Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1. О предел ение 2. Лоследоватегьносгью (а„) будем называть отображение в С (или С) множества целых неотрицательных чисел (иными словами — функцию целого неотрицательного аргумента, принимающую комплексные значения). Точку пыжа (нли С) будем называть предельной точкой последователоностгг (а„), если в любой окрестности а в топологии С (или С) найдется бесконечно много элементов этой последовательности. Последовательность (а„), имеющую в С единственную предельную точку а, будем называть сходящейся к а; это будем записывать так: (4) ((гп а„= а. нь 3 з меч з н ие.
Между понятиями предельной точки последовательности (а„) и множества значений (аь) имеется различие. Нзнрнмер, последовательность а, = 1 (я=о, 1, 2, ...) имеет предельную точку а= 1, з множество (аь), состояшее из одной точки а„= 1, предельных точек нс имеет. Мы предлагаем читателю доказать следующие утверждения: 1) последовательность (а„) сходится к а тогда и только тогда, когда для любого е>0 найдется натуральное число Лг такое, что для всех п )~ Аг выполняется неравенство 1а„— а! с е (еслн аФ оо) или р(а„, а) (е (если а= оо); 2) точка а тогда и только тогда является предельной для последовательности (а„), когда существует подпоследовательность (а„~), сходящаяся к а.
Комплексное равенство (4), вообще говоря, равносильно двум действительным равенствам. Пусть аФ оо, тогда, не ограничивая общности, можно считать, что и а„Ф оо, и положить а„=а„+((з„, а=а+гр (для бесконечной точки понятия действительной и мнимой частей не имеют смысла); легко доказать, что (4) равносильно равенствам (пп а„= а, (ггп р„= р '), (5) н-~ю" я "ь ') Для доказательства достаточно воспользоваться соотногнением нгзх ( ! ал - а !, ! Рн — Р ! ) ( ! ая — о !- -ут:ь7гтг -ги~~ — ~+~г.-гй !Гл.
! ГОЛО>!ОРФНЫП ФУНКЦИИ 20 В случае аФО, эь оо можно считать, что и а„ФО, Ф оо, и положить ал=гле!"', а =ге!Ф; тогда (4) имеет место, если 1пп гл = г, !Ип фл = <р, (6) и обратно, если (4) имеет место, то имеют место и соотношения (6), причем второе — прн надлежащем выборе значений ф„'). Если а=О или оо, то (4) равносильно одному соотношению 1!гиги=О нлн )ипг„=со (поведение !рл при этом несул -> л -> щественно).
Мы будем пользоваться иногда понятием расстояния между множествами М и Л', понимая под этим нижнюю грань расстояний между любыми парами точек, одна из которых принадлежит М, а другая Л!: р(М„Л')= !п! р(г, г ); (7) 2 ям л-ыя вместо сферической метрики здесь можно, конечно, рассматривать и евклидову.
Теорема !. Если замкнутые множества М, Л!с С не пересекаются (МЙ)т'=Я), то расстояние между ними положительно. н Пусть, от противного, р(М, Л') =О. По определению нижней грани существуют последовательности точек г'„еиМ и г'„'еп ~Л' таких, что 1ип р(г,', гл) =О. По принципу компактности пол -> следовательности г„' и г" ,имеют предельные точки г' и соответственно г", причем в силу замкнутости множеств г'АМ, глен.ЛЛ Переходя в случае надобности к подпоследовательностям, можно считать, что г„' — > г', г„"->г". По аксиоме треугольника для сферической метрики имеем р(г, гл) ~ (р(г', г„') + р (г„', г'„') + р (г'„', гл).
Но правая часть стремится к О при и- со; следовательно, переходя к пределу, получаем, что р(г', гл) =О. По аксиоме тождества для той же метрики отсюда следует, что г'=г", а так как г'еиМ, г"~Л!, то это противоречит условию теоремы, по которому М()Л!=Ыь 3. Пути и кривые. Определение 1. Путем у мы будем называть непрерывное отображение отрезка (а, 6] действительной оси в С (или С). Иными словами, путь — это комплекснозначная функция г=г(Г) действительного аргумента 1, непре- ') Если зиаченвя ф выбирать произвольно, то (ф,) может и не сходиться прн сходимости (и,).
кОмплекснАя плОскОсть 21 рывная в каждой точке (ае= [а, р] в следующем смысле: для любого в) 0 существует окрестность [(~ [сс, р]: 11 — (з] < б], для всех точек 1 которой ]г(() — г(1,) [ <е (или р [г((), г((,)]<в, если г((з) = ). Точки а=г(сс) и (У=г(Р) называютсЯ конЦами пути (если а<р, то а — началом, а (у — концом); путь называется замкнутым, если г(а) =г(р). Будем говорить, что путь у: г=г(1), а <( <р, лежит на множестве 111, если г(1)яу)У[ для всех 1 я [а, р].
