Главная » Просмотр файлов » Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ

Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 12

Файл №1129975 Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ) 12 страницаБ.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975) страница 122019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

отлична от нуля при а=О. Согласно тому же определению конформность отображения ш=)(з) в точке г=ао сводится 111 к конформности ш=!! — ) в точке г=О; но в случае функции (1) Жуковского )(г)— : )( — 1, и по только что доказанному ото- бражение (5) конформно в точке г=оо. Ниже мы увидим, что в остальных исключительных точках г=+.! отображение (5) не конформно. Выясним условия однолистности нашей функции в какой- .либо области х).

Пусть г, и гз она переводит в одну точку, тогда г, + — — (гз+ — ) =(г, — г )11- — = О, а! аз а!аз з ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Ет 5 5] Примером области, удовлетворяюшей условию однолистности, является внешность единичного круга Р=(евно: [е[>1). Чтобы наглядно представить отображение (8), положим е=ге1Ф, н1=и+1о и запишем (8) в виде 11 11 1/ 11 и = — [г+ — ) соз 1р, и = — [г — — ) 81п ср.

) Из этих соотношений видно, что окружности (~е ~ = гс), гс) 1, функция Жуковского преобразует в эллипсы с полуосями 1~ е(~+а)Г Рис. 18 а„, = — [гс+ — ) и Ь„= — [гс — — 1, с фокусами в точках .+! (ибо а,,— Ь„=1 для любого г ). Эти эллипсы изображены на рис. 18 сплошными линиями; при гс — Р 1 имеем Ь„-у О и эллипсы стягиваются к отрезку [ — 1, 1] ~)т; при больших г, 1 разность а„— Ь„= — мала и они мало отличаются от окруж- го ностей. Лучи (1р=гр,, 1<г< со) преобразуются в части гипер- иг ,г бол —,— —., =1 с теми же фокусами -1-! (пунктирные с05 ггг 5!п ггг линии на рис. 18); в силу конформности семейство этих гипербол ортогонально описанному выше семейству эллипсов. Из сказанного видно, что функция Жуковского осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение внешности единичного круга (включая бесконечную точку) на внешность отрезка [ — 1, !) действительной оси.

голочоРФныв Функции !Гл. ! бз В точках а= ч-1 отображение (5) не конформно. В этом лучше всего убедиться, представив функцию Жуковского в виде ш — ! ~а — >)в (8) (тождественность этой формулы формуле (5) проверяется про- стой выкладкой). Отображение (5), следовательно, представляет собой композицию отображений (9) Рпс.

)9 а' = !цп (! + — ) . ') Случай а=п — унсе разобран выше другим способом. я а ш — ! (последиее отображение обратно к отображению — = ш~. Первое н третье из отображений (9) дробно-линейны и по доказанному в п. 8 конформны всюду в 1; отображение а=~в удваивает углы в точках Ь=О 1сс и ~= з, которым соответствусс ) ют точки г=-г1.

Поэтому отображение Жуковского удваи) и>) )х) вает углы в этих точках. Используя разложение (9), читатель убедится в том, что функция Жуковского осуществляет однолистное коиформное отображение внешности окружности у, изображенной на рис. 19 (она проходит через точки Р1 и составляет в них угол и с действительной осью), на внешность дуги окружности (с концами в точках ч-1, составляющей в точке и)=! угол 2сс с действительной осью) '). Можно убедиться также в том, что окружности, касающиеся у извне в одной нз точек ~-1, при этом отображении переходят в замкнутые кривые с характерным острием, напоминающие профиль крыла самолета (см. рис.

!9). Это замечание позволило Н. Е, Жу ко в с ко м у создать первый метод аэродинамического расчета крыльев. 12. Показательная функция. Мы определим функцию е' тем же предельным соотношением, которым она определяется в действительном анализе: ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Докажем существование этого предела для любого г ее С; для этого положим г=х+!у и заметим, что по правилам возведения в степень и ~("-.')'~=('+ — '." ".'"')' 1ч и агу(1+ — ) =и агс!д '). Л Х 1 -1-— Отсюда видно, что существуют 1!гп (! + — ) ~=е", 1цп агу(1+ — ) =у, а значит, существует и предел (1), который записывается в тригонометрической форме так; ЕкУЫУ=Ек(СОЗ у+! З!и у). (2! Таким образом, !Ет! — ЕРе е атд Ее — 1щ г Полагая в(2) х=О, мы получим формулу Зйлера е'У=сов у+г з!и у, которой неоднократно пользовались.

Однако до сих пор сим- вол е*к мы употребляли для сокращенного обозначения правой части, а теперь можем понимать его как мнимую степень числа е. Перечислим основные свойства показательной функции. 1'. Функ1(ия е' еоломорфна во всей плоскости С. В самом деле, полагая е'=и+!и, находим из (2), что и=е. соз у, п=е" з!п у; функции и и и дифференцируемы в смысле Г всюду в С, и всюду в С выполняются условия комплексной дифферен- цируемости ди до — = — =е созу, дк ду Таким образом, функция (2) определяет продолжение действительной показательной функции ек с оси Р' на всю а ') Для достаточно большого и точка 1+ — лежит в правой полуплои скости, и мы берем значения ага(1 Ь вЂ” ! и арктангенса из интервала и/ ( 2' 2)' 1гл. ь ГоломоРФиые Функции ео плоскость С, причем продолженная функция оказывается голоморфной.

Ниже (в п. 2!) мы покажем, что такое продолжение определяется единственным образом, 2'. Для функции е' сохраняется обьсчная формула дифференцирования. В самом деле, производную, когда она сушествует, можно вычислять в направлении оси х. Поэтому (е')'= — (е сов у+ 1е" в(ну) =е*. Показательная функция ие обращается в нуль, ибо 1е'( = =е'>О; поэтому (е*)'~О и отображение в=в' конформно в каждой точке С.

