Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Поэтому первообразная вдоль пути, являясь функцией параметра 1, может не бытьфункцией точки г. Теорема 3. Для любой функции )~О(Р) и любого (непрерывного) пути у~Р первообразная 1 вдоль А» существует и определяется с точностью до постоянного слагаел[ого. я Пусть путь у определяется отображением г=г(1): У- Р. Разобьем отрезок У=(»Х„Щ на и отрезков Уь = [гь 1А1 так, чтобы / два соседних пересекались по отрезку (1ь<1А,» <Ум 1[ =а, 1„= рис, 27). Пользуясь равномерной непрерывностью функции г(1), мы можем выбрать УА столь малыми, чтобы для любого й=1, ..., и образ г(УА) содержался в круге Рьс:.Р, в котором 1 имеет первообразную (по теореме 2), з 41 ИНТЕГРАЛ 77 Среди совокупности первообразных, действующих в (Уз (они отличаются друг от друга постоянным слагаемым), выберем произвольно одну, которую обозначим через Рз.
Рассмотрим какую-лнбо первообразную, действующую в (Уа; в пересечении (Уз()(Уз она може~ отличаться от Р, лишь постоянным слагаемым (ибо это — две первообразпые одной функции). Поэтому среди первообразных, действующих в (Уз, существует одна, мы обозначим ее через Р„которая совпадает с Р, в пересечении (/1() (У . Продолжая это рассуждение, мы в каждой (У» выберем первообразную Р» так, что Р»=Р», в пересечении (У»,Й(У» (2=1,..., и). Функция Ф(4) =Р»[ЕЯ), 4 ЕБУ» (й=1, ..., п,), (12) ч Пусть сначала путь у гладкий и целиком лежит в области, где функция [ имеет первообразную Р.
По определению ') В самом деле, пусть К =(44ит: ы(4) =4р(44)). Это множество непусто, ибо содержит Гз. Оно открыто, ибо 4р локально постоянна и вместе с каждой точкой 4 в в' входит некоторая окрестность и4. Г)о оно и замкнуто, нбо 4р непрерывна (так как оиа локально постоянна) и поэтому из условий 4р(4з) =%(44) и Гл-ьза следует, что 4р(4") =4р(44), По теореме 2 нз п. 4 будет первообразной функции )' вдоль пути у. В самом деле, она, очевидно, непрерывна на отрезке У и для каждой точки )аенУ найдется окрестность, в которой Ф(У) =Р[г(1)[, где Р— первообразная у, действующая в окрестности г(уз). Остается доказать вторую часть теоремы. Пусть Ф,(1) и Фя(1) — две первообразные [ вдоль пути у.
В окрестности ии каждой точки 4о ~ У мы имеем Ф4=Ри4[г(4)[ и Фз=-Р4з>[г(1)), где Р4И и Р4з1 — две первообразные функции 1, действующие в некоторой окрестности точки г(1,). Они могут отличаться лишь постоянным слагаемым, поэтому Гр(4) =Ф,(У) — Фз(У) постоянна в и, Но локально постоянная в каждой точке связного множества функция постоянна на всем множестве '). Поэтому Ф4 (1) — Фз(4) =сонэ( для всех Г ~ У ь Если известна первообразная функции [ вдоль пути у, то интеграл от 1' по у вычисляется по обычной формуле Ньютона— Лейбница; Теорем а 4. Если у: г=г(1), 1~ [а, )з), — кусочно гладкий путь и функция [ непрерьзвна на у и имеет первообразную Ф(1) вдоль у, то ~1дг = Ф([)) — Ф(а).
ч СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 78 [гл. !! интеграла (13) а по определению первообразной вдоль пути для всех (ен [а, р1 Ф(!) =р [г(1)]+сопз(. всех гену существует р'(г) =[(г), а в силу глад- всех 1е= [а, Я существует непрерывная пронзводфункция Ф для всех (е= [а, р) имеет непрерывную Так как для кости у для ная г'(1), то производную Ф'(1) = [ [г(!)) г'(!) Мы видим, что функция Ф(!) является первообразной непрерывной функции, стоящей под знаком интеграла в правой части (13). По формуле Ньютона — Лейбница для функций действительного переменного получаем (12).
В общем случае мы можем разбить у на конечное число путей у„: г=в(1), ! ен[а„а„+!) (аь=а<а!«... а„=[1), так, что каждый из них является гладким и лежит в области, где [ имеет первообразную. По только что доказанному ) [е(з=Ф(анм) — Ф(а,), тт и, складывая все зти равенства, получим (12) ь 3 а м е ч а н и е 1. Если рассматривать вместо интеграла Римана интеграл Лебега, то теорему 4 можно точно так же доказать для спрямляемых путей. Однако можно пойти и дальше.
