательства 2) опять возьмем произвольную точку аенР, построим круг ((=()г — а! <г) ~ Р и обозначим через у,=дЬ окружность ()г — а! =г), По формуле Коши для производных имеем ("(а)= — '. ! "";„(й=),2, ...). (2) лл! а (л — а) +' т, свойства Голомояеных Функции 108 (гл. и Пусть задана область 0сС и функция 7енО(0). Требуется для любого множества К~ 0 и любого а)0 построить такой полинам Р(г), чтобы И-Пк=зпр И(г)-Р( И к (5) Эта задача равносильна задаче построения ряда из полиномов ~~'., Р„(г), который сходится к 7' равномерно на каждом л 0 компактном подмножестве области 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
