Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 10
Текст из файла (страница 10)
с формулой (17) из п. !). Переменные х и у можно принять за ноордннаты на сфере с выколотым северным полюсом 8" )У; тогда (5) будет служить первой квадратичной формой на этой поверхности. При этом в стандартных обозначениях (в которых до'= Е дхз+ 2г" дх ду+ 0 дуз) мы будем иметь (7) откуда и следует конформность стереографяческой проекции'). ') Под конформностью здесь понимается свойство сохранения углов з) В самом деле, угол и между гладкими путямн уь уз~С определяется по формуле 1 сон а Д (Дх1Дхз+Ду~ Ддз), [Дх~ ([Дхз а угол между их образами иа Я вЂ” по известной из геометрии формуле соз а'= 1 (ЕДх, Дх, + Е(Дх~ Ду,+Ду1 Дх,)+ 6Ду, Дуй! Да, Дпа из формул (7) и (б) видно, что в нашем случае сола"=совет, г.
е. а*=са. элементдрхые Функции й з) Учитывая доказанное, определи м угол между путями уь узщС в точке г= со как угол между сферическими образами ур тз этих путей в север- 1 ном полюсе ЬГ (предполагается, что у~ и уа имеют в точке Ы касательные). Этому определению можно придать более удобную форму. Для этого заметим, что преобразованию (3) соответствует вращение сферы. (В самом деле, как видно из формулы (17) п. 1, при этом преобразованин сохраняются сферические расстояния: р(3ь хз) = р (зь гз), а точки 5, соответствующие а= ж1, — они диаметрально противоположиы— остаются неподвижными.) Поэтому угол в точке У между путями у~ и уь равен углу в точке 0 между путямн Г~ н Гз, н которые переходят у~ и уз при этом вращении. Но в силу конформности стереографнческой пооекпии этот угол равен углу в точке 2=0 между пу.ями Г~ н Гз, в которые переходят у| и уз при отображении (3).
Таким образом, мы приходим к принятому выше определению. Т е о р е м а 2. Дробно-линейное отображение (1) конфоржно ') во всех то гках С. ч Для неисключительных точек теорема уже доказана. Пусть у, и у.— два пути, проходящие через точку г= — — и с пересекающиеся в этой точке под углом а (предполагается, что пути имеют касательные в этой точке). Угол между их образами у*, и у, "при отображении (1) в точке в=со, соответствующей г = — —, по определению равен углу между обра1 замп Г," и Г; путей у', и у, при отображении )Р'= — в точке )Р'= О. Но сз+ г) ае+Ь и, следовательно, Г; я Г,' можно рассматривать как образы у, и уз при этом отображении.
Так как производная а')Г Ьс — аа (аз+ Ь) а' в точке г= — — существует и отлична от нуля, то угол между с Г; и Г", в точке ЦУ=О равен а. Для точки г = — — теорема доказана. Чтобы доказать ее для точки г оо, достаточно применить то же рассуждение к функции (2), обратной к (1) > ') Под конформностью в бесконечной ~очке понимается свойство сохраненая углов. 1гл. 1 Голомононые Функццн 4в Мы хотим теперь доказать, что совокупность дробно-линей- ных отображений — мы обозначим эту совокупность через Л— можно рассматривать как группу.
Пусть даны два дробно-ли- нейных отображения: а12+ Ьг Е,: г- „, агй1 — Ьгс1МО, с12+ег агз+ Ь, Е 21 г -~ „ , азйг - ЬгсЗФО! сгз+Дг их произведениелг мы назовем композицию отображений Е1 и Ем т. е. отображение г — ~ Е1 г Е2(г) . Отображение Е, очевидно, дробно-линейно, аз+ Ь Е: и=— сз+ Е (ибо подстановка в выражение Ег вместо г дробно-линейной функции снова приводит к дробно-линейной функции), и притом ай — ЬсчьО') (ибо Е преобразует С на С, а не вырождается в постоянную).
Проверим выполнение групповых аксиом. а) А с с о ц и а т и в н о с т ь: для любых трех отображений Е1, (2, Ез~Л имеем Е1 г (Е2 гЕз) = (Е1 г Е2) гЕз (8) В самом деле, обе части (8) представляют собой дробно-линейное отображение Ег(Е, [Ез(г))). ~ б) Существование единицы. Единицей, очевидно, служит тождественное отображение Е: г -+г. (9) в) Существование обратного элемента: для любого ЕеЛ существует отображение Е-1енЛ такое, что Е 1сЕ=Е гЕ 1=Е, (! 0) В самом деле, обратным элементом для отображения (1) служит обратное к нему отображение (2).
Доказана Теорема 3. Совокупность Л всех дробно-линейных отображений образует группу, если в качестве групповой операции рассматривать композицию отображений. ') В этом можно убедиться и нннлитнческн, если заметить, что аи — Ь = (а<в — Ьгс ) (а а — Ьгс 1 47 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ % з1 3 а м е ч а н и е, Группа Л не коммутативна: пусть, например, 1 ! Е,: г- г+1, Ез: г- —; тогда Е., ° 1.з: г- — +1, а 1 сЕ!; г- 1 а+1 9. Геометрические свойства.
