Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Аналогично мы будем поступать при определении кусочно гладкой н спрямляемой кривой. В первом случае мы потребуем, чтобы допустимые замены параметров были непрерывными и всюду, кроме, быль может, конечного числа точек, имели непрерывную и положительную производную (а в исключительных точках имели односторонние производные). Во втором случае потребуем, чтобы замены параметров осуществлялись возрастающими абсолютно непрерывными функциями '). Иногда мы будем пользоваться и другой, геометрической трактовкой понятия кривой и тогда понимать под жордановой, гладкой, кусочно гладкой нли спрямляемой кривой множества точек у с: О, которые можно представить как образ отрезка [а, !)1 при отображениях г=г(!), определяющих соответственно, жорданов, гладкий и т.д.
путь, 4. Области. О п р еде т ение !. Областью Р называется множество точек О (или С), обладающее следующими двумя свойствами: а) для любой точки а еиР существует окрестность этой точки, принадлежащая Р (открытость); ') Мы считаем известным, что для спрямляемости пути необходимо н достаточно, чтобы функция а(1)=х(1)+!у(1) имела ограниченное изменение. (т. е. х(1) и у(1) были с ограниченным нзмеиевием), а также что суперпозиция а(1(т)], где а(1) — фуннция с ограниченным изменением, а г(т) — абсолютно непрерывная функция, также является фуннцией с ограниченным изменением.
По этому поводу см. Г. Е. Шилов, цнт. на стр. 17. голомОРФные Функции !гл. ! б) для любых двух точек а, бенР существует лежащий в Р путь с концами а и и (с в я з ность). Точки С, не принадлежащие Р, но являющиеся предельными для ее точек (т.е. такие, что в любой их окрестности существуют точки, принадлежащие Р, и хотя бы одна точка, не принадлежащая Р), называются граничными точками Р.
Совокупность всех граничных точек Р называется границей этой области и обозначается символом дР. Объединение области Р и ее границы дР совпадает с замыканием .О. Точки С, не принадлежащие Р и не являющиеся ее граничными точками (т.е. точки множества Ок Р— дополнения к Р), называются внешними точками; для каждой из них существует окрестность, не содержащая точек Р. Т е о р е м а !.
Граница дР любой области Р является замкнугыл! лсножгством. < Пусть ~е — любая предельная точка множества дР; надо доказать, что ьо ен дР. Возьмем произвольную окрестность У точки ~о. В У существует точка ~ен дР, и, следовательно, найдется окрестность )У точки ч, )У~У. В )т, а значит и в су, найдутся как точки из Р, так и точки, не принадлежащие Р. Это означает, что чо — граничная точка Р > В дальнейшем мы будем иногда вводить на гравнцы рассматриваемых областей некоторые дополнительные условия. Чтобы нх сформулировать, обобщим введенное выше понятие связности. О и р е д ел е н и е 2. Будем говорить, что множество М связно, если его нельзя разбить на две непустые части М! и Ме так, что оба пересечения М!()Мз н Мг(!Мз пусты. В частности, замкнутое множество называется связным, если его нельзя разбить на два непересекающихся замкнутых (н непустых) подмножества.
Замкнутое связное множество называют континуумом. Свойство множества, выражаемое условие б) из определения ! (возможность соединить любые две точки множества путем, лежащим на этом множестве), называют линейкой связностью. Можно доказать, что любое линейно связное множество является связным, но обратное, вообще говоря, неверно.
Однако для случая открытых множеств эти понятия совпадают '). Пусть множество М несвязно. Максимальные связные подмножества М (т.е. не содержащиеся строго ни в каком другом связном подмножестве М) называются связными колтггонентами М. Можно доказать, что любое множество является объ- ') Доказательство см. б. П т о и и о о, Теория фуикгситс комплексиого персмеииого, т. 1, М., !96йо, стр 3!.
кОмплекснАя плоскость единением связных компонент (в конечном или бесконечном числе) '). Мы будем называть область Р ~ х., односвязной, если ее граница дР является связным множеством; в противном случае Р называется многосвязной областью. Если число связных компонент д0 конечно, то это число называется порядком связности области .0; если число таких компонент бесконечно, 0 называется бесконечно связной областью. в) П р и м е р. Множество на рис. 4, а — внутренность лемнискаты — ве является областью, ибо оно несвязно (но замыкание этого множества связно).
Множество точек, лежащих между соприкасающимися оиружностями (рнс. 4, б),— односвязная область (ее тра. ница — связное множество). На рис. 4, е изображена четырех- связная область (ее гранина 4 состоит нз четырех связных компонентт окружности, окружности с отрезком и двух точек). Область на рис. 4, г — квадрат (0<х<1, 0<у<1) с выброшенными отрезками и= 1, 2, ..., — является бесконечно связной. у l г) Рис. 4. ~х = —,„, 1 2) 3 3)' ') См. Ф.
