Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Очевидно, что в случае, когда Г представляет собой прямую, это определение совпадает с обычным. Отображение г- г*, переводящее каждую точку г~С в точку г', симметричную с г относительно Г, называется симметрией относительно этой окружности или инверсией. Инверсия относительно окружности на С, как видно из (6), осуществляется функцией, сопряженной к дробно-линейной функции. На основании теоремы 2 предыдущего пункта отсюда следует, что инверсия является антиконформным отображением всюду в С. 4 В. В. Шабат |гл. г ГоломоРФные Функции 50 (Для случая инверсии относительно прямой это утверждение очевидно: сдвигом и поворотом переведем эту прямую в действи- ..
тельну)о ос|и а тогда инверсия сведется к отображению г- 2.) Теперь желаемое свойство дробно-линейных отображений получается совсем просто: Т е о р е м а 2. Произвольное дробно-линейное отображение Л преобразует любые точки г и г*, симметричнь|е относительно какой-либо окружности Г на С, в точки и) и и)*, симметричные относительно образа Е(Г) этой окружности (с в о й с т в о с охраненияя с им метр ичн ых точек). м Рассмотрим семейство (у) всех окружностей на 1, проходящих через точки г и г"; эти окружности ортогональны к Г. По теореме 1 окружности у преобразуются такгке в окружности Е(у) на С, причем в силу конформности Е все окружности Е(у) ортогональны к 1' (Г).
Отсюда следует, что точки щ и и*, через которые проходят все Е(у), симметричны относительно Е(Г) ') и 1О. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы. В формулу дробно-линейного отображения аа+ Ь 22 + )) входят четыре комплексных коэффициента а, (г, с и й. Однако на самом деле отображение зависит от трех комплексных параметров, ибо числитель и знаменатель дроби можно поделить на один из не равных нулю коэффициентов. Поэтому естественно ожидать, что при помощи дробно-линейного отображения можно единственным образом преобразовать три заданные точки в три заданные.
Имеет место Теорем а 1. Каковы бы ни оыли три различные точки г|, гз гза= С и три различные точки )е„вз, )езе= С, существует, и притом только одно, дробно-линейное отображение 1., 1 (гя) = и)ь й=1, 2, 3. ч Существование отображения Е доказывается легко: строим дробно-линейные отображения Е) и 1.2 преобразующие гь г, гз и щь юз, игз соответственно в точки О, оо, 1 плоскости Ь: — и| ~1 ~т . (2) )Ез )ЬЗ |Е| 2 — 2е ез — 21 отображение (3) У. = У 2 Е!, '1 Заметим, что всякая окружность, проходящая через )е н )ь*, ортогональнзя й(Г), является образом некоторой окружности из семейства (т). злементАРные Функции которое определяется как функция ш=цз(г) из соотношения ЗР з Ззз Мз (4) Ззз азз ю з 2з — 22 Зз 2з 2 — 2, 2 — 22 и есть искомое, В самом деле, оно, очевидно, дробно-линейное и преобразует точки ЕА в шз (Й= 1, 2, 3). Докажем единственность этого отображения.
Пусть Л, Л(2,) =из (й=!, 2, 3), будет какое-либо дробно-линейное ото- бражЕНИЕ. РаССМОтрИМ ОтОбражЕНИЕ р= Езз Л ° Е,', ГдЕ Е, Н Е. определяются по формулам (2); очевидно, !з будет дробно-линейным отображением, оставляющим точки О, о и 1 неподвижными. Из условия !2(ао) =ззз следует, что !з — целая линейная функция: !з(() =аЬ+р; но из условия р(0) =0 получаем, что р=О, а из !з(1) =1 — что с!= !. Таким образом, !з(Ь)==~, т. е.
