Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 16
Текст из файла (страница 16)
28. отображение г(з, 1): УХУ- Р (через УХУ мы обозначаем произведение отрезков, т. е. квадрат 0 ( з < 1, 0 ( 1 ( 1) такое, что а(0, т)= — г~(1), а(1, 1) — = а,(1) (УенУ), г(з, О)= — а, а(з, 1)— = Ь (э~У). (1) Два замкнутых пути а»(У): У- Р и г,(1): У- О называются гомотопными в области Р, если существует такое непрерывное отображение а(э,1): УХУ- О, что а (О, 1) = — а~(г), 2(1, г) — = 3 (г) (1 е= У) а(з, О)— : з(5, 1) (3 з— = У).
(2) При Фиксированном э=хоев У функция г(эо, 1): У- Р определяет путь в области О, причем такие пути непрерывно меняются при изменении з, н их семейство «связывает» в Р пути г,(1) и г,(1) (на рис. 28 эти «промежуточные» пути изображены пунктиром). Таким образом, гомотопность двух путей в области Р означает возможность непрерывно деформировать их друг в друга внутри Р. На рис. 28 пути у» и у, гомотопны, а у не гомотопен им. Гомотопность принято обозначать символом —, так что если путь у» гомотопен пути уь то мы будем писать у«-уь 6 Б. а.
шабат 1гл. и СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ зг Очевидно, что гомотопность удовлетворяет обычным аксиомам эквивалентности (рефлексивности, симметричности и транзитивности). Поэтому в данной области все пути с общими концами или все замкнутые пути можно разбить на классы, каждый из которых объединяет все гомотопные друг другу пути; такие классы называются гомотопическими классами.
Среди классов замкнутых путей выделяется класс путей, гомотопных нулю. Говорят, что замкнутый путь у гомотопен нулю в области У), если существует непрерывное отображение г(з, 1); УХУ- О, удовлетворяющее условиям (2) и такое, что г, (1) сопз( (это означает, что у г непрерывной деформацией внутри т 0 стягивается в точку). Можно до- ум казать, что два пути у1 и уг с обу шими концами гомотопны друг другу тогда и только тогда, когда их разность (т. е. объединение путей у, и у ) гомотопна нулю.
В односвязной области люкп бой замкнутый путь гомотопен нулю и, значит, любые два пути с общими концами гомотопны друг Рик 99. другу (это свойство можно было бы принять за определение одно- связности). Поэтому в односвязных областях разбиение на гомотопические классы тривиально. Так как гомотопность двух путей, очевидно, не нарушается при допустимых заменах параметра, то это понятие распространяется на кривые. Именно, две кривые (с общими концами нли замкнутые) называются гомотопными в области 11, если в У) гомотопны пути у, и уг, представляющие соответственно эти кривые. Переходим к доказательству теоремы об инвариантности интеграла при гомотопных деформациях пути интегрирования.
Т е о р е м а 1. Если функция 1 ев УУ (У1), а у| и уа — два пути, гомотопные друг другу в 11 как пути с общими концами или как замкнутые пути, то ) 1дг (3) % % ч Будем считать, что отрезком изменения параметра 1 для путей уг и у, служит У=(0,1); пусть г(з,г): УХУ- У1 — функция, определяющая их гомотопию (см. определение 1). Построим систему квадратиков К „(гп, п=1, ..., Ф), покрывающих квадрат К=УХУ так, что каждый Кы„пересекается с каждым соседним квадратиком (рис, 29). В силу равномерной интеГРАл 83 непрерывности функции е(л,г) квадратики К„„можно выбрать столь мелкими, чтобы образ е(К „) содержался в круге (У „с:У), в котором функция У имеет первообразную Р,„„(мы пользуемся тем, что локально каждая голоморфная функция имеет первообразную).
Фиксируем индекс пт и будем поступать, как при доказательстве теоремы 3 из предыдущего пункта. Вы. берем произвольно первообразную Р „действующую в (У !, а первообразную Р ь действующую в (У,„а, подберем так, чтобы Р !=Р, в пересечении (У !П(Уатт (мы пользуемся тем, что две первообразные [ в этом пересечении могут отличаться лишь постоянным слагаемым). Точно так же подбираем первообразные Р,, ..., Р„,м (так, что Р,„~!=Р,„„в (Увь етПсУ „) и строим функцию Фт(З, У) =Рта[я(я, 1)[ ддя (я, Г)Е=Ктв (П=1,...,)У). (4) Ф(э, 1) =Ф,„(л, У) для (з, 1) енК,„(тп=1,..., й!).
