Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В самом деле, если такой ряд построен, то его частичные суммы с достаточно большими номерами, очевидно, удовлетворяют условиям задачи. Для доказательства обратного утверждения воспольз ! зуемся леммой о компактном исчерпыЛ ем м а. Для любой области 0с:С ~~М ! ванин: можно построить компактное исчерпывание, т. е. последовательность таких замкнутых (в топологии С) множеств К„, что Рис. 37. К,с:К с ...с:К„с:..., (6) причем все К„~0 и каждая точка ген0 принадлежит всем К„, --- ---"-( -ик.). ч-! ч В качестве К„можно взять множества К„= ~а ~0Д (~ г1~(п): р(г, д0)) — ~, где р(г, д0) — расстояние от точки г до границы области и п=(, 2, ... (рис.
37) 3 а меч а н ие. Фиксируем точку г,ен0 и обозначим через 6.„ связную компоненту открытого ядра К„, содержащую г, (начи- ная с некоторого п=п, все они непусты). Тогда мы получим компактное исчерпывание 0 областями а,са,... сб„е==.,„ (7) причем все О„ей 0 и 0 = Ц 0„. ч 1 Так как функция р(г, д0) удовлетворяет условию Липшица, т, е, для всех х', г"ен0 имеем ~р(г', д0) — р(г", д0) ~ (~а' — хп(, э 51 Ряды теллоРА то границы областей б„состоят из конечного числа спрямляемых кривых. Более того, покрывая ьй„конечным числом кругов достаточно малого радиуса, мы можем построить последователь/ ность областей й„с кусочно гладкими границами, также компактно исчерпывающую П, Наконец, заметим, что если область П односвязна, то и области П„ее компактного исчерпывания можно считать односвязными.
Вернемся к прерванному рассуждению. Пользуясь леммой, нетрудно доказать, что если для области 1) задача о равномерном приближении полиномами разрешима, то в ней любую функцию )енН(П) можно представить рядом из полнномов, равномерно сходящимся на каждом К а П. В самом деле, построим компактное исчерпывание 0 = Ц К„, как в лемме, и построим а 1 последовательность полиномов Р„ таких, что 11 à — Рь 1!к„( — н (и = 1, 2, ...). (8) Тогда ряд Р, (и)+ 2 (Рьы ( ) — Р„( )) л ! (9) будет искомым.
В самом деле, его п-я частичная сумма равна Р„ и поэтому в силу (8) оп сходится к 1 равномерно на каждом К ~П (каждое К к==)9 принадлежит всем К„, начиная с некоторого номера, и, следовательно, ~~~ — Р„~~к<в для любого а)0, если п достаточно велико). Если область )9 представляет собой круг У=()г — а|<Я), то поставленную задачу решают полиномы Тейлора функпии г с центром в точке а: Р„(г)=)(а)+т'(о)(г — а)+ ... + „, (г — а)'. (10) $м! (а) Действительно, мы знаем, что 1 представляется в у рядом Тейлора, причем этот ряд сходится равномерно на компактных подмножествах П. Однако степенные ряды сходятся лишь в кругах, поэтому полиномы Тейлора непригодны для приближения функций в областях более общего вида.
Вопрос о приближении функций в односвязных областях решает Те о р е м а 2 (Р у н г е). Пусть функция 1' голоморфна в односвязной области Пс:С и К вЂ” произвольное компактное 1гл, н своиства голомороных вуикции 1)о подмножество Р. 7'огда длл любого е>0 найдется полинам Р такой, что 'аЧ вЂ” Р%к <в. (11) < Построим односвязную область Р с кусочно гладкой границей дб=у такую, что К ей Р яР (см. замечание после леммы). Для любой точки зенК по интегральной формуле Коши имеем 7" (г)= — „,. ) —, Ь. ) ю (12) Докажем сначала, это 7' можно приблизить на К р а ц и о пал ьн ыми функциями.
