Главная » Просмотр файлов » Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ

Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 11

Файл №1129975 Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ) 11 страницаБ.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975) страница 112019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Очевидно, что в случае, когда Г представляет собой прямую, это определение совпадает с обычным. Отображение г- г*, переводящее каждую точку г~С в точку г', симметричную с г относительно Г, называется симметрией относительно этой окружности или инверсией. Инверсия относительно окружности на С, как видно из (6), осуществляется функцией, сопряженной к дробно-линейной функции. На основании теоремы 2 предыдущего пункта отсюда следует, что инверсия является антиконформным отображением всюду в С. 4 В. В. Шабат |гл. г ГоломоРФные Функции 50 (Для случая инверсии относительно прямой это утверждение очевидно: сдвигом и поворотом переведем эту прямую в действи- ..

тельну)о ос|и а тогда инверсия сведется к отображению г- 2.) Теперь желаемое свойство дробно-линейных отображений получается совсем просто: Т е о р е м а 2. Произвольное дробно-линейное отображение Л преобразует любые точки г и г*, симметричнь|е относительно какой-либо окружности Г на С, в точки и) и и)*, симметричные относительно образа Е(Г) этой окружности (с в о й с т в о с охраненияя с им метр ичн ых точек). м Рассмотрим семейство (у) всех окружностей на 1, проходящих через точки г и г"; эти окружности ортогональны к Г. По теореме 1 окружности у преобразуются такгке в окружности Е(у) на С, причем в силу конформности Е все окружности Е(у) ортогональны к 1' (Г).

Отсюда следует, что точки щ и и*, через которые проходят все Е(у), симметричны относительно Е(Г) ') и 1О. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы. В формулу дробно-линейного отображения аа+ Ь 22 + )) входят четыре комплексных коэффициента а, (г, с и й. Однако на самом деле отображение зависит от трех комплексных параметров, ибо числитель и знаменатель дроби можно поделить на один из не равных нулю коэффициентов. Поэтому естественно ожидать, что при помощи дробно-линейного отображения можно единственным образом преобразовать три заданные точки в три заданные.

Имеет место Теорем а 1. Каковы бы ни оыли три различные точки г|, гз гза= С и три различные точки )е„вз, )езе= С, существует, и притом только одно, дробно-линейное отображение 1., 1 (гя) = и)ь й=1, 2, 3. ч Существование отображения Е доказывается легко: строим дробно-линейные отображения Е) и 1.2 преобразующие гь г, гз и щь юз, игз соответственно в точки О, оо, 1 плоскости Ь: — и| ~1 ~т . (2) )Ез )ЬЗ |Е| 2 — 2е ез — 21 отображение (3) У. = У 2 Е!, '1 Заметим, что всякая окружность, проходящая через )е н )ь*, ортогональнзя й(Г), является образом некоторой окружности из семейства (т). злементАРные Функции которое определяется как функция ш=цз(г) из соотношения ЗР з Ззз Мз (4) Ззз азз ю з 2з — 22 Зз 2з 2 — 2, 2 — 22 и есть искомое, В самом деле, оно, очевидно, дробно-линейное и преобразует точки ЕА в шз (Й= 1, 2, 3). Докажем единственность этого отображения.

Пусть Л, Л(2,) =из (й=!, 2, 3), будет какое-либо дробно-линейное ото- бражЕНИЕ. РаССМОтрИМ ОтОбражЕНИЕ р= Езз Л ° Е,', ГдЕ Е, Н Е. определяются по формулам (2); очевидно, !з будет дробно-линейным отображением, оставляющим точки О, о и 1 неподвижными. Из условия !2(ао) =ззз следует, что !з — целая линейная функция: !з(() =аЬ+р; но из условия р(0) =0 получаем, что р=О, а из !з(1) =1 — что с!= !. Таким образом, !з(Ь)==~, т. е.