(5) При фиксированном лен У функция Ф(з, !), очевидно, является первообразной вдоль пути у.: ге н(з, 1), 1~У, поэтому по формуле Ньютона — Лейбница ) )с(г = Ф(з, 1) — Ф(л, 0). (б) Далее разберем отдельно два случая: а) Пути у! и у, имеют общие концы. В этом случае по определению гомотопии для любого зев У имеем е(з, 0) =а и е(э, 1) =Ь. Следовательно, функции Ф(з, 0) и Ф(з, 1) локально постоянны в каждой точке У, и, значит, они постоянны на этом отрезке. Таким образом, Ф(0, 0) =Ф(1, 0), Ф(0, 1) Ф(1, 1) и из формулы (б) мы получаем (3). б) Пути у! и ут э а м к н у т ы.
Так как в этом случае г(з, 0) = ь г(з, 1) для любого э~У, то Ф(з, 1) — Ф(з,0) локально постоянна в каждой точке У и, следовательно, постоянна на всем этом отрезке. Поэтому из (6) опять вытекает (3) ') Это можно сделать, так как функпня Фа — Фь будучя локально постоянной н непрерывной на свяаном множестве К!О Ка, постоянна. Функция Ф, очевидно, непрерывна в прямоугольнике К = Ц К „и определена с точностью до постоянного слагаел=1 мого. Мы выбираем произвольно Ф„а Ф, подбираем так,чтобы Ф!=Фа в пересечении К!ПКа '). Точно так же подбираем функции !Эа,..., Ф!и (так, что Фщ=Ф!в+! В КтПКл!+!) и стрэим функ цию свопстВА ГОломОРФиых Функций !Гл.
и 84 Гс(а=О, если у О. < Так как у-О, то этот путь можно в 0 гомотопно деформиронать в замкнутый путь уг: г=г,(/), ген/, лежащий в некотором круге (/с:О. По теореме 3 предыдущего пункта функция/ имеет в (/ первообразную Е, и, следовательно, первообразной / вдоль у, будет функция Е(г,(4)). Так как г,(О) =г,(1) =а (путь у, замкнут), то по формуле Ньютона — Лейбница ) Г с(г = Е (а) — Е (а) = О. Но по теореме ! интегралы от ) по у и у| равны, следовательно, интеграл от / по у равен нулю м Так как в одиосвязпой области каждый замкнутый путь гомотопен нулю, то для таких областей теорема Коши формулируется особенно просто: Те о р ем а 3 (К о ш и). Если функция / голоморфна в одно- связной области Ос:С, то ее интеграл вдоль любого замкнутого пути у с:// равен нулю.
Ввиду важности этой теоремы приведем еше ее элементарное доказательство в двух дополнительных предположениях: 1) производная Р непрерывна ') в /у и 2) у — гладкий жорданов путь. Из второго предположения следует, что у является границей области О, принадлежа|пей областа /т в силу одиосвязности последней. Первое предположение позволяет применить известную из анализа формулу Римана Грина ~ Р ох+ Я Ву = ~ ~ ( — — — ) Вх оу, аа в (8) ') Скоро мы убедимся в том, что это предположение выполняетс~ автоматически для голоморфных функций. 3 а меч ание.
Первоначально мы ввели понятие интеграла для пути и затем убедились в том, что фактически интеграл определяется не путем, а кривой, т. е. классом эквивалентных путей. Теорема 1 показывает, что в случае голоморфных функций можно пойти дальше и утверждать, что в этом случае интеграл определяется ие кривой, а г о м о т о п и ч е с к и м к л а сс о и, которому принадлежит эта кривая. Р(з доказанной теоремы просто получается Теорем а 2 (Ко ш и). Ес |и функиггя (ело(1У), то ее интеграл по любому залгкнутому пути у~(), гоиотопно,иу нулю в этой области, равен нулю: $4) интггРАЛ при выводе которой требуется непрерывность в б частных производных функций Р и !'! (через дб здесь обозначается граница области О, проходииая против часовой стрелки). Применяя эту формулу к действительной и мнимой частям интеграла 1да= 1 идх оду+! 1 ода+иву!, да до дв мы получим ов в д Пользуясь символом комплексной производной = (см.
и. 6), мы перепишем да последнее соотношение в виде формулы ~ 1дзй 2! ~ ~ = г)яду, дв с (9) которую можно рассматривать как комплексную запись формулы Ринана— Грина. Так как в силу голоморфности = — = О, то теорема Коши (в сделанных д1 дз дополнительных предположениях) непосредственно вытекает из этой формулы. Из теоремы Коши (в последней формулировке) просто выводится глобальная теорема о существовании первообразной для о д н о с в я з н о й обл асти: Т е о р е м а 4.
Всякая функг(ия [, голоморфная в односвязной области )), имеет в этой об'ласти первообразную. 'т! < Покажем, что в й интеграл от 1 по незамкнутому пути не зависит от выбора этого пути и полностью определяется его началом и концом. Б самом деле, пусть у! н уз — два пути, соединяющие в 0 точки пи Ь (рис. 30). Без ограничения общности можно считать, что для у! параметр Рис. 30. меняется на отрезке [а, рз], а для у! — на отрезке [(з» (3] (сс<[3с(~). Обозначим через у объединение путей у, и у; это — замкнутый путь, лежащий в области .О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
