Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 17
Текст из файла (страница 17)
По свойствам интегралов СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. !! Зб но по теореме 3 интеграл от 1 по любому замкнутому пути у ~ Р равен нулю, отсюда и следует наше утверждение '). Фиксируем теперь точку а ни 0 и будем считать а началом пути, лежащего в Р, конец которого з будем считать произвольным. Интеграл от [ по этому пути (который мы обозначим через пз) является функцией точки вч (10) Повторяя в точности рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2 из предыдущего пункта, мы убедимся в том, что Р голоморфна в 0 и что Р'=1 в каждой точке геи0, т.
е. что Р является первообразной 1 в области 0 и ! Пример функции 1= — в области (0<[г) <2) (см. замечание 2 в предыдущем пункте) показывает, что условие односвязности области в этой теореме существенно: для Многосвязных областей глобальная теорема существования первообразной, вообще говоря, неверна. 17. Обобщения теоремы Коши.
Тот же пример показывает, что в многосвязной области интеграл от голоморфной функции по замкнутому пути не обязательно равен нулю, т, е. теорема Коши в том виде, как она сформулирована в теореме 3 предыдущего пункта, на многосвязные области не распространяется. В формулировке теоремы 2 порядок связности несуществен. Очевидно, что замкнутая кривая гомотопна нулю в области О, если она является границей некоторой области 6 я==0 (ее можно деформировать в точку, стягивая в точку область 6). Поэтому теорему Коши можно формулировать еще и так: если функция 1 голоморфна в области О, а область 6 а==0 и ограниченанепрерывной кривой д6, то интеграл от ) по д6 равен нулю, Для применений полезно иметь обобщение этой теоремы на случай, когда область 6 не обязательно односвязна.
Чтобы сформулировать это обобщение, введем: О и редел е н и е. Пусть. граница компактной') области 6 состоит из конечного числа замкнутых кривых у„(о=О,..., и — 1), Будем считать, что внешняя граница уш т. е. кривая, отделяющая точки 6 от бесконечной точки, ориентирована против часовой стрелки, а остальные граничные кривые у„(у=1, ..., и — 1)— ') Это утверждение можно получить непосредственно из теоремы [, если воспользоваться замечанием, что в односвязной области любые два пути с обшими концами гомотопны друг другу.
з) Напомним, что компактной называется область О, замыкание которой н С состоит лишь нз конечных точек (О щС), $41 ИНТЕГРАЛ ат по часовой (иными словами, граничные кривые ориентированы так, что область во время обхода границы всегда остается слева (рис. 31).
Границу области 6 с такой ориентацией мы будем называть ориентированной границей и обозначать символом д6 '). т т т 4 1 ! Ф \ и \ д ЯР Рис. 32. Рис. 31. Теперь мы можем сформулировать обобщение теоремы Коши, о котором говорили выше: Теорема 1. Пусть функция (~10(Р) и 6 — любая компактно принадлежащая Р область, ограниченная конечным числом кривых. Тогда интеграл от ) по ориентированной границе области 6 равен нулю; < Проведем в 6 конечное число разрезов А,, связывающих компоненты границы этой области (на рис. 32 мы для наглядности изобразим эти разрезы, состоящими из двух берегов).
Очевидно, что замкнутая кривая Г, состоящая из ориентированной границы д6 и совокупностейЛ'= () Х,' и Л = () А„,,гомотопна нулю в области В '). В силу свойств интегралов ~) де= ~ удг+ ~)йх+ )г тйг= )г)дг, г ао Лт л- ов а так как Г 0 в Р, то по теореме 2 предыдущего пункта мы получаем (1) В некоторых вопросах полезно иметь более общий результат о равенстве нулю интеграла по границе самой области 11, а не только областей, компактно ей принадлежащих. Ясно, что без дополнительных условий такой результат получить нельзя, ибо функция может не быть' определенной на д0. Мы ') Здесь мы пользуемся геометрическими представлениями об ориентированной границе.
