Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 36
Текст из файла (страница 36)
1/' (12) Но так как ~ — ~<1 на дб, то при любом изменении геед0 точе ка ь] = — не выходит из круга (]ь] ~ <!]. Поэтому вектор ш=!+ь] е не может повернуться вокруг точки в=О, и второе слагаемое в (12) равно нулю. Таким образом, л агу((+й) =л агу(, откуда по принципу аргумента получаем заключение теоремы ь Теорема Руше полезна при подсчете числа нулей голоморфных функций.
В частности, из нее совсем просто получаетсч основное свойство многочленов: Теорема 4. Любой' многочлен Р, степени и имеет в С ровна и корней. ч Так как Р„ имеет полюс в бесконечности, то все его корни лежат в некотором круге (]г! <]С). Пусть Р„=(+й, где (=а,г"' (а,ФО) и ~'=а,г" †'+ ... +а„; увеличивая в случае надобности !с, можно считать, что на окружности ()е) =Я) имеем ]!]>]д], ибо ](! = )аь)!(", а д — многочлен степени не выше и — 1. По теореме Руше Р„имеет в круге (]г~ <й) столько же нулей, сколько (=аье", т. е. ровно и ь 34.
Принцип сохранения области. Так называется следующая важная Теор е м а 1. Если ]' голоморгрна в области 0 и не ровно тождественно постоянной, то и образ 0*=((0) также является областью. ч Нужно доказать, что множество .0" связно и открыто. Пусть ю, и шз — две произвольные точки 0'] обозначим через е] один из прообразов ш] в,0 и соответственно через г, один из прообразов юь Так как множество 0 (линейно)связно, то существует путь у: е=г(!), Г~(а, р), связывающий в 0 точки г„и г,. В силу непрерывности функции ! образ у*: ш=((г(])), !я(а, Щ, будет путем, связывающим точки и]] и п]м он, очевидно, состоит из точек 0*.
Таким образом, множество 0* связно. Пусть иь — произвольная точка 0е и г,— один из ее прообразов в О. Так как 0 открыто, то существует круг (~г — еь) < г) ей 0. Уменьшая в случае надобности г, можно считать, что (]г — еь! <Г) не содержит других н]ссточек, кроме еь (так как !Чьсопз1, топо теореме единственности п.21 ее н]гсточки )гл. гн ОСНОВЫ ГЕОМЕТРГИЧЕСКОЯ ТЕОРИИ )ВВ изолированы в 1з). Обозначим через у=()е — ео) =г) границу этого круга; пусть еще р=ш)п(((а)-ао). (!) гжт Очевидно, )з)0, ибо непРеРывнаЯ фУнкциЯ Г(г) — шо достигает на у своего минимального по модулю значения, и если бы было Ге=0, то на У сУществовала бы шо-точка фУцкции ), вопРеки нашему построению круга.
Теперь мы докажем, что ()ш — шо) <)г)с:0*. В самом деле, пУсть ш> — пРоизвольнаЯ точка этого кРУга, т, е. )ш,— шо) <Р. Имеем ((е) — шг =) (а) ша+. (Жа — ш>), (2) причем на у в силу (1) 1)г(г) — шо))~ р. Так как у нас ) шо — ш,) <и, то по теореме Руше функция )(г) — го> имеет внутРи У столько же нУлей, сколько их имеет там фУнкпиа 1(г) — шо, т. е.
по крайней мере один нуль (точка е, может быть кратным нулем функции )(г) — ц>о). Итак, функция Г внутри у принимает значение шь т. е. ш,~хз'. Но вн> — произвольная точка круга ()ш — шо)<р), следовательно, весь этот круг принадлежит х>"'. Открытость 0е доказана ь 3 а м е ч а н и е. Как мы видели, доказательство связности множества Гт" требует лишь непрерывности функции й прн доказательстве открытости использованы теорема единственности и теорема Руше, которые установлены выше для голоморфных функций.