Х а у с до р ф, Теория множеств. ОНТИ, М,— Л., 1937, стр. 120, Иногда мы будем вводить условия иного рода. Мы будем называть область Р жордановой, если ее граница д0 состоит нз замкнутых жордановых кривых (в геометрической трактовке этого понятия). Назовем область Р компактной, если существует круг ((г) <)с, )с<оп), содержащий Р. Будем говорить, что множество М компактно прггнадлежит области Р, если его замыкание М (в топологии С, т. е, с учетом ие только конечных, но и бесконечной предельной точки М, если она есть) принадлежит Р. 11 П р и и е р, Прямоугольник 6, ~ ( х ) < 1,1 у ) < — т компактно прннад- 2) 11 лежит полосе (1=(1 у)<1), а вдвое более узкая полоса оз=~ ( у( < — ( при- 21 надлежит Р, но не компактно. голоьнорфныв отнкции !гл. т Компактную принадлежность мы будем записывать символом ~ (так что М «й0, если М с: 0), Компактность области 0 означает, что П ~ С.
Далее будет неоднократно использоваться следующая Теор ем а 2. Пусть М с: С вЂ” связное множество и У вЂ” его непустое подмножество. Если У является одновременно и замкнутым и откртнтым в относительной топологии') М, то М=гч'. м Пусть, от противного, множество У'=М' У непусто. Замыкание У множества У в топологии С, очевидно, состоит из точек его замыкания (У)ьг в топологии М и некоторого множества (быть может, пустого), не принадлежащего М. Поэтому УЙЛ1'=(У)мЙУ', а так как У замкнуто в топологии М, то (Ж)м —— Л' и, следовательно, УЙЛг'=ЙЙМ' пусто. Но так как М и открыто в топологии М, то его дополнение У' замкнуто в той же топологии (предельные точки У' не могут принадлежать У в силу открытости последнего, следовательно, они принадлежат Ю'). Поэтому к пересечению У'ЙМ можно применить то же рассуждение, что и к УЙХ', следовательно, У'ЙУ пусто.
Это противоречит определению связности М ь й 2. Функции комплексного переменного 5. Понятие функции. Определение !. Говорят, что на гнномгестве Мс:.С задана функчия 1, если задан закон, по которому каждой точке зеиМ ставится в соответствие комплексное число и (конечное или бесконечное); обозначения М -+ С или щ=1(г).
(!) Согласно этому определению всякая функция о д н о з н а чн а (понятие многозначной функции мы введем в гл. П1). Иногда мы будем еще накладывать условие взаимной однозначности, Функция 1: М вЂ” С называется взаимно однозначной или однолистной, если она преобразует различные точки гь гзенМ в различные, иными словами, если из равенства 1(гг) =1(гз) следует равенство гге яз (для гч гяыМ). Задание 1 равносильно заданию д в у х д е й с т в и т е л ь н ы х функций и=и(г), о=о(г), (2) где и: М- )ч и о: М- (ч (мы полагаем ге х+1у и 1(г) = =и+1о). Если еще 1ФО, чьсоз), то, полагая 1(г) =реть, мы ') Относительной топологией множества М <: С называется топология, в которой окрестностями точек являются пересечения с М окрестностей тек же точек в топологии С.
') Так мы будем писать, если 1(а) чьо, чь со для всел г ~ йт. функции комплексного переменного $21 можем записать эту функцию в виде двух соотношений; р=р(з), 2)=тр(г)+2яп (А=О, ~1, ...) (3) (в точках, где (=О, =оп, функция р=О илн =па, а ф не определена). Мы постоянно будем пользоваться геометрической иллюстрацией понятия функции. Задание (2) наводит на мысль иллюстрировать 1 в виде двух поверхностей и=и(х, у) и пг о(х, у) в трехмерном пространстве; однако этот способ неудобен, ибо ои не иллюстрирует пару (и, о) как комплексное число. Поэтому ограничимся представлением о функции (: М - С как об отображении множества М в сферу С.
Чтобы сделать это представление более наглядным, будем рисовать множества, соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении. Чаше всего мы будем рисовать координатные линии (декартовой или полярной системы координат) и их образы на плоскостях е и ш.
Снабдив эти множества числовыми отметками, мы в простых случаях получим достаточно хорошее геометрическое представление о функции. П р и м е р. функцию (4) в верхней полуплоскостн (!ге а>0) удобно представить в полярных Рис, 5. координатах, Полагая а=ге е(0«р(п) и ю=ре Е, мы можем переписать иа те равенство (4) в виде следующих двух: р=,т ~Р=2~> (5) (см. правило умножения комплексных чисел в полярных координатах, п.
1). [ГЛ. 1 ГОЛОМОРФИЫГ ФУНКЦИИ Из (5) видно, чта полуакружность (г=ги 0<ср<л) при рассматриваемом отображении переходит в окружность с выколотой точкой (р = гзо, 0 < ф < < 2и), а лУч (0<с< са, су=1Ра) — в лУч (0<Р< аа, ф=2~Рз) (Рис. 5). ВеРхнЯЯ полуплоскость це 2>0 переходит в плоскость ш с выброшенной положительной полуосью. Удобно прелставить полуплоскость в виде эластичной пленки, натянутой на две полуоси (положительную и отрицательную, которые шарнирно соединены в начале координат) так, что пленка может свободна скользить па этим полуосям. Тогда преобразование (4) можно интерпретировать как деформацию пленки, происходящую оттого, что полуоси складываются друг с другом. Отображение (4) можно представить и в декартовых координатах в виде двух равенств: и=хе — уз, о=2ху (6) и зу -3-зт -l у 7 Е 3 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