Ез з Л з Ез = Е, откуда по групповым законам получаем, что Л = Ез з Ез илн, согласно (3), Л == Е -! 3 а МЕЧ а Н ИЕ. КажДаЯ тОЧКа гз И Цзз ВХОДИТ В СООтИОШЕ- иие (4) дважды, один раз в числителе, другой — в знаменателе. Читатель может убедиться в том, что это соотношение сохраняет силу, когда одна из точек ЕА или шА (или одна гз и одна шз) является бесконечной: нужно только числитель и знаменатель дроби, где появляется эта точка, заменить единицей. Например, в случае гз=цзз= Фо формула принимает вид 2з 2з ЗЗ ЗЗз 2 — 2з 1 ю — азз ! Таким образом, теорема 1 сохраняет силу для точек замкнутой плоскости. На основании доказанной теоремы и кругового свойства (и. 9) можно утверждать, что любую окружность Г на С можно преобразовать дробно-линейным отображением в любую другую окружность Г* (достаточно перевести три точки Г в три точки Г* и воспользоваться круговым свойством).
Из топологическнх соображений ясно, что круг В, ограниченный Г, переходит при атом в один нз двух кругов, ограниченных Г' (чтобы узнать в какой, достаточно выяснить, куда переходит какая- либо точка гзееВ). Отсюда легко вывести, что любой круг Вс: С можно дробно-линейным преобразованием отобразить на любой другой круг ВФс:С. Дробно-линейное отображение области Р на 02 мы будем называть дробно-линейным изоморфизмом, а области 0 и Рз, для которых такой изоморфизм существует, — дробно-линейно изоморфными.
Только что высказанное утверждение можно сформулировать так. 42 голомоРФные Функции !гл г Т е о р е м а 2. Любые деа круга на замкнутой плоскости дробно-линейно изоморфны. Найдем для примера все такие изоморфизмы верхней полу- плоскости (1гп г)0) на единичный круг (/гс!(Ц. Использование теоремы 1 привело бы к некрасивой формуле, поэтому будем поступать иначе.
Фиксируем точку а, 1гп а)0, которая переходит в центр круга ге=О. Точка а, симметричная а относительно действительной оси, по теореме 2 предыдущего пункта должна переходить в точку э= ос, симметричную ы 0 относительно окружности (~гс~ = !). Но точками, которые переходят в нуль и бесконечность, дробно-линейная функция определяется с точностью до постоянного множителя; поэтому искомое отобраг — а жение должно иметь такой внд; ы = й=. г — л При действительных г=х имеем !г — а~ = !г — аП поэтому для того, чтобы ось х пе~!еходила в единичную окружность, надо взять ~й! = 1, т, е, й=е' .
Таким образом, все дробно-линейные пзоморфизмы верхней полуплоскости (1и!г)0) на единичный круг (~ ю~ <Ц определяются формулой сс с!В Э г — л (5) где а — произвольная точка верхней полуплоскости (1гп а>0), а 9 — произвольное действительное число. Отображения (5) зависят от трех действительных параметров: 9 и двух координат точки а, переходящей в центр круга. у гг! Рис. !4. Геометрический смысл 9 ясен из замечания, что точка г= со при отображении (5) переходит в ю=е'э. Изменение этого параметра сводится к повороту круга.
На рис. 14 изображены элементАРнгяе Функции сетка декартовых координат в плоскости г и ее образ при отображении (5). Дробно-линейный изоморфизм области на себя мы будем называть дробно-линейным аетоморфиэмом. Очевидно, что совокупность всех дробно-линейных автоморфнзмов какой-либо области образует группу, которая является подгруппой группы Л всех дробно-линейных отображений. Совокупность всех дробно-линейных автомоморфнзмов С- С, очевидно, совпадает с группой Л. Также очевидно, что совокупность дробно-линейных автоморфнзмов С вЂ” С совпадает с подгруппой (целых) линейных преобразований е- аг+Ь.
Вычислим в заключение группу автоморфизмов единичного круга, Фиксируем точку п, )а) <1, переходящую в центр круга в=О. Точка а'= 1/а симметричная с а относительно окружности (1г) =1), должна переходить в точку в= оо; поэтому искомое отображение должно иметь вид 2 — а 2 и в =й, =lг1 2 —— 1 — Э2 и где й и й, — некоторые постоянные. Так как точка г=! перехо! — и дит в точку единичной окружности,то должно быть) й1 )~ ! Рис. 1В. = )/г, ) =1, т. е. й,=е'э, где Π— действительное число. Следо- вательно, искомое отображение должно иметь вид 2 и в-е'— 1 — и2 ' (6) С другой стороны, очевидно, что любая функция вида (6).