Лля произвольных непрерывных функций утверждение об открытности. образа неверно, в чем убеждает следующий пример. Г)усть )=хо+~а и Гт=()г1<1); тогда Г>"=1(Г>) не является открытым множеством, нбо точки вертикального диаметра Р (внутренние точки этого круга) переходят в граничные точки Г>'. Можно, однако, доказать, что принцип сохранения области (так же как теорема единственности и теорема Руше, на которые он опирается) имеет топологическяй характер, т.
е. справедлив длн всех функций, топологическн эквивалентных голоморфным. Аналогичное, но несколько более внимательное рассмотрение прннодит к решению задачи о локальном обращен ни голоморфных функций. Задача эта ставится так. Дана голоморфная в точке ео функция ш=Г(е); требуется найти аналитическую в точке во=((го) функцию е=й'(ш) такую, что д(шо) =го и ) ° д(ш) =ш в некоторой окрестности шш При решении этой задачи следует различать два случая: 1. 1" (ео) 4=0.
Как при доказательстве принципа сохранения области, выберем круг ()г — ео> <г), не содержащий других шо-точек, кроме центра, и определим )з>0 по формуле (1). Пусть ш,— любая точка круга ()ш — ш,) <)г); то же рассуждение (с применением формулы (2) и теоремы Руше) показывает, что фУнкциЯ Г' пРинимает в кРУге ()1е — ео) <г) значение шг столько й ~о! ГеометРические пРиипипы 189 же раз, сколько в,. Но значение во принимается в этом круге лишь в точке го и притом, в силу условия !'(го) ФО, однократно.
Таким обРазом, фУнкциЯ 1 пРннимает в кРУге (~2 — го~ <») любое значение из круга (~в — во~ <4 и притом только одни раз. Иными словами, функт(ия !' локально однолистна е точке го. В круге ()в — во)<!т) тем самым определена функция г=а(в), для которой д(во) =го и !.и(в) = — в.
Из однолистности ! следует, что ЛвчьО при Лг+0, откуда, очевидно, вытекает существование в любой точке круга ()в — во) <р) производной р() ' т. е. голоморфность д в этом круге '). (!. !'(го) = =)х" и(го) =О, )<Р>(го) ФО (р> 2). Еще раз повторим те же рассуждения, выбрав теперь круг (~г — го/ <») так, чтобы в нем, кроме центра, не было ни во-точек у, ни нулей производной )' (мы снова пользуемся теоремой единственности).
Как и раньше, выберем рт>0, возьмем любую точку в, из круга ()в — во) <рт) и убедимся в том, что ) принимает в круге (!г — го~ <») значение в, столько же раз, сколько в,. Из условий рассматриваемого случая следует, что значение в, принимается р-кратно в точке г,; так как у нас еще )'(г) ФО при 0<(г — га! <», то любое значение вь 0< ~в~ — во~<и, принимается функцией ! в круге (~г — го~, <») в р различных точках.
Таким образом, функция !' является р-листной е круге (~ 2 — 2о ~ ~<»). Выясним аналитический характер решения задачи о локальном обращении в этом случае. В некоторой окрестности точки го имеем в =1(г) = во+(2 го) ч(2), (4) где ф голоморфна и отлична от нуля. Отсюда следует, что 1 )~»Ф(г) (2 го) = (в во) (5) где )т~р обозначает какую-либо голоморфную в рассматриваемой окрестности ветвь корня. Эта ветвь разлагается в ряд Тейлора с пентром г, со свободным членом, отличным от нуля, слеР довательно, для функции тр(г) = )»~р(г) (г — га) имеем тр'(го) ФО. Полагая еще (в — в,)пи=го, перепишем (5) в виде тр(г) Р в и, ') Как видно из (3), для существования производной д' нужно еще, чтобы было РФО.