Приведем два элементарно- геометрических свойства дробно-линейных отображений. Для формулировки первого из ннх условимся называть окружностью на С любую окружность или прямую на комплексной плоскости (прн стереографической проекции и тем и другим соответствуют окружности на сфере Римана); окружности в собственном смысле будем называть окружностями на С. Имеет место Т е о р е м а 1. Произвольное дробно-линейное отображение преобразует любую окружность на С тоже е окружность на С (к р у г о в о е с в о й с т в о дробно-линейных отображений).
ч Для случая линейных отображений (с=О)' утверждение очевидно, нбо такие отображения сводятся к растяжению с поворотом и сдвигу. Если сФО, то отображение можно переписать в виде а аа-Ьс н г — ~ —— =А+— (1) с с(са-са) ав-С и, следовательно, представить как композицию трех отобра>кений: г — А+Вг, Вз: г — —, 1,з: г- г+С 1 (Е = Е, ч Ез ° !.з). Отображения 1., (растяжение с поворотом и сдвиг) и Ез (сдвиг), очевидно, сохраняют окружности на С. Остается доказать это свойство для отображения >— 1 (2) Для доказательства заметим, что любую окружность на С можно записать уравнением Е(х'+у') + р~х+ рзу+ 6 =0, где, быть может, Е=О, н обратно, любое такое уравнение изображает окружность на С, быть может, вырождающуюся в точку или пустое множество').
Переходя к комплексным ') Мы исключаем случай Е=-с~=Ее=6=0. 1гл. ! ГоломоРФные Функции 1 переменным г=х+ур и г =х — 1у, т. е, полагая в (3) х = — (а+ а), 2 1 р= —.(г — г), мы переписываем это уравнение в виде 21 Еаз+ Ез+ Ей+ 6 = О, (4) 1 — 1 где положено Е= — (Е! — 1Е,), Е= — (Р, + Ю,). Чтобы получить уравнение образа окружности (4) при ото- 1 бражении (2), достаточно положить в (4) г= —; мы получим Е+ Ею+ Рш+ бшв = О, (б) т. е. уравнение того же вида, что и (4).
Случаи вырождения в точку или пустое множество исключены свойством взаимной однозначности дробно-линейных отображений; следовательно, рассматриваемый образ является окружностью на С и х/ ° Мы видели выше, что произвольная голоморфная функция 1, )'(го) ФО, с точностью до малых высшего порядка, преобразует бесконечно малые окружности с центром в точке аа в окружности с Г центром ~(г~). Теорема ! утверждает, что дробно-линейные функции точно преРяс.
12. образуют любые окружности на С в окружности. Легко, однако, видеть на самых простых примерах, что центр окружности, вообще говоря, не переходит в центр. Для формулировки второго геометрического свойства дробно-линейных отображений введем О п р е д е л е н и е. Точки а и а' будем называть симметричными относительно окружности Г на С, если они лежат на одном луче с вершиной в центре Г так, что произведение их расстояний до центра равно квадрату радиуса Г. Имеем агн(а" — го) = агд(г — го) и !аа — го! !а — ао ~ =)сз (ао — центр, 1с' — радиус Г), и, следовательно, симметричные относительно Г точки связаны соотношением (б) Из рис.
!2 ясен способ построения симметричных точек: если г лежит внутри Г, то достаточно из г провести перпендикуляр к лучу г,г до пересечения с Г в точке ь, а из Ь вЂ” касательную к Г до пересечения с лучом в точке г*; если г лежит ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ вне Г, построение производится в обратном порядке (доказательство следует из подобия прямоугольных треугольников гагь" г 1га).
Легко устанавливается также следующее свойство, характеризую1цее симметричные точки: (.) Для того чтобы гочки г и г" были симметричными относительно окружности Г, необходимо и достаточно, чтобы любая окружность у на С, через них проходящая, была ортогональной Г. В самом деле, если г и га симметричны относительно Г, а у — любая окружность, через них проходящая, то квадрат длины касательной к у из точки г, по известной элементарно-геомет- й рической теореме равен произведению секущей (гь — г" ~ на ее внеш- г нюю часть 1гь — г~ (рис.
13), т. е. равен ДА1 таким образом, касатель- г, ная к у из гь является радиусом Г, и эти окружности ортогональны (если у — прямая, то она проходит через г, и, следовательно, ортогональ- /' на к Г). Обратно, если любая Рас. 13. окружность у на С, проходящая через г и г", ортогональна к Г (и, в частности, прямая гг'), то, во-первых, точки г и га лежат на одном луче с вершиной гь и, во-вторых, произведение их расстояний до гь (по той же элементарно-геометрической теореме) равно )4', следовательно, г и г* симметричны относительно Г. Свойство (») позволяет переформулировать определение симметричных точек так, чтобы его можно было применять к окружностям на С: точки г и г" называются симметричнымн относительно окружности Г на С, если любая окружность у, через них проходящая, ортогональна к Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
