Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Здесь различным значениям а (.пг, которые отличаются друг от друга на целое кратное 2аш', соответствуют н различные значения сата:. Погашения, наблюдавшегося в предыдущих случаях, не происходит, н функция (17) каждому гэьО, Фпо ставит в соответствие счетное множество значений. Пусть теперь а=а+1р, р~О, не является действительнын ы м числом.
Простой подсчет Еа — Е!и+ЯВ Пп гм (Р+Мпн аа ~п и-а 1чыпп)Е1 1а ~п паа Ж+Ман 11* АНАлнтическое пгодолженне 1гл 1и 164 (где положено»=тече и й — произвольное целое число) показывает, что в этом случае каждому комплексному числу»чьО, Фсо функция относит счетное множество значений, модули которых тве-вве-зкпа=рое-вака образуют бесконечную в обе стороны геометрическую прогрессию со знаменателем д=е-зпв, а аргументы О1пг+аср+2йаа=фз+2йиа — бесконечную в обе стороны арифметическую прогрессию с разностью й=2аа, если аФО, и й=О, если а=О. Например '), К'=е1""с=е ~ ' т=е '' т, й=О, .~1, ... (18) 5.
Общая показательная функция се=а*, где а — произвольное комплексное число ачьО, чьоо, определяется соотношением ю = а'= ез "за (19) Этот принятый термин н е п р а в о м о ч е н. В самом деле, (19) не является функцией в обычном смысле слова, ибо ).па= .=1п1а)+1'ага а+2йп1 (й=О, ='-1, ...) принимает бесконечно много значений и поэтому ае (при непелых») лспогозначна, Уо она не является и аналитической функцией, ибо отдельные ее элементы, которые получаются, если выбрать для лографма какое-либо из его щачений, не являются аналитическим продолжением друг друга.
Таким образом, а' следует рассматривать как совокупность различных (целых) функций Е' Н ~ И1 'К ШЕЗак1з (й = О, 1 ЗО. Особые точки. В п. 24 мы рассмотрели изолированные особые точки голоморфных функций (их называют еще особыми точками однозначного характера), Но, например, точка»=0, являясь особой для аналитической фуш<ции ю = '1т», не входит в классификацию, приведенную в п. 24. Поэтому мы ставим здесь своей задачей обобщить эту классификацию, введя понятие особой точки аналитической функции. Как и в п.
24, мы ограничимся простейшим случаем изолированных особых точек. Определение 1. Точка аз=С называется изолированной особой точкой некоторой аналитической функции, если существует проколотая окрестность Г точки а такая, что некоторый ') Ненскушенному этот пример должен показаться очень удивительным: мнимое число 1= 1' — ! мы возводнм в мнимую степень У вЂ” 1 н получаем бесконечно много значений, да еше все онн действительны! ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 165 % в) элемент оУ = (с7, !), принадлежащий этой функции, продолжается аналитически вдоль любого пути ус:Г.
Таковы, например, точки г=О и г=оо для аналитических л функций )Уг и Еп г (в качестве Г для обеих точек можно взять кольцо (О<!г(<оо)). )(ля функции особыми будут как 1 1+)' точки г=0 и г=оо, обусловленные особенностями (тг, так и точка г= 1, обусловленная тем, что в ней одна из ветвей функции (для которой )Уг при г= 1 равен — 1) имеет полюс (другая ветвь, для которой ) г при г= ! равен 1, правильна в этой точке). Классификацию изолированных особых точек аналитических функций мы будем проводить в зависимости от поведения их элементов при продолжении вдоль замкнутых путей у~Г. Л е м м а. Пусть а — изолированная особая, точка некоторой аналитической функции и à — проколотая окрестность такая, как в определении 1. Если какой-либо принадлежащий Функции элементов при продолжении вдоль некоторого замкнутого пути уос: Г не меняется '), то и лю- т' т бой элемент от, получаемый из еУ ь про- 1 должением в Г, не меняется при про- в ~( 1 должении вдоль любого пути у, гомотопа 1 ного уо в Г.
,Г Ух < Пусть ).— путь в Г, переводягций l У в Г, и у'=) ()уа()Х (проходится в порядке Х, уо, Х; см. и. 14). Очевидно, у'-у в Г (рис. 53) и имеет с у общие . рис. 66 концы, поэтому по теореме 3 и. 27 про- должениЯ вдоль У и У' совпадают. Но А- пеРеводит г в о9 „ у, не меняет,У„а Л переводит,Ув в,т, т. е.