В некоторых вопросах удобно различать понятия пути и кривой. Чтобы ввести последнее, условимся называть два пути у1: г=г1(1), (я[221 [31], н у2: г=г2(т), те=[с»2 рт], эквивалентными (у, уз), если существует непрерывная возрастающая функция РР т=т((): [сс», ])1] — [аа, ]22] (1) такая, что г,(() =гу [т(1)] для всех ( ы [а», РУ]. нетрудно проверить, что это отношение удовлетворяет обычным аксиомам эквивалентности: рефлексивности (у-у), симметричностити (если у» уа, то уэ у») и тра нзитивности (если У,-У, У-У, Ух-УО.
М РУ» Р Р, у ч у" "м "» У''У П,"., Р..:: ° ° -;. *-~, В, и: У ут з=а(пг, )»=[О, —; у». с=сиз (,1~ О,— уа в= а»п Г, (уы[О, и]. Р ~= Рис. 2. Множество значений 2(1) во всех случаях одинаково — это отрезок [О, 1]. Однако лишь у» уу, пути уу и у» ие эквивалентны этим двум и не эквивалентны друг другу — в них отрезок [О, 1] обходится иначе, чем в первых двух (рис. 2).
Можно сказзть, что у» и ут эквивалентны пути уз, который получается из уз изменением орнентапии (об этом см. ниже в п. 14). О п р ед ел е н и е 2. Кривой называется класс путей, эквивалентных в приведенном выше смысле. Иногда, если это не вызовет недоразумений, мы будем понимать под кривой множество точек ус- С, которое можно представить как образ отрезка [а, и при каком-либо непрерывном отображении г=г((), В дальнейшем нам придется вводить на рассматриваемые пути и кривые дополнительные ограничения. Будем называть путь г=г(1), ( е= [Ух, ]]], жордановым, если отображение г((): [а, р]- С непрерывно и аз а им но од нов н а ч но.
Определение замкнутого жордаиова пути предоставляется читателю, голоморенын еючкции (гл. 1 Путь г(1): [а, р]- (: называется непрерывно дифференцируемогм, если в каждой точке 1 ив : [а, Я существует непрерывная производная г'(1) (под производной функции г(1) =х(1)+)у(1) в точке 1оы(сь, [)) понимаетсл х'(1з)+1д'(1з), а в конЦах отрезка — такая же комбинация соответствующих односторонних производных).
Непрерывно дифференцируемый путь называется гладким, если г'(1) ФО при всех 1ен [а, р], — это условие вводится для избежания особых точек. Путь называется кусочно гладким, если функция г(1) непрерывна на [ы, р] и [а, р] можно разбить на конечное число (замкнутых) отрезков таких, что сужение г 1 на каждый () из этих отрезков определяет гладкий путь. Путь называется спрямляемым '), если почти всюду на [сг, [з] существует г'((), абсолютно ннтегриб) руемая по Лебегу (т. е. существует з ] ]г'(1)]с(1= и р = ~ Йх' (1)]' + Ь' (1)]' б1 а (2) — длина пути). Всякий б) кусочно гладкий путь спрямляем. Рис.
3. В дальнейшем мы бу- дем также пользоваться общепринятыми терминами для описания гладкости функций (в частности, путей); непрерывную функцию будем называть функцией класса Со, непрерывно дифференцируемую — функцией класса С' и вообще функцию, имеюгцую в области ее рассмотрения непрерывные производные до и-го порядка включительно, будем называть функцией класса С". П р и м ар. Пути ть уз и тз из предыдущего примера жордаиоиы, уч— иет. Окружность а=а*', гш[0, 2к),— замкнутый жордаиоа путь (гладкий); четырехлепесткоиая роза а=соя 21е", гш[0, 2и) (рис. З,а),— замкнутый иежордаиоа (гладкий); иолухубическая парабола з=1з(1+О, 1~[ — 1, Ц (рис. 3, б), — жордаиоа (иеярерыиио диффареидируемый кусочно гладкий). ') Всюду а дальиейшем, говоря о спрямляемых путях, мы будем предполагать, что читатель знаком с соотиетстиующими понятиями теории фуихпий действительного переменного.
Читатели, ие знающие этих понятий, вполне могут обойтись классом кусочно гладких путей. кОмПлекснАя плоскОсть Путь а = Г (1+1 з)п — 1, 1~ ] - —, — ((рис. 3, в) — жорданов неспрямляемый (и, следовательно, не кусочно гладкий). Такие же ограничения можно ввести и на кривые. Жорданова кривая — это класс путей, эквивалентных некоторому жорданову пути (так как замены параметров (1) взаимно однозначны, то из жордановости пути следует жордановость всех эквивалентных ему путей), Определение гладкой кривой требует некоторых уточнений: мы должны ввести это понятие так, чтобы оно не нарушалось при замене пути, представляющего эту кривую, любым другим эквивалентным ему путем. Так как непрерывная и возрастающая замена параметра (1) может перевести гладкий путь в негладкий, то понятие гладности не инвариантно по отношению к таким заменам. Поэтому мы должны наложить на преобразование (!) дополнительные условия Именно, гладкой кривой мы будем называть класс путей, получающихся из некоторого гладкого пути всевозможными заменами параметра (!), где т(!) — непрерывно дифференцнруемая функция с положительной производной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
