Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть иа у задана непрерывная функция ); непосредственно из определения интеграла следует, что т,цю 3 а м е ч а н и е. Можно обобщить понятие объединения путей, отказавшись от условия иа расположение отрезков (и, Я и (ам Щ и от условия гг(бг) =гг(аг). Тогда уДуг уже, вообще говоря, не будет путем; в этом случае мы сохраним свойство (5) п о о п р е д е л е н и ю (положив интеграл по улуг равным сумме интегралов по уг и уг). Э'. И н в а р и а н т н о с т ь о т н о с и т е л ь н о з а м е н ы п ар а мет р а. Теор е м а 1. Пусть путь у,: г=гг(т), ген(иь Ц получается из гладкого пути у; г=г((), (ен (сг, Я допустимой заменой параметра '). Тогда для любой фйнкг(ии [, непрерывной на у (а следовательно, и на уг), т ъ < По определению в 1)й.= 1 и.т~(() и.
т а Сделаем в правой части замену переменных г=((т), которая связывает параметры ( и т на наших путях. По теореме из дей- ') Это означает (сн. и. 3), что существует возрастающая функция г(г). [оь р,) — е'ь [а р] класса Сз такая, что гз(т) =г[г(гН лля .всех теи [аь рг). 71 ИНТЕГРАЛ йн ствительного анализа (примененной отдельно к действительной и отдельно к мнимой части интеграла) и правилу дифференцирования сложных функций получим тогда р~ [г [ й = ~ 1 [г, (т)) е' (т) йт.
т а, Интеграл справа — это иятеграл от г вдоль пути у~ м Из этой теоремы можно сделать важный вывод; интеграл, введенный нами для пути, имеет смысл и для кривой, под которой мы понимаем класс эквивалентных путей (см. п. 3). Точнее, дтя любого пути, определяющего некоторую гладкую кривую, интеграл от функции, непрерывной вдоль этого пути, имеет одно и то же значение.
В соответствии со сказанным в п. 3 мы будем часто в дальнейшем понимать под кривой множество точек комплексной плоскости — образ отрезка [и, р[ для любого пути, определяющего эту кривую. Тогда мы будем говорить и об интеграле по этому множеству, понимая под ним интеграл вдоль соответствующей кривой.
3 а м е ч а на е. Теорема ! сохраняется н для функций, суммнруемых на спрямляемых путях, если допустимой считать монотонную авсолютно непрерывную замену параметра (в самом деле, тогда можно воспользоваться теоремой о замене переменных длн интеграла Лебега). Поэтому имеет смысл н понятие ннтеграла вдоль спрямляемой кривой. 4'. О р иентиро в а нность. Обозначим через у- путь, который получается из пути Тл г=г(г), г ен ~и, р], класса С' заменой переменных г- а+8 — г (т.
е. путь г,(1) =г(а+р — г), Гы [сс, р)), и пусть ) — функция, непрерывная на у; тогда ) Тйг — [ уйг. (7) (8) т т Это утверждение доказывается так же, как теорема !. Мы будем говорить, что путь у- получается из у переменой ориентации. 5', Оценка интеграл а. Теор е м а 2. Для любой функции 7, непрерывной на гладком пути у: г=г(г), 1ен [а, р[, справедливо неравенство )[и.)~[п~и.~, где [йг[ у'ахв+йув — элемент длины у и справа стоит криволинейный интеграл по дуге.
1гл. н свопствк ГоломоРФных Функций 72 чОбозначим через / величину интеграла от / по у, и пусть /=]/]е'е; имеем е-!е/йг ~ е-юа/ (г (/)] га (/) й/ ч а (мы внесли постоянный множитель е 'а под знак интеграла). Так как интеграл справа — действительное число, то а а ]// = ]г 1(е(е-!ь/]г(/)]г'(/))с//< ]г ]/]г(/)]]]г'(/)]й/= ]г ]/]]дг] Ф а а ч С л е д с т в и е.
Если в условиях предыдущей теоремы ]/(г) ] ( М всюду на у, где М вЂ” некоторая постоянная, то (1!а*)~м!!) (9) (через ]у] мы обозначаем длину пути у). Неравенство (9) получается из (8), если оценить интеграл в правой части и заметить, что ]]с(г]=]у]. ч 15. Первообразная. Определение 1. //ервообразнойфункции / в области Р называется такая голоморфная в этой области функция Е, что в каждой точке г ен Р Е'(г) =/(г). (1) Если Р— первообразная функции ) в области Р, то и любая функция Е(г)+С, где С вЂ” произвольная постоянная, также является первообразной / в Р.
Обратно, пусть Е! и Ет — две какие-либо первообразные функции / в области Р и Ф=Г! — Ех. дФ дФ Функция Ф голоморфна в Р, поэтому = = — О в Р; но и— дх дх дФ дФ = Ф' Е' — Е'— = О в Р, поэтому — „— = — =— Ов Р. Отсюда по ! 2 дх ду теореме действительного анализа (примененной к функциям КеФ и 1гп Ф) мы заключаем, что Ф: — С, постоянная в Р. Доказана Теорема 1. Если Š— какая-либо первообразная функции/' в области Р, то совокупность всех первообразных /' дается формулой Е(г) +С, (2) где С вЂ” произвольная постоянная.
интеграл з 4] тз (4) откуда видно, что р(г+ Ь) — р(г) = ~ ~(~) й~ (5) !», ЕА! (мы воспользовалнсь свойствами интегралов н определением функции г). Но согласно примеру 2 из п. 14 ](г)йь"=]"(г) ~ йь =](г)Ь !», »на! ]», »+А] (мы вынесли постоянный множитель )(г) из-под знака интеграла); поэтому, используя (5), можно написать '"'"„'-""-1(г) =-„' ~ У(~)-1(г)) В !», »+А] (6) ') Мы считаем, что граница дЛ ориентировава каким-либо образом !так что нри ее обходе треугольник Ь остается все время с одной стороны). Таким образом, первообразная функции 1 в области О, если она существует, определяется единственным образом с точностью до постоянного слагаемого. Перейдем к вопросам с у щ ест в о в а н и я первообразной.
Сначала мы изучим вопрос о существовании локальной перво- образной, действу>ощей в окрестности некоторой точки. Мы докажем, что локально каждая голоморфная функция имеет первообразную. Доказательство разобьем на два этапа. Л е м м а 1. Пусть функция !' непрерывна в круге 1/= =(]г — а~ <г) и интеграл от нее по границе ') любого треугольника Лей У равен нулю; ~)дг=О. (3) да ~члр г Тогда функция Р()= ~ )(Цд~, ]а,»! у где интеграл берется по прямолинейному отрезку (а, г) с:. (»', является первообразной )' в У (т, е, г голоморфна в У н г'(г) =1(г) р44с гб.
в каждой точке г~У). е Фиксируем произвольную точку ген0 и будем считать ]Ь~! столь малым, что точка г+ЬЕЕУ (рис. 25). Тогда треугольник Ь=(а, г+й, г) ~ У, и по условию (3) ~ И~+ ~ ~д~= ~ И~, ]а, и !», »+м ]а, »+ь] СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЪ|Х ФУНКЦИЙ )гл. и Теперь воспользуемся непрерывностью функции 7": для любого а>0 можно найти 6>0 такое, что при ~6|<6 для всех ~~ (г, г+6) справедливо неравенство ()(ь) — )(г) ~ <е.
На этом основании получаем из (6), что при ~6~ <6 — )(г)~< — „а ~6(=е, а это означает, что существует р'(г) =((г) ь Лемма 2. Если функция ~~Н(Р) '), то интеграл от )" по границе любого треугольника Л ~Р равен нулю. ч Пусть лемма неверна и существует треугольник ЛИР такой, что (7) Разобьем Л на четыре треугольника средними линиями и предположим, что границы Л и этих треугольников ориентированы против часовой стрелки (рис. 26). Очевидно, что интеграл от )' по дЛ равен сумме интегралов по границам маленьких треугольников, ибо интегралы по средним линиям (пуиктир на рис.