Н силу непрерывности Р и того, ~то Р(з,) ~0, можно считать зто условие выполненным в круге Сг — аа!<»), уменьшая» в случае надобности. ОСНОВЫ ГБОМБТРИЧБСКОИ ТЕОРИИ (гл, ш 199 пользуясь рассмотренным выше случаем 1, найдем отсюда г как голоморфную функцию от ви г=,."~ д„оо". Заменяя в последо нем Разложении оо= (ил — гео) ия, полУчим Разложение фУнкции, обращающей ), в обобщенный степенной ряд: =к (~)= Х д (~ — ~ Р. (б) Из него видно, что д является аналитической функцией в круге ()ш — шо)()л) и что шо является для нее точкой ветвления порядка р (см. п. 30). Из приведенного анализа, в частности, вытекает Теорема 2. Условие (0(го)ФО является необходил~ыл~ и достаточным условием локальной однолистности голол1орФной Функции ( в точке го.
3 а м е ч а н и е 1. Достаточность этого условия можно получить гакже из общей теоремы действительного анализа о существовании неявных функций (якобиан ' =|)'(г) ~' отобрад(и, о) д (х, у) жения (х, у) — (и, о) отличен от нуля в рассматриваемой точке). Однако для произвольных дифференцируемых в смысле д(и, о) ~ действительного анализа отображений условие д( ' ) Ф 0 не д(х, у) ~ является необходимым для однолистности. Это видно из примера отображения ) =хо+(у, якобиан которого равен нулю в точке г 0 и которое тем не менее однолистно, 3 а м е ч а н и е 2. Условие локальной однолистности ('(г) л=О для всех геБО не является достаточным для глобальной однолистности функции во всей области Р.
Это видно, скажем, из примера функции ((г) =е*, которая локально однолистна в каждой точке (, но неоднолистна в любой области, содержащей хотя бы одну пару точек г, и г, таких, что го — го=2йя(, где йФΠ— целое число. Мы изложили выше качественное решение задачи о локальном обращении. В заключение заметим, что методы теории аналитических функций позволяют дать и эффективное количественное решение этой задачи.
Рассмотрим для простоты случай )" (го) +О. Построим, как и выше, круги (~г — го~ ~с) н ((и — шо~((л) и при любом фиксированном ш из второго круга рассмотрим функцию 191 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ $101 Она голоморфна в первом круге всюду, за исключением точки г=д(в), где д — обращение функции (, причем вычет Ь в этой точке (полюсе первого порядка) равен г. Следовательно, по теореме Коши о вычетах г = —. р сг(г) о(ь, 2и(,) 1 (ь) — оо (7) Х (и — мо)" .с 1 1 1К) - ооо ооо !в 1 К) — ~г~о 1 ((,) — и причем это разложение сходится равномерно по Ь на окружности у (у нас (1(ь) — иоо))~ и на у, а ) ш — оео) ((о).
Умножая это разложение на . и интегрируя почленно вдоль у, найдем Ц' (1) 2ЕЛ г = й (ш) = Х (. (ш — шо)", «-о (8) где — — (и =О, 1, ...). г) (г) ас 2ед 3 11 (Г) о,,)и+1 Имеем, очевидно, о(о=го, а при а)~ 1 можно преобразовать полученное выражение интегрированием по частям: 2гли,) 11(1) — ооо)" ' Подинтегральная функция имеет внутри у полюс и-го порядка в точке го, находя ее вычет по известной формуле (п.25), находим окончательное выражение коэффициентов; о(о — — г,, о(»= — 1цп „, ( ' ), а=!, 2, ...
(9) и(., ..го-1 ~1(г) щ ) Ряд (8) с коэффициентами (9) называется рядом Бурмана— Лагранжа. Его можно использовать для эффективного обраще- ния голоморфных функций. где у=((ь — го(г г». Интеграл в правой части зависит от ое, и мы получили интегральное представление обрашающей функции д(ы). Из него, действуя так же, как при получении тейлоровского разложения из интеграла Коши, можно получить и разложение д в степенной ряд. Имеем 192 ОснОВН ГеОметРи'геской теОРии !гл гч Пример Пусть ((а)=ее-'*; найдем обрангение этой функции в точке ме О, соответствуя>щейг ге=о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