продолжение вдоль у' не меняет г > Из этой леммы следует, что продолжение вдоль замкнутых путей, гомотопных нулю в Г, не меняет элементов (ибо такие пути стягиваются в пути, лежащие в круге какого-либо элемента, а продолжение вдоль последних очевидно не меняет элементов). Поэтому в нашем исследовании представляет интерес лишь продолжение вдоль путей, негомотопных нулю в Г. Определение 2.
Пусть а — изолированная особая точка некоторой аналитической функции, à — проколотая окрестность ') Или эамеииетси элементом, эквивалентным исходному (если рассматриваемые элементы не канонические). АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ (гл, гн 166 такая, как в определении 1, и Тес:à — замкнутый жорданов путь, содержащий точку а внутри. Будем различать два случая; (1) если обход у, не меняет исходного элемента функции, то а называется особой точкой однозначного характера; (П) если обход уо приводит к элементу, отличному от исходного, то а называется особой точкой многозначного характера или точкой ветвления.
В случае (1) продолжение исходного элемента вдоль любого пути йсУ', ведущего в фиксированную точку гяУ', приводит к одному и тому же элементу. В самом деле, если бы существовали два таких пути )л и )ж приводяшие к различным элементам, то замкнутый путь у=А-, () А с: Г менял бы элемент. Но путь у либо гомотопен О и тогда не может менять элемента по сделанному выше замечанию, либо гомотопен несколько раз проходимому (в положительном или отрицательном направлении) пУти Уо и по лемме также не менЯет элемента. Это пРотиворечие доказывает сделанное утверждение. Из него следует, что в случае (1) продолжение начального элемента по путям, принадлежащим У', приводит к однозначной, т.
е. голоморфной в Г функции /, которая является ветвью рассматриваемой аналитической функции'). Точка а является изот лированной особой точкой / в смысле п. 24. В зависимости от поведения ) при приближении к а эта точка может быть устранимой, полюсом или существенно особой, (Впрочем, если начальный элемент канонический, то случай устранимой точки исключен, ибо в этом случае круг сходимости элемента содержал бы точку а.) В случае (П) аналитическая функция, которая получается продолжением начального элемента вдоль путей, принадлежащих У', не допускает выделения в Г голоморфной ветви з).
Случай (П) мы разобьем на два подкласса. (Па) Существует целое число п)~ 2 такое, что п-кратный обход у, в одном направлении приводит к исходному элементу. ') Продолжение начального элемента по п)тям, не принадлежащим может привести к другому элементу с тем же центром, так что рассматриваемая аналитическая функция может быть неоднозначной.
Так, продолжение 1 произвольного элемента аналитической функции по путям, прииадле- 1 + У з жащим У'=(О<(з — 1(< Ц, приводит к однозначной функции (одной из двух ! ветвей 1, но продолжение вдоль замкнутого пути, обходящего точку 1-~") х / а=о, переводит элемент, принадлежащий одной ветви, в элемент, принадлежащий другой ветви.
х) Хотя в У' и может существовать голоморфная ветвь рассматриваемой функции, которая получается нз начального элемента продолжением по путям, выходящим за пределы У' (см. ниже пример 5). 1бу ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ % з! В этом случае а называется точкой ветвления конечного порядка, а наименьшее из чисел и, обладающих описанным свойством, называется порядком ветвления.
Нетрудно видеть, что порядок ветвления не изменится, если заменить уо любым путем у, гомотопным уо в Г. В самом деле, обозначим через йу путь, который получается й-кратным обходом у в одном направлении (совпадающим с направлением у, если й)0, и противоположном ему, если й<0); если у уо, то и йу-нуе и по доказанной выше лемме обходы йу и йуо либо оба меняют, либо оба не меняют исходного элемента.
Читателю предоставляется доказать, что если какой-либо замкнутый путь ус:Г пе меняет исходного элемента, то этот путь гомотопен целому (положительному, отрицательному или нулевому) крат- номУ пУти пУФ где и — поРЯдок ветвлениЯ точки а. (Пб) Такого целого числа п, как в случае (11а), не существует, т, е, обходы уе в одном направлении приводят все к новым и новым элементам.
В этом случае а называется точкой ветвления бесконечного порядка или логарифмической точкой ветвления. П р и и е р ы. 1. Функция )гз имеет в точках з=О и г= со точки ветвления порядка и. Функция ьп з имеет в тех же точках логарифмические точки ветвления. з)п) з 2. Функция в точке з=о имеет устраннмую особую точку, а в ) з точке а=со — существенно особую точку; она является голоморфной целой функцией (зто видно из разложения 3!п )~ з 1 1 =1 — — з+ — язв Уз З! б! справедливого в кольце )г'=(0<|а!<оо)). ,| а*в 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