3'. Для функции е' сохраняется обычная теорема сложения е» ~- р вм,в2 (6) В самом деле, полагая гь=хь+(уь (й=!, 2) и пользуясь формулами сложения действительных показательной и тригонометрических функций, получаем в (сову,+1в!ну) в" (сову,+(в(пу) = = в"~'"~(сов(у, +уз)+1в!п(у, +уз)). Таким образом, сложению комплексных чисел е, и г, соответствует умножение их образов е' и е'ь Иными словами, показательная функция е* преобразует аддитивную группу поля комплексных чисел в мультипликативную группу этого поля: при отображении а — е* г, + гв -+ е' в'ь (7) 4', Функция е' периодическая, с мнимым основным периодом 2пй В самом деле, так как по формуле Эйлера е'"'= =сов 2п+1в1п2п=1, то по теореме сложения для любого евина имеем е'+"'=е' е"'=е*.

С другой стороны, пусть ест=в-; умножая обе части на е-*, получаем ет=1, откуда, полагая Т=Т,+1Ть имеем вг (сов Т,+ +1в1п Т ) =1. Но тогда е" = 1, т. е. Т,=О, и сов Т,=1, в1п Т,=О, т. е. Т,=2пп, где и — целое число. Таким образом, Т=2пп( и 2п1 действительно является основным периодом. Из этого рассуждения видно также, что 'для однолистности отображения ш=е* в какой-либо области Е> необходимо и достаточно, чтобы эта область не содержала ни одной пары точек, связанных соотношением гв — гв — — 2пт' (п= г1, ~-2, ...). (8) элементАРные Функции Рис. 20. преобразуется, следовательно, в плоскость и с выброшенной попожительной полуосью.

Вдвое более узкая полоса (0<0<я) преобразуется при этом в верхнюю полуплоскость 1ш и!>О. 13. Тригонометрические функции. Из формулы Эйлера для всех действительных х мы имеем е'"=сов х+! Е1п х, е-!"= = соз х — ! з!и х, откуда е!еч-е !е сов х = 2 Е~» Е-се з!пх = 2! Эти формулы можно использовать для голоморфного продол- исения косинуса и синуса в комплексную плоскость, положив по определению для любого ееиС е8г ! е-!» созе=— 2 ге -!и ейп2= 2! (голоморфность в С правых частей очевидна). Все свойства этих функций вытекают из этого определения соответствующих свойств показательной функции. Так, обе пни периодические с основным периодом 2п (показательная функция имеет период 2пе, но в формулах (1) есть множитель !ри е, равный !), косинус — четная, а синус — нечетная функция.

Примером области, удовлетворяющей этому условию, является полоса (0<1шг<2п). Полагая г=х+ср и и!=Реса, мы согласно (3) запишем отображение и!=е' в виде р=е* (9) Отсюда видно, что это отображение преобразует прямые (у=ус) в лучи (ф =ус), а отрезки (х=х„, 0<у<2п) — в окружности с выколотой точкой (р=е", 0<ф<2п) (рис. 20). Полоса (0<у<2п) 1гЛ.

1 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ Для этих функций сохраняются Обычные формулы дифференцирования 1л (соз з) = 1 = — 51п з, 2 аналогично (51пг)'=созе. Сохраняются также тригонометрические соотношения, такие, как 51п а+сов~ 3 = 1, соз 3 = 5!и (з + — ) р теоремы сложения и т. дл читатель без труда выведет их из формул (1). Рис. 21. Тригонометрические функции комплексного переменного тесно связаны с гиперболическими, которые для любого геиС определяются обычными формулами с)1г = (2) Эта связь выражается соотношениями с!1 г = соз 1г, 55г = — 15!и 1г, (3) сов г = СЬ1з, 5!па = — 15Ыг, которые видны из сравнения формул (1) и (2).

Пользуясь теоремой сложения и формулами (3), находим сов(х+ 1у) = сов х СЬ 2+1 ып х 511 у, откуда )созз!= 'г' с05 х+5Ь у (4) (мы воспользовались тождествами 5!п'х=1 — созсх и СЬ'у— — 5ЬУд=!). Эта формула позволяет построить поверхность модуля (рельеф) косинуса; она изображена на рис, 21. влементАРные Функции 63 Для примера рассмотрим еще отображение полуполосы Р= ) — — <к<-, у> 0~, которое осуществляется функцией 2 ы=з)па. Мы представим это отображение как композицию уже известных нам отображений ! ! 1 2!' 5) е, =!'е, и тогда увидим, что ш=з1п г однолистно (и конформно) отображает полуполосу Р на верхнюю полуплоскость.

На рис. 22 изображено соответствие линий при этом отображении: лучам ф е / ! г Гш ~!Пг) Рпс. 22. (х=х,, 0<у< пп) соответствуют лежащие в верхней полуплоскости части гипербол с фокусами ~-1, а отрезкам 1 — — <х< 2 < —, у=ус~ — такие же части эллипсов с теми же фокусами. 2 ' Из этого рисунка видно, что на вертикальных границах полу- полосы синус принимает действительные значения, п о м одулю большие 1, Тангенс и котангеис для комплексных значений аргумента определяются формулами 5!и г с05 г с1ие = яп г (6) и рационально выража!отся через показательную функцию: е!е е-!е 16'я = — ! е!» -!- е 'е ем+ е-! с12 г =! (6) ,Эти функции голоморфны всюду в С, за исключением тех точек, где знаменатели дробей в формулах (6) обращаются в нуль (в этих точках числнтели отличны от нуля).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
7,13 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее