Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Интегральная формула Коши выражает весьма интересный факт: значения голоморфной в области ст функции полностью определяются ее значениями на границе. (В самом деле, если значения Г на д6 известны, то известна и вся правая часть фор- мулы (1), т. е. известно значение Г в любой точке г~ 6.) Этот факт принципиально отличает голоморфные функции от функ- ций, дифференцируемых в смысле действительного анализа. Из теоремы 1 просто вытекает Теорема 2 (о среднем).
Знамение функции ГенН(Р) в каждой конечной точке г~Р равно среднему арифметическому Г ') Мы воспользовались тем, что — ~ — 1 (см. пример 1 п. 14) 2а,) ~-л вйр ы что настоянный множитель Г(г) можно внести под знак интеграла. (гл, и СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ 92 ее значений на любой достаточно малой окружности с центром в г: (6) (7) дв дир ор 1 '1 Мы имеем у-=-~~- —., ибо функция — голоморфно зависит 3~ Я" С вЂ” 2 й — в от и н ее нроиаводнан по 1, равна нулю. 2Л Г(г)= 2 ) )( +рви)йй Г о и Возьмем кРУг (7р — — (г'. (г' — г(<Р) такой, что (ура==О, и примем его в качестве области 6 из теоремы 1.
По интеграль- ной формуле Коши получим 1(г) = —, ) — й~, Г 1(с) 'К дй, а так как на дбр имеем Ь вЂ” г=ре", ген [Р, 2л), йь=р2е22йт, то (7) сводится к (6) Теорема о среднем показывает, что голоморфные функции, описательно говоря, очень правильно устроены и что их значе- ния тесно связаны с соседними значениями. Это объясняет на- личие у таких функций целого ряда специфических свойств, которых нет у функций, дифферснцируемых в смысле действи- тельного анализа. Многие такие свойства мы рассмотрим в даль- нейшем. В заключение приведем формулу интегрального представ- ления функций, дифференцируемых в смысле действительного анализа, которая обобщает интегральную формулу Коши.
Теорема 3. Пусть функция 1 принадлежит классу С' в за- мыкании компактной области О, ограниченной конечным числом спрямляемых кривых. Тогда в каждой точке гевВ 1 ' Г(ь)вй 1 Г Г д( вйвч — 2еа,) й-, ~,) В~ (8) дО о Эту формулу мы будем называть формулой Коши — Грина; если Гг Н(Ц, то двойной интеграл в ней исчезает, и мы полу- чаем формулу Коши.
< Исключим из 0 малый круг (тр — — (й: (~ — г((р) и к функ- ции д(й) = —, принадлежащей классу С' в области (тр —— 1(ь) й — 2 -0'~Пр, применим формулу Грина в комплексной записи (см. формулу (9) п. 16): Ряды тннлоРА 93 е 5! Так как ) непрерывна в точке и, то )(9) =)(г) +0(р) для ьен(тр, где 0(р) — О при р- О. Поэтому ~ — с(9 = ! (г) ~ — + ~ г)9 = 2п»! (г)+ 0(р), дар о по а па и последняя формула при р- О дает (8) ') > й 5. Ряды Тейлора В этом параграфе мы, отправляясь от интегральной формулы Коши, получим представление голоморфных функций в виде сумм степенных рядов (рядов Тейлора). Напомним известные из анализа простейшие понятия, связанные с рядами.
Ряд (из комплексных чисел) ~ а„называется л о сходяшимся, если последовательность его частичных сумм а з = ~ а„имеет конечный предел з; этот предел называется а=о суммой ряда. Функциональный ряд .~'. („(г), где функции !'„определены на некотором множестве Мс:С, называется равномерно сходя- и(имся аа М, если он сходится в каждой точке генМ н для любого е>О наидется номер»»(=Л»(е) такой, что для всех п)~)!) остатки этого ряда У (А(г) < е для всех зенМ. (А=аЬ! Точно так же, как в анализе, доказывается, что ряд ~к~ )„(г) я=о сходится равномерно на множестве М, если сходится ряд с )»еотрицательными членами Х (((„(), где (!)„((= эцр ) »„(г) ! (пом следнее условие равносильно тому, что рассматриваемый ряд ') Наше рассуждение доказывает существование ио так как(» С»(В), то двойной интеграл в (В) существует (в этом можно убедиться, переходя к полярным координатам с центром в точке а) и этот предел совпадает с ним.
своистВА ГОломОРФных Функции 1гл н мажорируется на М сходящимся числовым рядом). Без всяких изменений переносятся и доказательства того, что сумма равномерно сходящегося ряда из функций, непрерывных на множестве М, непрерывна на этом множестве и что равномерно сходящийся на кривой (класса С1 или спрямляемой) ряд из непрерывных функций можно почленно интегрировать по этой кривой. 19. Ряды Тейлора. Одной из основных в теории функций комплексного переменного является Т е о р е м а 1. Если функция (~Н (Р) и г, — произвольная томка Р, то в любом круге (1=(1« — «о~ <й)о:Р эту функцию можно представить в виде суммы сходящегося степенного ряда 1(г) = ~~'., с„(г — г,)".
(1) «Пусть ген(1 — произвольная точка; выберем число г так, чтобы ~г — го~,(г<11, и обозначим через у, окружность (ь: '1Ц вЂ” го~ =с). По интегральной формуле Коши имеем 1 1 1(ь) то Чтобы получить разложение 1 в степенной ряд, разложим «ядро» этой формулы в геометрическую прогрессию по степеням г — го. (2) (ь — го) (1 — о о ( о) й-го l затем умножим обе части на —. 1(~) и проинтегрируем почленно 1 гж по у„. Так как для всех ье=у„имеем 1г — го) 1 г — «о! =. у<1, то прогрессия (2) сходится равномерно по ь на у„, Равномерность сходимости не нарушится при умножении на непрерывную на у„и, следовательно, ограниченную функцию —,1(ь). По- 1 этому наше почленное интегрирование законно, и, выполнив его, мы получим со ОР ~(,) 1 ~ "~ 1(й)нй (...) ~)', с„(...)., о-о ((-го)" ' ь о Ряды тейлоРА где с„= — ) „„(п=О, 1, ...) м Г 1(г) йт, (3) эп1 ) (4 — г»1» тт О и редел е н и е.
Степенной ряд (1), коэффициенты которого определены формулами (3), называется рядом Тейлора функции Г с центром в точке го. Из теоремы об инвариантности интеграла (и. 16) видно, что коэффициенты с„ряда Тейлора, определяемые по формуле (3), не зависят от радиуса г окружности у, (О(т(1х), Отметим простые следствия теоремы 1.
Неравенства Коши. Пусть функция 1 голоморфна в замкнутом круге ГТ=(1г — г,1<с) и на окружности у„=дУ ее модуль не превосходит постоянной М. Тогда коэффициенты ряда Тейлора Г с центром в гь удовлетворяют неравенствам '1 с„~1 - — „(п = О, 1, ...). ч Из формул (3), учитывая, что Щ) )(М для всех ьену„, находим ~ с„!~ (— — „„2ш'= — „° 1 М М » я„»м т" Из неравенств Коши вытекает интересная Т е о р е м а 2 (Л и у в и л л ь).
Если функция Г голоморфна во всей плоскости 1; и ограничена, то она постоянна. ч По теореме 1 в любом замкнутом круге 17=(1г~ ()х], 1с( ьо, функция Г представляется рядом Тейлора 1(г) = ~~'., с„г", » ь коэффициенты которого не зависят от )с. Так как Г ограничена в С (пусть ~Г(г)1(М), то по неравенствам Коши для любого п=О, 1,... имеем М (с» (~~ д» ° Здесь 1с можно взять сколь угодно большим, поэтому при и=1, 2, ... правая часть стремится к нулю при )х- оь. Но левая часть не зависит от )с, поэтому с„=О для п=1, 2, ...
и 1(г)г а с 1ь Таким образом, два свойства функции — быть голоморфной во всей плоскости С и быть ограниченной — могут сосуществовать лишь на тривиальных функциях (постоянных). СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. н 96 Теорему Лиувилля можно сформулировать еще и так: Теорем а 2'. Если функция [' голоморфна во всей замкнутой плоскости О, то она постоянна. ч Функция 1 голоморфна в бесконечности, значит, 1пп 1(г) существует и конечен. Отсюда следует, что 1 ограничена в некоторой окрестности (!г; <)г) бесконечной точки. В остальной части плоскости ([г[ ( Я она ограничена, как непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве. Поэтому л с ' 1 ограничена в С, а так как она голоЕр морфна там, то по теореме 2 Р;~фф~,', Теорема 1 утверждает, что .любую '.;Ьф гт голоморфную в круге функцию в этом круге можно представить как сумму сходящегося степенного ряда. Мы хотим теперь доказать, что, и обратно, сумма Рис 35.
любого сходящегося степенного ряда яв- ляется голоморфной функцией. Для этого напомним некоторые свойства степенных рядов, известные читателю пз курса анализа. Л е м м а. Если члены степенного ряда ~~'.~ с„(г — а)" (5) и=п в некоторой точке апет[ ' ограничень[, т. е. [сп(г,— а)п', <М (п=О, 1, ...), (6) то этот ряд сходится в круге И=(г, .'[г — а ~ < )гп — а [) и на каждом компактном подмножестве К е:=([ он сходится равномерно. ч Можно предполагать, что геена, т.
е. [г, — а) =р)0, иначе множество (У' пусто. Пусть множество К е= =У, тогда для любой точки а~К Р <у<1 (рис. 35). Поэтому для любой точки генК и для любого п=О, 1,... мы имеем (с (а а) п [,4 [с (рпдп Но по условию (6) [с„[рп<М, следовательно, для любой аенК ряд (5) мажорируется сходящейся геометрической прогрессией М ~ д" и, значит, сходится равномерно на К и 0 Ряды теллоРА э в) 97 Второе утверждение леммы доказано, а первое следует из второго, ибо любая точка г'~У содержится в некотором круге ()г — а) <р'), )г' — а) <р'<р, компактно принадлежащем У > Теорема 3 (Абел ь). Если степенной ряд (5) сходится в некоторой тачке ге~С, то этот ряд сходится в круге У= =(гп )г — а) <)гб — а)) и на каждом компактном подмножестве У он сходится равномерно.
ч Так как ряд (5) сходится в точке г,, то общий член с„(г, — а)" соответствующего числового ряда стремится к нулю. Но всякая сходящаяся последовательность ограничена, поэтому выполняется условие леммы, а из леммы следуют оба утверждения теоремы ж Ф о р м у л а К о ш и — А д а м а р а. Пусть дан степенной ряд (5) и ) с„(г — а)")<~~ — +в)) г — а)~ .
(8) Если )г — а) <тс, то можно выбрать е столь малым, что будет (. — + и) ) г — а ) = у < 1; тогда, как видно из (8), члены ряда (5) 1 при и )~ А! мажорируются членами геометрической прогрессии дв, и, следовательно, ряд (5) сходится при )г — а) <тс. ') Заметим: это утверждение содержит первое утверждение теоремы Абеля. В. В. Шабат в 1)ш') )с„) = —, (7) 1 ! гдг 0 < тс < ао (мьч считаем — = оо и — = О). Тогда в любой о точке г, в которой ',г — а) <тс, ряд (5) сходится, а в любой точке г, в которой )г — а)>те, расходится ').
ч Верхним пределом последовательности действительных чисел а называется число А такое, что: 1) существует подпоследовательность а„а — а А и 2) каково бы ни было г>0, найдется такой номер М, что а„<А+е для всех и .' М. При этом не исключаются случаи А = в-оо, только при А =+во условие 2) отпадает, а при А= — оо число А+в в нем заменяется произвольным числом (в последнем случае условие 1) выполняется автоматически и существует 1ипи,= — оо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