Пусть функция [ голоморфна в области 11, тогда по теореме 3 существует ее первообразная Ф(!) вдоль произвольного непрерывного пути у ~ В. Учитывая теорему 4, мы о и р е д е л и м интеграл от [ по произвольному непрерь!вному пути ус: 1т как приращение ее первообразной вдоль зтого.пути на отрезке [а, р) изменения параметра. Очевидно, что правая часть (12) не меняется прн допустимых заменах параметра. Позтому можно рассматривать интеграл от голоморфных функций и по любым (непрерывным) кривым. 3 а меча ние 2, Теорема 4 позволяет убедиться в справедливости сделанного в начале пункта утверждения о том, что в многосвязной области не каждая голоморфная функция имеет первообразную, Рассмотрим область Ат=(0<[в[<2) и в ней го- ИНТЕГРАЛ ломорфную функцию )(г) —; эта функция не может иметь 1. в 0 первообразной. В самом деле, если бы первообразная Р функции ! в 0 существовала, то для любого пути у: г*=г(1), 1~ (а, ф, лежащего в д„первообразной вдоль этого пути слу- жила бы функция Р(г(1)) и, по теореме 4, )Г 1 аг = Р (Ь) — Р (а), где а=г(сс) и Ь=г((3) — концы у.
В частности, интеграл от ) вдоль любого замкнутого пути ус:О, для которого Ь=а, равнялся бы нулю. Но мы знаем (см. пример 1 в п. 14), что интеграл от 1 вдоль единичной окружности г е", (ен (О, 2п1, т. е. интеграл ~де — 2нй рн ! В заключение приведем несколько терминологических замечаний.
Вместо интегрирования функций часто говорят об интегрировании дифференциальных форм. Для функций двух действительных переменных х и и (линейные) дифференциальные формы имеют вид а=Р йх+Яйу, (!4) где Р и Я вЂ” функции от х и у, заданные в плоской области О. Форма (14) называется замкнутой в О, если Р и Я дифференцируемы и др дЯ (15) дк дх всюду в этой области. Эта форма называется точной, если существует дифференцируемая в О функция Ч~(х, у) такая, что всюду в Р Рйх+!е йу=йр (16) Как и в п. 6, будем вместо х и у рассматривать комплексные переменные г=х+1у и г=х — 1у; после перехода к этим переменным форма (14) примет вид в = ~, йг + )е е(г, (! 7) 1 .
1 где положено ), = — (Р— й~), ~э = — (Р + й;1).Однако в комплекс- 2 2 ном анализе обычно рассматривают частный вид дифференциальных форм, для которых коэффициент при Ж равен нулю: ы=7 аг. (18) сволстВА голомоРФных Функции 1гл. и 80 Положим 1=и+го и йг=г(х+1г(у, тогда форма (18) перепишется в виде линейной комбинации двух действительных форм о = в~ + 1ых = и г(х — о йу+ 1(о йх+ и г(у), Условия замкнутости форм <о~ и ыз в области Р состоят в том, что функции и и о дифференцируемы в Р и всюду в Р ди ди ди ди дх ду ' ду дх (ср.
условие (15) замкнутости формы ги). Но это — условие го. ломорфноати функции 1' в области Р. Учитывая сказанное, мы будем называть форму ы=1йг замкнутой в области Р, если функция 1 голоморфна в этой области. Форма а=(г(г называется точной в области Р, если существует такая голоморфная в Р функция с', что всюду в Р ы =Ыс', (19) т. е. если 1" имеет в области Р первообразную г. В и. 20 мы докажем, что производная от голоморфной функции также голоморфна.
Отсюда следует, что всякая точная форма 1йв=дГ непременно является замкнутой, Обратное утих верждение неверно, вот пример: форма ги = — замкнута в облах сти Р=(0к. ~г~ <2), но не точна в ней (см. замечание 2). Однако по теореме 3 каждая замкнутая форма 1 па л о к а л ь и о т.о ч н а (в окрестности каждой точки ги ~ Р ее можно представить как дифференциал функции ) 1Я) йь). Ы, х] В следующем пункте мы убедимся в том, что в односвязн о й области у каждой голоморфной функции сушествует первообразная.
Поэтому в такой области каждая замкнутая форма точна. Понятие дифференциальной формы особенно удобно для функций нескольких комплексных переменных (см. часть П). 16. Гомотопия. Теорема Коши. Эта основная в интегральном исчислении теорема состоит в том, что интеграл от голоморфной в некоторой области функции по любому замкнутому пути, который непрерывной деформацией внутри области стягивается в точку, равен нулю. Она, таким образом, обобшает основную лемму интегрального исчисления, доказанную в предыдущем пункте.
Мы получим теорему Коши как следствие более общей теоремы об инвариантности интеграла от голоморфных функций относительно непрерывных деформаций пути интегрирования (теорема 1). Перейдем к точным формулировкам и доказательствам. 81 интггехл » 41 Для простоты предположим, что для всех рассматриваемых путей параметр 1 меняется на одном и том же отрезке У=(0, 1). Это предположение не ограничивает общности, ибо ему всегда можно удовлетворить при помощи допустимой замены параметра, которая заменит путь ему эквивалентным и сохранит значение интеграла вдоль пути. Определение 1. Два пути г,(1): У- Р и г,(1): У- Р с о б щ и и и кон ц а м и г„(0) =а,(0) =а и а,(1) =г,(1) =Ь называются гомотопными в области О, если существует непрерывное Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
