Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 12
Текст из файла (страница 12)
отлична от нуля при а=О. Согласно тому же определению конформность отображения ш=)(з) в точке г=ао сводится 111 к конформности ш=!! — ) в точке г=О; но в случае функции (1) Жуковского )(г)— : )( — 1, и по только что доказанному ото- бражение (5) конформно в точке г=оо. Ниже мы увидим, что в остальных исключительных точках г=+.! отображение (5) не конформно. Выясним условия однолистности нашей функции в какой- .либо области х).
Пусть г, и гз она переводит в одну точку, тогда г, + — — (гз+ — ) =(г, — г )11- — = О, а! аз а!аз з ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Ет 5 5] Примером области, удовлетворяюшей условию однолистности, является внешность единичного круга Р=(евно: [е[>1). Чтобы наглядно представить отображение (8), положим е=ге1Ф, н1=и+1о и запишем (8) в виде 11 11 1/ 11 и = — [г+ — ) соз 1р, и = — [г — — ) 81п ср.
) Из этих соотношений видно, что окружности (~е ~ = гс), гс) 1, функция Жуковского преобразует в эллипсы с полуосями 1~ е(~+а)Г Рис. 18 а„, = — [гс+ — ) и Ь„= — [гс — — 1, с фокусами в точках .+! (ибо а,,— Ь„=1 для любого г ). Эти эллипсы изображены на рис. 18 сплошными линиями; при гс — Р 1 имеем Ь„-у О и эллипсы стягиваются к отрезку [ — 1, 1] ~)т; при больших г, 1 разность а„— Ь„= — мала и они мало отличаются от окруж- го ностей. Лучи (1р=гр,, 1<г< со) преобразуются в части гипер- иг ,г бол —,— —., =1 с теми же фокусами -1-! (пунктирные с05 ггг 5!п ггг линии на рис. 18); в силу конформности семейство этих гипербол ортогонально описанному выше семейству эллипсов. Из сказанного видно, что функция Жуковского осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение внешности единичного круга (включая бесконечную точку) на внешность отрезка [ — 1, !) действительной оси.
голочоРФныв Функции !Гл. ! бз В точках а= ч-1 отображение (5) не конформно. В этом лучше всего убедиться, представив функцию Жуковского в виде ш — ! ~а — >)в (8) (тождественность этой формулы формуле (5) проверяется про- стой выкладкой). Отображение (5), следовательно, представляет собой композицию отображений (9) Рпс.
)9 а' = !цп (! + — ) . ') Случай а=п — унсе разобран выше другим способом. я а ш — ! (последиее отображение обратно к отображению — = ш~. Первое н третье из отображений (9) дробно-линейны и по доказанному в п. 8 конформны всюду в 1; отображение а=~в удваивает углы в точках Ь=О 1сс и ~= з, которым соответствусс ) ют точки г=-г1.
Поэтому отображение Жуковского удваи) и>) )х) вает углы в этих точках. Используя разложение (9), читатель убедится в том, что функция Жуковского осуществляет однолистное коиформное отображение внешности окружности у, изображенной на рис. 19 (она проходит через точки Р1 и составляет в них угол и с действительной осью), на внешность дуги окружности (с концами в точках ч-1, составляющей в точке и)=! угол 2сс с действительной осью) '). Можно убедиться также в том, что окружности, касающиеся у извне в одной нз точек ~-1, при этом отображении переходят в замкнутые кривые с характерным острием, напоминающие профиль крыла самолета (см. рис.
!9). Это замечание позволило Н. Е, Жу ко в с ко м у создать первый метод аэродинамического расчета крыльев. 12. Показательная функция. Мы определим функцию е' тем же предельным соотношением, которым она определяется в действительном анализе: ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Докажем существование этого предела для любого г ее С; для этого положим г=х+!у и заметим, что по правилам возведения в степень и ~("-.')'~=('+ — '." ".'"')' 1ч и агу(1+ — ) =и агс!д '). Л Х 1 -1-— Отсюда видно, что существуют 1!гп (! + — ) ~=е", 1цп агу(1+ — ) =у, а значит, существует и предел (1), который записывается в тригонометрической форме так; ЕкУЫУ=Ек(СОЗ у+! З!и у). (2! Таким образом, !Ет! — ЕРе е атд Ее — 1щ г Полагая в(2) х=О, мы получим формулу Зйлера е'У=сов у+г з!и у, которой неоднократно пользовались.
Однако до сих пор сим- вол е*к мы употребляли для сокращенного обозначения правой части, а теперь можем понимать его как мнимую степень числа е. Перечислим основные свойства показательной функции. 1'. Функ1(ия е' еоломорфна во всей плоскости С. В самом деле, полагая е'=и+!и, находим из (2), что и=е. соз у, п=е" з!п у; функции и и и дифференцируемы в смысле Г всюду в С, и всюду в С выполняются условия комплексной дифферен- цируемости ди до — = — =е созу, дк ду Таким образом, функция (2) определяет продолжение действительной показательной функции ек с оси Р' на всю а ') Для достаточно большого и точка 1+ — лежит в правой полуплои скости, и мы берем значения ага(1 Ь вЂ” ! и арктангенса из интервала и/ ( 2' 2)' 1гл. ь ГоломоРФиые Функции ео плоскость С, причем продолженная функция оказывается голоморфной.
Ниже (в п. 2!) мы покажем, что такое продолжение определяется единственным образом, 2'. Для функции е' сохраняется обьсчная формула дифференцирования. В самом деле, производную, когда она сушествует, можно вычислять в направлении оси х. Поэтому (е')'= — (е сов у+ 1е" в(ну) =е*. Показательная функция ие обращается в нуль, ибо 1е'( = =е'>О; поэтому (е*)'~О и отображение в=в' конформно в каждой точке С.