Ез з Л з Ез = Е, откуда по групповым законам получаем, что Л = Ез з Ез илн, согласно (3), Л == Е -! 3 а МЕЧ а Н ИЕ. КажДаЯ тОЧКа гз И Цзз ВХОДИТ В СООтИОШЕ- иие (4) дважды, один раз в числителе, другой — в знаменателе. Читатель может убедиться в том, что это соотношение сохраняет силу, когда одна из точек ЕА или шА (или одна гз и одна шз) является бесконечной: нужно только числитель и знаменатель дроби, где появляется эта точка, заменить единицей. Например, в случае гз=цзз= Фо формула принимает вид 2з 2з ЗЗ ЗЗз 2 — 2з 1 ю — азз ! Таким образом, теорема 1 сохраняет силу для точек замкнутой плоскости. На основании доказанной теоремы и кругового свойства (и. 9) можно утверждать, что любую окружность Г на С можно преобразовать дробно-линейным отображением в любую другую окружность Г* (достаточно перевести три точки Г в три точки Г* и воспользоваться круговым свойством).

Из топологическнх соображений ясно, что круг В, ограниченный Г, переходит при атом в один нз двух кругов, ограниченных Г' (чтобы узнать в какой, достаточно выяснить, куда переходит какая- либо точка гзееВ). Отсюда легко вывести, что любой круг Вс: С можно дробно-линейным преобразованием отобразить на любой другой круг ВФс:С. Дробно-линейное отображение области Р на 02 мы будем называть дробно-линейным изоморфизмом, а области 0 и Рз, для которых такой изоморфизм существует, — дробно-линейно изоморфными.

Только что высказанное утверждение можно сформулировать так. 42 голомоРФные Функции !гл г Т е о р е м а 2. Любые деа круга на замкнутой плоскости дробно-линейно изоморфны. Найдем для примера все такие изоморфизмы верхней полу- плоскости (1гп г)0) на единичный круг (/гс!(Ц. Использование теоремы 1 привело бы к некрасивой формуле, поэтому будем поступать иначе.

Фиксируем точку а, 1гп а)0, которая переходит в центр круга ге=О. Точка а, симметричная а относительно действительной оси, по теореме 2 предыдущего пункта должна переходить в точку э= ос, симметричную ы 0 относительно окружности (~гс~ = !). Но точками, которые переходят в нуль и бесконечность, дробно-линейная функция определяется с точностью до постоянного множителя; поэтому искомое отобраг — а жение должно иметь такой внд; ы = й=. г — л При действительных г=х имеем !г — а~ = !г — аП поэтому для того, чтобы ось х пе~!еходила в единичную окружность, надо взять ~й! = 1, т, е, й=е' .

Таким образом, все дробно-линейные пзоморфизмы верхней полуплоскости (1и!г)0) на единичный круг (~ ю~ <Ц определяются формулой сс с!В Э г — л (5) где а — произвольная точка верхней полуплоскости (1гп а>0), а 9 — произвольное действительное число. Отображения (5) зависят от трех действительных параметров: 9 и двух координат точки а, переходящей в центр круга. у гг! Рис. !4. Геометрический смысл 9 ясен из замечания, что точка г= со при отображении (5) переходит в ю=е'э. Изменение этого параметра сводится к повороту круга.

На рис. 14 изображены элементАРнгяе Функции сетка декартовых координат в плоскости г и ее образ при отображении (5). Дробно-линейный изоморфизм области на себя мы будем называть дробно-линейным аетоморфиэмом. Очевидно, что совокупность всех дробно-линейных автоморфнзмов какой-либо области образует группу, которая является подгруппой группы Л всех дробно-линейных отображений. Совокупность всех дробно-линейных автомоморфнзмов С- С, очевидно, совпадает с группой Л. Также очевидно, что совокупность дробно-линейных автоморфнзмов С вЂ” С совпадает с подгруппой (целых) линейных преобразований е- аг+Ь.

Вычислим в заключение группу автоморфизмов единичного круга, Фиксируем точку п, )а) <1, переходящую в центр круга в=О. Точка а'= 1/а симметричная с а относительно окружности (1г) =1), должна переходить в точку в= оо; поэтому искомое отображение должно иметь вид 2 — а 2 и в =й, =lг1 2 —— 1 — Э2 и где й и й, — некоторые постоянные. Так как точка г=! перехо! — и дит в точку единичной окружности,то должно быть) й1 )~ ! Рис. 1В. = )/г, ) =1, т. е. й,=е'э, где Π— действительное число. Следо- вательно, искомое отображение должно иметь вид 2 и в-е'— 1 — и2 ' (6) С другой стороны, очевидно, что любая функция вида (6).