Для этого разобьем у на участки точками (о=1, ..., У), взятыми в порядке обхода у, обозначим через у, участок у между ь„н ~„еь положим Ль,=ь,+~ — ь„( мы считаем ьнча=Ь1) н рассмотрим рациональную функцию (13) Имеем, очевидно, ч-1 т (14) Так как функция — двух комплексных переменных г и Ь не- 1(ь) ь — з прерывна на компактном множестве Кху четырехмерного пространства (в, ь) '), то она равномерно непрерывна на нем. Поэтому для любого з>0 можно выбрать у„столь мелкими, что для всех Ьа= у„и всех а я К. Подставляя эту оценку в (14), найдем 117 — ь" Ь~ —,~ )у~ ! где ~у~ — длина у. Возможность приближения 7 рациональными функциями вила (13) доказана.
Остается показать, что любую функцию вида (13) можно приблизить равномерно на К пол иномами. Для этого достаточно доказать, что на К равномерно приближается полийо- ') Через АХВ обозначаетси произведение множеств А и В, т. е. совокупность всех пар (о, Ь), где а ыА и Ь ~н В. Ряды теплоРА мами любая функция —, где Ь„евдо — произвольная точка.
1 ь» — г' Докажем большее: пусть ст' — область такая, что К а 6' а= =О и дополнение Л=( ~б' связно '); тогда множество б = ~а ен Л: — приближается равномерно на К полиномами(. 1 имеем 1 ~~ (а — о)" (о» вЂ” л)"+' ль — л 1 1 л — г оо л причем ряд сходится равномерно на К, а так как — и, зна- 1 ае — з 1 чит, ( „приближаются на К полиномами, то частные (о» вЂ” л)" суммы этого ряда — тоже, т. е. а~~. Таким образом, И' является непустым и одновременно замкнутым и открытым подмножеством связного множества Л; по теореме 3 п. 4 Й' =Л ь 3 а м е ч а н и е. По существу тем же методом доказывается, что любую функцию (, голоморфную на открытом (не обязательно связном) множестве ьз со связным дополнением, можно приблизить полиномами равномерно на каждом К а=: д, ') Такую область б» можно построить нл оснонаиии доказанной леммы н одиоснизности области О.
совпадает с Л. Множество Ь непусто, ибо оно содержит внешность круга ((з~(йз), в котором лежит К. В самом деле, для лзобого а, 1 )а(>)с, функция голоморфна в ((г((тс) и, следовательно, равномерно приближается в этом круге (а значит, и на К) своими полиномами Тейлора с центром а=О. Множество И" замкнуто (в топологии Л), ибо если последовательность точек а„сна' сходится к некоторой точке аенЛ, то и последователь- 1 ность функций равномерно на К сходится к (пря а=со последнюю надо заменить тождественным нулем), а так 1 как все — равномерно на К приближаются полиномами, то ои 2 и — также.
Но в то же вРемЯ а и откРыто: пУсть ао ~ б' и 1 о л а — любая точка из круга (а — а,!< 1и( (а — а(; г к 112 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЯ 1гл. н (Вторая часть доказательства не меняется вовсе; в первой части нужно построить открытое множество 6, К а= =6 ~В, с границей у=д6, состоящей из конечного числа кусочно гладких кривых, и заметить, что формула (12) распространяется на этот случай.) С другой стороны, для многосвязных областей задача о приближении голоморфных функций полиномами, вообще говоря, неразрешима.
Причину этого мы выясним позже (см. п. 35). $ 6. Ряды Лорана и особые точки Ряды Тейлора приспособлены для представления голоморфных функций в кругах. Здесь мы рассмотрим более общие ряды по положительным и отрицательным степеням (г — а). Такие ряды представляют голоморфные функции в концентрических кольцах (т=-(гяС: т<1г — а1<й), г>~0, й <ОО. Особенно важны разложения в кольцах с нулевым внутренним радиусом, т.
е. проколотых окрестностях. Эти разложения позволяют изучать функции в окрестности точек, где онн теряют голоморфность (особых точек). 23. Ряды Лорана. Тео рем а 1 (Лоран). Любую функцию 1, голоморфную в кольце У'=(г<'~г — а~ <й), можно вэтом кольце представить как сумму сходящегося ряда ) (г) = ~~'.~ с„(г — а)", коэффициенты которого определяются по формулам где г<р<1(. ч Фиксируем произвольную точку ген*у' и построим кольцо Г=(Ь: г'<~~ — а~ <1с) такое, что г~(т'Е= =(т.