3'. Для функции е' сохраняется обычная теорема сложения е» ~- р вм,в2 (6) В самом деле, полагая гь=хь+(уь (й=!, 2) и пользуясь формулами сложения действительных показательной и тригонометрических функций, получаем в (сову,+1в!ну) в" (сову,+(в(пу) = = в"~'"~(сов(у, +уз)+1в!п(у, +уз)). Таким образом, сложению комплексных чисел е, и г, соответствует умножение их образов е' и е'ь Иными словами, показательная функция е* преобразует аддитивную группу поля комплексных чисел в мультипликативную группу этого поля: при отображении а — е* г, + гв -+ е' в'ь (7) 4', Функция е' периодическая, с мнимым основным периодом 2пй В самом деле, так как по формуле Эйлера е'"'= =сов 2п+1в1п2п=1, то по теореме сложения для любого евина имеем е'+"'=е' е"'=е*.
С другой стороны, пусть ест=в-; умножая обе части на е-*, получаем ет=1, откуда, полагая Т=Т,+1Ть имеем вг (сов Т,+ +1в1п Т ) =1. Но тогда е" = 1, т. е. Т,=О, и сов Т,=1, в1п Т,=О, т. е. Т,=2пп, где и — целое число. Таким образом, Т=2пп( и 2п1 действительно является основным периодом. Из этого рассуждения видно также, что 'для однолистности отображения ш=е* в какой-либо области Е> необходимо и достаточно, чтобы эта область не содержала ни одной пары точек, связанных соотношением гв — гв — — 2пт' (п= г1, ~-2, ...). (8) элементАРные Функции Рис. 20. преобразуется, следовательно, в плоскость и с выброшенной попожительной полуосью.
Вдвое более узкая полоса (0<0<я) преобразуется при этом в верхнюю полуплоскость 1ш и!>О. 13. Тригонометрические функции. Из формулы Эйлера для всех действительных х мы имеем е'"=сов х+! Е1п х, е-!"= = соз х — ! з!и х, откуда е!еч-е !е сов х = 2 Е~» Е-се з!пх = 2! Эти формулы можно использовать для голоморфного продол- исения косинуса и синуса в комплексную плоскость, положив по определению для любого ееиС е8г ! е-!» созе=— 2 ге -!и ейп2= 2! (голоморфность в С правых частей очевидна). Все свойства этих функций вытекают из этого определения соответствующих свойств показательной функции. Так, обе пни периодические с основным периодом 2п (показательная функция имеет период 2пе, но в формулах (1) есть множитель !ри е, равный !), косинус — четная, а синус — нечетная функция.
Примером области, удовлетворяющей этому условию, является полоса (0<1шг<2п). Полагая г=х+ср и и!=Реса, мы согласно (3) запишем отображение и!=е' в виде р=е* (9) Отсюда видно, что это отображение преобразует прямые (у=ус) в лучи (ф =ус), а отрезки (х=х„, 0<у<2п) — в окружности с выколотой точкой (р=е", 0<ф<2п) (рис. 20). Полоса (0<у<2п) 1гЛ.
1 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ Для этих функций сохраняются Обычные формулы дифференцирования 1л (соз з) = 1 = — 51п з, 2 аналогично (51пг)'=созе. Сохраняются также тригонометрические соотношения, такие, как 51п а+сов~ 3 = 1, соз 3 = 5!и (з + — ) р теоремы сложения и т. дл читатель без труда выведет их из формул (1). Рис. 21. Тригонометрические функции комплексного переменного тесно связаны с гиперболическими, которые для любого геиС определяются обычными формулами с)1г = (2) Эта связь выражается соотношениями с!1 г = соз 1г, 55г = — 15!и 1г, (3) сов г = СЬ1з, 5!па = — 15Ыг, которые видны из сравнения формул (1) и (2).
Пользуясь теоремой сложения и формулами (3), находим сов(х+ 1у) = сов х СЬ 2+1 ып х 511 у, откуда )созз!= 'г' с05 х+5Ь у (4) (мы воспользовались тождествами 5!п'х=1 — созсх и СЬ'у— — 5ЬУд=!). Эта формула позволяет построить поверхность модуля (рельеф) косинуса; она изображена на рис, 21. влементАРные Функции 63 Для примера рассмотрим еще отображение полуполосы Р= ) — — <к<-, у> 0~, которое осуществляется функцией 2 ы=з)па. Мы представим это отображение как композицию уже известных нам отображений ! ! 1 2!' 5) е, =!'е, и тогда увидим, что ш=з1п г однолистно (и конформно) отображает полуполосу Р на верхнюю полуплоскость.
На рис. 22 изображено соответствие линий при этом отображении: лучам ф е / ! г Гш ~!Пг) Рпс. 22. (х=х,, 0<у< пп) соответствуют лежащие в верхней полуплоскости части гипербол с фокусами ~-1, а отрезкам 1 — — <х< 2 < —, у=ус~ — такие же части эллипсов с теми же фокусами. 2 ' Из этого рисунка видно, что на вертикальных границах полу- полосы синус принимает действительные значения, п о м одулю большие 1, Тангенс и котангеис для комплексных значений аргумента определяются формулами 5!и г с05 г с1ие = яп г (6) и рационально выража!отся через показательную функцию: е!е е-!е 16'я = — ! е!» -!- е 'е ем+ е-! с12 г =! (6) ,Эти функции голоморфны всюду в С, за исключением тех точек, где знаменатели дробей в формулах (6) обращаются в нуль (в этих точках числнтели отличны от нуля).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