Формальное ее определение см. в п. 13 ч. 11. з) Это можно доказать индукцией по числу компонент д0. Заметим однако, что формальное доказательство всего проводимого здесь построения достатечно громоздко. (ГЛ. г! свОнствл ГОлОМОРФных Функ!н!н (2) общности можно считать, что с) — односвязная обив одной кривой), ибо приемом, примененным прн доказательстве теоремы 1, обший случай сводится к этому.
Дальнейшее доказательство ') разобьем иа трн этапа. 1'. Пусть у — спрямляемая кривая к й(у) — ее диаметр '); пусть плоскость С покРыта сеткой прямых, параллельных координатным осям, причем сторона квадратов сетки е < = й(у). 1 3)' 2 (3) < Без ограничения ласть (т. е. 61) состоит Докажем, что сумма диамггроа квадратов сет- Р!гс. ЗЗ. ки, пересекающихся с у, не превосходит 9 )//2(у!, где !у! — длвна кривой у. В самом деле, пусть (К/), / /и К вЂ” (конечная) совокупность квадратов сетки, пересекаюшихся с у, и К; — квадрат со стороной Зв с тем же центром, что Кь н так же расположенный (рнс. ЗЗ).
В силу условия (3) у должна / / выходить на границу дКг, следовательно, длина части у, лежащей в Кг, !уПК,'~~ . ~ч ~~ 1 у П К,' ) ( 9 1 у 1, !а/ (4) Кроме того, мы имеем нбо !у! = ~л~~ )уПК!1 а в сумме ~~.', )1уПК/'! мы считаем кажду!о из длин саг /юг )у П К/1 не более 9 раз. Из неравенств (4) и (5) получаем, что л'.г '1(Кс) = ~л'./ а У/2<)/2 ~ /уПК, /(9)/2)у!. (6) с г 2'. Пусть функция г* определена на множестве М с С и 6 — положительное тело, Модулем непрерывности ) на М называется величина ы/(б) =зир (((г/) — Цгз) ! для г!, гаса М,(г/ — гг1(6.
Известна, что если М вЂ” компактное замкнутое множество, то для непрерыв. ности ) на нем необходимо и достаточно, чтобы ы/(6) -+О при 6-+О. ') Это доказательство нам сообшил Л. Д. Иванов. г) Под диаметром й(М) множества М ~С понимается аеохняя грань расстояний (г' — ги! между тачками г', г" гнМ. приведем естественные дополнительные условия, в которых такое обобшенне теоремы Коши имеет место. Т е о р е и а 2. Пуста функйия 1 голоморфиа э комлактной области Д, ограниченной конечным числом слрямлягмых кривых, и непрерывна в Б.
Тогда интеграл от ( по ориентированной границе этой области равен арлю: $4) ИНТЕГРАЛ Докажем, что если / непрерывна иа замкнутой слрялляелой кривой у, го (7) где й(у) — диаметр кривой у. В самом деле, в силу того, что интеграл от йг по Ч равен нулю, для любой точки г, рп Ч имеем / йг ~ (/ (г) — / (гр)] йг. Ч Ч Тэк кан (/(г) — /(гр)) съ сот(й(у)) для всех г яу, то отсюда простой оленкой получаем (7). 3'.
Теперь будем доказывать утверждение теоремы. Понроем С сеткой, как в !', и представим интеграл (2) в виде ~/й -',~, ~ /йг+',~, ~'/йг, дп г г д(ппкр) дК) (3) где первая сумма распространена на квадраты (К4), 4'гый пересекающиеся с д0 Ч, а вторая — на квадраты, целиком состоящие из внутренних Рис. 34. точек 0 (она равна нулю по теореме Коши). Для каждого ( ш/ пересечение 0 Й Кр состоит из конечного или счетного множества компонент (на рис. 34 0Й К;, состоит из одной компоненты, а 0 Й Ки — из трех). К границе каждой компоненты 0 Й К» мы применим неравенство (7), в иотором первый множитель заменим величиной ы (е)' 2)— / модулем непрерывности / на 0 для Ь= е)' 2 (мы учитываем, что диаметр границы каждой иомпоненты не прсвосходит а ) 2 и что ы(б) — неубываю- д шая функция от б). Затем мы сложим все такие неравенства (при фиксированном Г) и учтем, что объединение границ всех иомпонепт состоит из Ч ЙКг и неиоторого множества точек на йКо длина которого не превосходит )дК4(=4э.