где )а) <! и 0 — действительное число, осуществляет дробно- ГоломоРФныв Функции !гл, ! линейное отображение единичного круга (~г~ <1) на единичный круг (!то(<1). На рис. !5 изображен прообраз сетки полярных координат плоскости ш. Он состоит из двух семейств: дуг ок! ружностей, проходящих через точки а и а'= = (прообраз луа чей), и окружностей„имею!цих эти точки симметричными (прообраз окружностей). Таким образом, группа дробно-линейных автоморфизмов единичного круга вычислена.
Она зависит от трех действительных параметров: двух координат точки а и числа О. 11. Некоторые рациональные функции. 1. Степенная функция !о ан где и — натуральное число, голоморфна во всей плоскости С. л-! Ее производная — =пал ' при п>1 отлична от нуля всюду и'г при гэьО, следовательно, отображение (1) прн п>1 конформно в каждой точке ге= С'~~0). Записывая функцию (!) в полярных координатах а=ге'е, ш=резе: р = г", ф = пйз, (2) мы видим, что осуществляемое нашей функцией отображение увеличивает в и раз углы с вершиной а точке а=О и поэтому при и)! не конформно в этой точке.
Из (2) видно также, что любые две точки г, и гз с одинаковымн модулями и с аргументами, отличающимися на целое кратное 2я/п: !а, 1=!аз), агца, = агйат+й— зи (3) (и только такие точки), при отображении (1) «склеиваются», т. е. переходят в одну точку в. Следовательно, прн п)1 это отображение неоднолистио в С. Для однолистности его в некоторой области Рс:.С необходимо н достаточно, чтобы Р не содержала никаких двух различных точек г, и г„связанных соотношениями (3) '). Примером области, н которой отображение (1) однолнстно, может служить сектор Р = ~0< агя г< — т. зи 1 Этот сектор гомеоморфно преобразуется в область Р*= ') Область однолистности функции (!) при л>! не может содержать точку а=о, нбо в любой окрестности а=о имеются различные точки, свиванные соотношеиикми (3!. элвмвнтивные еинкцин З з1 =(0(агд в<2п), т. е.
в плоскость иа с выброшенной положительной полуосью. На рис. !6 показано соответствие сеток полярных координат при этом отображении. Рис. 16. Если мы возьмем в плоскости г по-прежнему полярные координаты г=геиа, а в плоскости ш — декартовы за=и+(о, то отображение (1) перепишется в виде следующих двух соотношений: и=с" соыир, о=а" з1п пр. (4) На рис. 17 показан прообраз сетки декартовых координат йо г'7 Рис. !7. плоскости ш при этом отображении. Он составлен из кривых с "Г иа полярными уравнениями х = у — ' (пунктнрные линии) с05 Лф ГоломоРФные Функции (гл.
1 г = )/ —.' (сплошные). При п=2 это обычные гиперболы яи лф хз — узг ио (пунктир) и 2ху=о~ (сплошнйе линии). В силу конформности отображения сетка ортогональна, т. е. пунктирные линии ортогональны сплошным. 2. Функция Жуковского. Так называют рациональную функцию 2~ г)' (5) голоморфную в области Сч (О).
Ее производная отлична от нуля всюду в этой области, кроме точек г= + 1, откуда видно, что отображение (5) конформно в каждой конечной точке гФО, ч- !. Точке а=О соответствует из = оо, и конформность в этой точке согласно определению угла в бесконечности, принятому в и. 5, следует из того, что производная о(1! 2! — а' (ш) (1 ~.аз)2 и при а,~з мы получаем г,ге=1. Таким образом, для однолистности функции Жуковского в какой-либо области 0 необходимо и достаточно, чтобы она не содержала никакой пары точек г~ и гз, для которых ') зьаг = 1. ') Область однолистности функции Жуковского не может содержать точек Ш1, ибо в любой окрестности этих точек существуют различные точки, .связанные соотношением (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