где )а) <! и 0 — действительное число, осуществляет дробно- ГоломоРФныв Функции !гл, ! линейное отображение единичного круга (~г~ <1) на единичный круг (!то(<1). На рис. !5 изображен прообраз сетки полярных координат плоскости ш. Он состоит из двух семейств: дуг ок! ружностей, проходящих через точки а и а'= = (прообраз луа чей), и окружностей„имею!цих эти точки симметричными (прообраз окружностей). Таким образом, группа дробно-линейных автоморфизмов единичного круга вычислена.

Она зависит от трех действительных параметров: двух координат точки а и числа О. 11. Некоторые рациональные функции. 1. Степенная функция !о ан где и — натуральное число, голоморфна во всей плоскости С. л-! Ее производная — =пал ' при п>1 отлична от нуля всюду и'г при гэьО, следовательно, отображение (1) прн п>1 конформно в каждой точке ге= С'~~0). Записывая функцию (!) в полярных координатах а=ге'е, ш=резе: р = г", ф = пйз, (2) мы видим, что осуществляемое нашей функцией отображение увеличивает в и раз углы с вершиной а точке а=О и поэтому при и)! не конформно в этой точке.

Из (2) видно также, что любые две точки г, и гз с одинаковымн модулями и с аргументами, отличающимися на целое кратное 2я/п: !а, 1=!аз), агца, = агйат+й— зи (3) (и только такие точки), при отображении (1) «склеиваются», т. е. переходят в одну точку в. Следовательно, прн п)1 это отображение неоднолистио в С. Для однолистности его в некоторой области Рс:.С необходимо н достаточно, чтобы Р не содержала никаких двух различных точек г, и г„связанных соотношениями (3) '). Примером области, н которой отображение (1) однолнстно, может служить сектор Р = ~0< агя г< — т. зи 1 Этот сектор гомеоморфно преобразуется в область Р*= ') Область однолистности функции (!) при л>! не может содержать точку а=о, нбо в любой окрестности а=о имеются различные точки, свиванные соотношеиикми (3!. элвмвнтивные еинкцин З з1 =(0(агд в<2п), т. е.

в плоскость иа с выброшенной положительной полуосью. На рис. !6 показано соответствие сеток полярных координат при этом отображении. Рис. 16. Если мы возьмем в плоскости г по-прежнему полярные координаты г=геиа, а в плоскости ш — декартовы за=и+(о, то отображение (1) перепишется в виде следующих двух соотношений: и=с" соыир, о=а" з1п пр. (4) На рис. 17 показан прообраз сетки декартовых координат йо г'7 Рис. !7. плоскости ш при этом отображении. Он составлен из кривых с "Г иа полярными уравнениями х = у — ' (пунктнрные линии) с05 Лф ГоломоРФные Функции (гл.

1 г = )/ —.' (сплошные). При п=2 это обычные гиперболы яи лф хз — узг ио (пунктир) и 2ху=о~ (сплошнйе линии). В силу конформности отображения сетка ортогональна, т. е. пунктирные линии ортогональны сплошным. 2. Функция Жуковского. Так называют рациональную функцию 2~ г)' (5) голоморфную в области Сч (О).

Ее производная отлична от нуля всюду в этой области, кроме точек г= + 1, откуда видно, что отображение (5) конформно в каждой конечной точке гФО, ч- !. Точке а=О соответствует из = оо, и конформность в этой точке согласно определению угла в бесконечности, принятому в и. 5, следует из того, что производная о(1! 2! — а' (ш) (1 ~.аз)2 и при а,~з мы получаем г,ге=1. Таким образом, для однолистности функции Жуковского в какой-либо области 0 необходимо и достаточно, чтобы она не содержала никакой пары точек г~ и гз, для которых ') зьаг = 1. ') Область однолистности функции Жуковского не может содержать точек Ш1, ибо в любой окрестности этих точек существуют различные точки, .связанные соотношением (6).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
7,13 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6439
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее