Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Найдем такие точки, например, для с!Ее. В них имеем е(п а=0, т. е. а!*=а-"! ГоломоРФные Функции !гл, ! Рис. 23, Из формулы (4) и аналогичной формулы для синуса находим 1(а 1= ~/;;."„,'„,."„,"„. (7) На рис. 23 изображен рельеф тангенса. Он имеет резко выраженные пики иад точками г = — +ля (л = О, г: 1, ...), в которых тангенс теряет голоморфность. Отображения, осушествляемые функциями в=1я г и гр = =с1пг, представляют собой композицию уже известных отображений. Например, в=!я г сводится к таким отображениям: .
ла — 1 г =е'1 ш= — !— а аа+ ! г, = 21г, ') Мы доказали сейчас, что при голоморфном продолжении синуса в комплекснуго плоскость ве появляется новых точек, где он обращается в нуль. отсюда в силу условия (8) п. 12 находим 21г=21лп, г=пп (п=О, ч-1,...) '). Тангенс и котангенс в комплексной плоскости остаются периодическими с действительным периодом я, для них сохраняются обычные формулы дифференцирования и тригонометрические соотношения — все зти утверждения легко получить из формул (б). Еб ЗАДАЧИ Полосу ~ — 4 <х< — ~ эта функция однолистно и конформно отображает на внутренность единичного круга.
Прямые (х=хо) при этом преобразуются в дуги окружностей, проходящих че- Рнс. 24. рез точки жг, а отрезки ~ — 4 < х < — „у = и, — в дуги окружс) ностей, для которых эти точки симметричны (рис. 24). ЗАДАЧИ 1. На множестве плоских веиторов а= (х, у) введем обычным образом сложение н умножение на скалир (действительное число); тогда, отождествляя действительные числа с векторами вада (х, 0), каждый вектор х= (х, у) можно записать в виде а=к+!у, где по определению 2= (О,!). Однако умно!кение двух векторов г!=х!+2у! и ха=22+!уз определим иначе, чем при определении комплексных чисел.
именно положим и! 2 а2=х2х2+уоу2+1(х! Ч2+ 22у!) (мы перемножаем двучлены х,+2у! и хт+2уз по обычным правилам алгебры с заменой и=1). такую систему будем называть системой гиперболических комплексных чисел (Н), а) Покажите, что (Н) является коммутативной алгеброй с делителями нуля, н найдите геометрическое мссто делителей нуля. б) ПуСтЬ й =Х вЂ” 2У; тОГДа !!и!) =)2с) гч а) ЕСтЕСтВЕННО НавнатЬ МОДУЛЕМ числа а.
Найдите геометрическое место точек а, для которых ))а(( 1. Покажите, что при умножении гиперболических комплексных чисел их модули перемножаются, Покажите, что условие )Ф)=0 необходимо и достаточно для того, чтобы а было делителем нуля. в) Для ха, )Йх(1 Ф О, н л2абого а! определим частное формулой х! * аа х! ч хт = ввп (аз ° аа), 11 я )) 2 где знп х — знак действительного числа х. Покажите, что (а! "„аа) чих=а!.
б в. В. шаовт ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ г) Для функции в !(г)-и+!о введем гиперболическую производную Г' (г) [цп пв " йг, дг-ьо !аг!ы о если этот предел существует. Покажите, что для существования такой производной необходимы и достаточны дифференцируемость ! в смысле ыз и выполнение условий ди до ди до дх ду ' ду дх ' д) Выясните геометрическую картину отображений в=г г и в=! „"г (соответствие надлежащим образом выбранных координатных сеток). е) Положим по определению е,'= е" (ей у+! зйу) и з!и'г=з[пх сову-1- +! соя х ° з!ну.
Выясните сходство и отличие этих функций от обычной показательной функции и синуса, а также найдите геометрическую картину отображений, ими осуществляемых. 2. Исследуйте на непрерывность в смысле С функции г, г и [[ее= = — (г+ 2). 1 2 3. Пусть и и о — действительные функции двух действительных переди , ди до менных, дифференцируемые в смысле [Сз, а ри = — +! —, ус= — + дх ду ' дх до + ! — — нх градиенты. Понажите, что условия дифференцируемости в смысле ду С функции )=и+!о выражаются равенствами (ри, Ро) = О, ! ри ! = ! ро 1, где (уи, ро) — скалярное произведение. 4.
Пусть точка г движется по закону г=ге", где г — постоянная, а !— время. Найдите сиорость движевня точки в=[(г), где функция ! голоморфна на окружности (!г[=г). (Ответ: [г!'(г).) б. Пусть ! голоморфна на окружности у=(!г[=г) и ['(г) ФО на у. Докажите, что условием выпуклости образа )(у) служит неравенство [се~ —,!+ 1)~0. [Указание: сначала рассмотрите условие выпуклости I г[а (г) [ ~ Е'(г) ) в виде — ~ — + ф+ агн !'(ге ) ) )~ О.! гт дф (2 8.
Найдите общий вид дробно-линейных отображений, соответствующих вращению сферы Римана относительно двух ее диаметрально противоположных точек. 7. Докажите, что группа дробно-линейных автоморфизмов верхней полу. плоскости состоит из отображений аг+ Ь сг+д ' где а, Ь, с и д действительны и ад — Ьс>0. 67 задачи 8.
(Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского) ') а) Л-точками называются точки единичного круга 0=()з)(1), Л-прямыми — лежащие в !г дуги окружностей, ортогональных к ()з)=!). Проверьте выполнение обычных аксиом связи точек и прямых. Убедитесь, что через Л-точку, лежащую вне данной Л-прямой, можно провести бесконечно много Л-прямых, не пересекающихся с данной. б) Назовем Л-расстоянием между Л-точками з~ и аг величину 1+ ! аг г~ а1зг рл(з„а)=!и 1— 1-а,аг Проверьте выполнение аксиомы треугольника. Докажите, что если Л-точки аь аг и аз лежат на одной Л-прямой в естественвом порядке, то Рл (з! зз) Рл (а! зг)+ Рл (зг' аз) в) Назовем Л-движением дробно-линейный изоморфизм круга !1. Покажите, что Л-движения сохраняют Л-расстояния.
г) Л-окружностью с центром зо называется геометрическое место тачек, Л-расстояние которых до аз постоянно. Покажите, что Л-окружность изображается окружностью, имеющей точки аз и г! =1/ао симметричными, д) Эквидистантой называется геометрическое место точек, Л-расстояние которых до данной Л-прямой постоянно. Покажите, что эквидвстанта изображается лежащвми в с! двумя дугами окружностей, которые пересекают (!а!=Ц в тех же точках, что и рассматряваемая Л-прямая (они ие являются Л-прямыми!). 9.
Докажите, что для любого условно сходящегося ряда с комплексными членами существует такая прямая !с С, что для любой точки хе!найдется перестановка членов этого ряда, после которой он будет сходиться к з. (Обобщение теоремы Римана об условна сходящихся рядах с действительными членами.) ') По поводу этой задачи см. И. И, П р и в а л о в, Введение в теорию функций комплексного переменного, Физматгиз, М., 1960. ГЛАВА П СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В этой главе мы рассмотрим важнейшие методы исследования голоморфных функций.
Онн основаны на представлении таких функций в виде специальных интегралов (ннтегралов Коши) или в виде сумм некоторых рядов (рядов Тейлора н Лорана). Начнем с понятия интеграла от функций комплексного переменного. 5 4. Интеграл 14. Понятие интеграла. Оп редел ение. Пусть дан путь у класса С', т. е. непрерывно дифференцируемое отображение г(Г): У вЂ” С, где У=[а, Я вЂ” отрезок действительной оси Р' (см. и. 3). Пусть на образе этого пути г(У), который мы также будем обозначать через у, задана комплексная функция 1: у- С такая, что функция [0а(1) непрерывна на У (в этом случае мы просто будем говорить, что У непрерывна на у).
Будем называть интегралом от функции 1 вдоль пути у число ~ [д. = ~ У [з(1)) г (1) а, (1) т а где в правой части интеграл от комплексной функции действительного переменного понимается как соответствующая линейная комбинация интегралов от действительной и мнимой частей. Определение без всяких изменений распространяется на кусочно непрерывно дифференцируемые пути. П р и м е р ы. 1. Пусть у — окружность а= а+ге", У ~ [О, 2п), и 1(г) = (г — а)", где и =О, ~1, ...
— произвольное целое число. По определению (1) (а а)~ Г(а Ги+11 ~ Е2мчц 22(2. при п че — 1 имеем 2л 2л 1ь- га- "х 1 ° к+ ч~а+1[.шь+1)и~~=о, т о о ИНТЕГРАЛ а при и= — 1 аг — = 1 ) Н = 2пГ'. г — а У 0 ~0 при пФ вЂ” 1, (г — а)" Г(г = 12Л( при л = — 1, (2) которым мы будем неоднократно пользоваться.
2. Пусть у — произвольный путь г=г(У), ге= (а, Я, класса бд с концами в точках а=г(а) и Ь=г(р); тогда ОО ОО Г(г = Ь вЂ” а, ~ г Г(г = 2 (3) В самом деле, Гх~ = ~ г (Г) Г(г = ~ ах (т) + г ~ ау (Г) = т а а а. =хф) — х(а)+Г'(у(р) — у(а)1 =г(р) — г(а). Аналогично а а .~ ) () 2,~ и( ()1 2 2 ч а а Мы видим, что интегралы (3) не зависят от нида пути и вполне определяются его начальной и конечной точкалии. По любому замкнутому пути эти интегралы равны нулю. 3 а и е чан не. В принятых нами в определении условиях на путь и функцию интеграл (1) всегда существует (как интеграл от непрерывной функции) и может пониматься в смысле Римана.
Если путь у лишь спрямляем, то даже для непрерывных функций 1", требуется более общее понятие интеграла, ибо в правой части (1) множитель г'(1) существует лишь почти всюду. Поэтому в случае спрямляемых путей нужно пользоваться интегралом Лебега (и тогда естественно считать функци1о Г такой, что 1 ° г(т) суммируема на У). Перечислим основные свойства интеграла от комплексных функций. Таким образом, целые степени (г — а)" обладают свойством «ортогональности» (гл. и своиства голомореных еункцип уо 1'. Линейность. Если ( и й непрерывны на пути уенС', то для любых комплексных постоянных а и Ь ~ (а[+ Ьд) йг = а )г [ йг + Ь )г д с(г.
Следует непосредственно из определения. 2'. Ад д и т и в н ос т ь. Пусть даны два пути уь уг еп С', определенные соответственно функциями г1(г), геь'(сг, рг), и гг((), (е=(аг, й), причем рг=аг и гг(бг) =гг(иг) Объединением улуг этих путей назовем кусочно непрерывно дифференцнруемый путь у: (сс, р)- С, определяемый функцией г,((), ген(а, [г,), гг((), г =[от, й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