По интегральной формуле Коши имеем где окружности Г'=(1ь — а1=)с') и у'=(~~ — а1=г) ориентированы против часовой стрелки. Зб) РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ Для всех ~ен Г' имеем ~ ~ ~=д<1, поэтому геометрическая прогрессия 1 1 аз,т (т — а)л а а 1,ла( (й л)лт~ (Ь л) (1 ) л-б г — а) сходится равномерно по ь на Г'. Умножая ее на ограниченную ! функцию — „, 1(ь) (что не нарушает равномерной сходимости) и интегрируя почленно вдоль Г', получаем Г 1(г) йс кз 2 ей,) С вЂ” аЗа( =Г с(г — а)", г л 0 (4) где сл = — ) л„(и = О, 1, ...).
Г 1(ийй 2л1, (й — а)л+~ (5) Второй интеграл в формуле (3) придется разлагать иначе. / 14 — а При всех Ьену имеем ~ — ~=д!<1, поэтому мы получаем равномерно сходящуюся на у' геометрическую прогрессию так: Х (й — а)л л)л (г — а) (1 — — ) л ! Снова умножая ее на ограниченную функцию — „,. ) (Ь) и ннте- 1 грируя почленно вдоль у', получаем ( 1(ь)йь ~з и 2л(,) Ь вЂ” з а'л (г — а)л ' (б) где (а = 1, 2, ...). (7) .т Б. В. Шабат Заменим теперь в формулах (б) и (7) индекс л, пробегающий значения 1, 2, ..., индексом — и, пробегающим значения 1гл. н сВОЙстВА ГолОмОРФных ФункциЙ 114 — 1, — 2, ... (это ничего не меняет), и обозначим ') с„=с( = —,. ~ 1(ь)(ь — а) " аь (а= — 1, — 2, ...); (8) т' тогда разложение (6) примет вид Г 1К) йй Ся — — с (г — а)".
аи1,) с — а .ь,а « . (6') « -1 Теперь подставим (4) и (6') в (3); получим нужное разложение (1): ) (г) = ~ с„(г — а)", где ряд определяется как объединение рядов (4) и (6'), Остается заметить, что по теореме об инвариантности интеграла в формулах (5) и (8) окружности Г' и у' можно заменить любой окружностью (~ ь — а ~ =р), где г<р<тт, и тогда эти формулы примут вид (2) > Определение. Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формулам (2), называется рядом Лорана функции Г в кольце (г.
Совокупность членов этого ряда с неотрицательными степенями называется его правильной частью, а совокупность членов с отрицательными степенями — глазной частью (естественность названий выяснится в следующем пункте). Рассмотрим основные свойства рядов по целым степеням г — а. Как н выше, мы О предел им такой ряд 21 с«(г — а)" (9) как объединение рядов (Х1): ~ с„(г — а)" и (Хт)1 2!1 с„(г — а)". (10) «-о «--1 Ряд (Х1) представляет обычный степенной ряд; его областью сходнмости является круг (~г — а~ <тг), где число тс определяется по формуле Коши — Адамара — = 11ш ф'( с„!. (11) « -и ') Заметьте, что с с отр и дятел ьимм и индексами до сил иор ие употреблялись.
гяды логана и осовьш точки Ряд (Еэ) представляет степенной ряд относительно перемен- 1 г- —: г — д ' (Х ): Х с,Л". (12) Поэтому его областью сходимости является в н е ш н о с т ь к р уг а (!г — а(>г), где по формуле Коши — Адамара, примененной к ряду (!2), г = 1пп )«! с л). (13) Число )т не обязано быть ббльшим г, поэтому область сходимости ряда (9) может быть пустой. Однако если г<)т', то областью сходимости ряда (9) будет кольцо )«=(г<!а — а! <«с). Заметим, что множество точек сходимости ряда (9) может отличаться от Р на некоторую совокупность точек, принадлежащих д(«. По теореме Абеля ряд (9) сходится равномерно на любом компактном подмножестве кольца )«, поэтому по теореме Вейерштрасса его сумма голоморфна в )«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