26) берутся дважды в противоположных направлениях и потому сокращаются, а остальные части границ составляют дЛ. Поэтому найдется хоти бы один маленький треугольник — мы обозначим его через Л, — такой, что ) ( ~а,~ и Рис. 2б. Т реугольник Л, мы снова разобьем средними линиями на четыре треугольника и по тем же соображениям найдем среди них хотя бы один — мы обозначим его через Ла — такой, что (( э,))м Продолжая наше рассуждение, построим последовательность вложенных друг в друга треугольников таких, что для интеграла по границе л-го треугольника справедливо неравенство и (8) а ') Напомним, что через Н(тт) обозначаетсп соаокупиость всех функций, голоморфнмх и области а).
интегеьл Треугольники Л„(мы считаем их замкнутыми) имеют об- щую точку гь которая принадлежит Л, а следовательно, и Р, Так как функция ! голоморфна в точке гм то для любого е)0 найдется 6>0 такое, что модуль разности а(г) — 1( ) ~( ~) (9) г еэ 0 будет меньше а для всех г из проколотой окрестности (7'= =(0< ~ — еь! <б). В (7' найдется хотя бы один треугольник построенной после- довательности, пусть это будет Л,. На основании (9) и приме- ров из предыду!цего пункта ~ ! (гь) т(г+ ~ ! (ае)(г гь) с(г+ ~ а(г)(г аь) с(г = еьл еьл еь еьл = ) а(г)(г — г ) аг, аь„ где ~с!(г) ! <е для всех гядЛ„.
Кроме того, для всех гядЛ„ве- личина !г — гь~ не превосходит периметра ~дЛ„! треуголь- ника Л, поэтому по теореме об оценке интеграла !~и~-~ ! ии*-*га*(< ил.~. Но по нашему построению 1дЛ„~= — „, где ~дЛ~ — пери!дь! метр треугольника Л, следовательно, Учитывая (8),мы получаем неравенство М<е!дЛ (е„ откуда в силу произвольности числа е заключаем, что М=О во- преки предположению (7) ь Доказанную лемму 2 мы будем называть основной леммой интегрального исчисления. Из нее и из леммы 1 непосредственно вытекает л о к а л ь н а я теорема сушествования первообразной голоморфной функции. Теорем а 2. Если функция ! еиН(Р), то в любом круге (',г — гь! <г) с: Р она имеет первообразную Р(г)= 11(ид~ (10) !д, л! [гл.
И СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЬ[Х ФУНКЦИЙ Тб Вопрос о существовании глобальной первообразной, действу[ошей во всей области Р, несколько сложнее. Мы займемся им в следующем пункте, а сейчас лишь покажем, как из локальных первообразных можно склеить первообразную, действующую вдоль заданного пути. О п р е д е л е н и е 2. Пусть в области Р задана функция и у: г=г(1), 1енУ, где У=(сс, Щс(х[ — произвольный (непрерывный) путь, лежащий в Р.
Функцию Ф(1): У- С мы будем называть первообразной функции У вдоль пути у, если она; 1) непрерывна на У и 2) для любой точки 1ь~У существует окрестность Р „с: Р точки го = г ([о), в которой 1 имеет первообразную р такую, что г" [г(1) ) = Ф(1) (11) » гп у для всех 1 из некоторой окрестности ин с: У. Заметим, что если У имеет l первообразную г во всей области Р, то функция Е(г(1)) будет служить первообразной вдоль пути у.
Однако в определении не требуется существования первообразной во всей Р— достаточно, чтобы она существовала лишь л о к а л ь н о, в окрестности каждой точки гьепу. Более того, если г(У) =г(1") =г' при УФ!", то две первообразнь[е 1, из которых одна соответствует окрестности ин, а другая — окрестности и», не обязаны совпадать: они могут отличаться постоянным слагаемым (заметьте, что они действуют в окрестности одной и той же точки г' и по теореме 1 их разность может быть только постоянной).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