Таким образом мы получим ! ) ~Р*/~.,ЬГП ~~,Рхи+~Ч. д (юпкс) Подставляя это в (3), будем иметь ! ) /йг14 ы)(э г 2) ~ ((ЧЙкр)+4э) ы (а'гг2)~ )у(+4 ~~~а~. геп Рмт / Теперь воспользуемся неравенством (б), из которого следует, что ~~ а ~~ 4ыг (9(у(, получим свонствд ГоломоРФных Функций 1гл. и Остается заметить, что в силу равномерной непрерывности 1 на 0 величина ыг(а)'2)стремитса к О при е-+О, а так как е можно звать сколь угодно малым и оцениваемый интеграл не зависит от е, то он равен нулюв 18. Интегральная формула Коши.
Здесь мы получим представление функций, голоморфных в компактной области, при помощи интеграла по границе этой области. Такое представление, как мы увидим, находит важные применения как в теоретических, так и практических вопросах. Теорем а 1. Пусть (гвН(0) и 6 — компактно принадлежаи(ая П область, ограниченная конечным числом (непрерьчвньгх) кривых.
Тогда в любой точке гы6 функция 1 представимо в виде 2ги Т )К) ро где д6 — ориентированная граница 6 (см. стр. 8?). Величина в правой части этой формулы называется интегралом Коши. м Возьмем р>0 таким, чтобы круг Нр— - (г'. ~г' — г'1(р) яд 6, и обозначим бр — — 6' Ор. Функция а (ь) = — голоморфна 1К) в Пр, как частное двух голоморфных функций со знаменателем, отличным от нуля. По теореме 1 предыдущего пункта (она применима, ибо у голоморфна в некоторой области, компактно содержащей бр) имеем до где окружность д()р=(ь: ~~ — г1=р) ориентирована против часовой стрелки.
Таким образом, 11(ие1 1 (' И)е1 2 яч,) ( — г 2ги,) С вЂ” а ьо айр где число' р>0 можно считать сколь угодно малым. Так как функция ) непрерывна в точке я, то для любого е>0 можно выбрать число б>0 столь малым, что прн р<Ь ))(Р— )(г)! <е для всех ~ядУр, 5 л1 ИНТЕГРАЛ 91 Поэтому разность 1) (3) 1 по абсолютной величине не превосходит — е 2а = е и, следо- 2И вательно, стремится к нулю при р- О. Но, как видно из (2), левая часть (3) не зависит от р, следовательно, она равна нулю при всех достаточно малых р, т. е. Г(г) = †.
( Г 1(г) йс 2и! й — г вй Отсюда и из (2) следует формула (1) 3 а меч ание 1. Если в условиях теоремы 1 точка г лежит вне О, то Это утверждение следует непосредственно из теоремы Коши, ибо здесь функция д(~) = — голоморфна в й. 1(1) 3 а м е ч а н в е 2. Если вместо теоремы 1 предыдущего пункта мы исполь- зуем теорему 2, то получим такую теорему: Теорем а 1'. Если Чгункция 1 голоморфна в компактной области О, ограниченной конечным числом слрямляемых кривых, и непрерывна в О, то 1(т) йвт ~ 1(г) для всех г ~м О, (5) 2ги г ь — г 1 О для всех гяС';О, ао где дР— ориентированная граница О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
