Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 63
Текст из файла (страница 63)
дГ,=О). В обеих гранях 5Р и 5! можно пользоваться координатами (Гм ... . 1Р) =й На грани 5д порядок этих координат соответствует ориентации, а 1! является (линейвой) функцией т(1) остальных Р координат, определяемой из уравнения грани !, = 1 — ~~'., 1, = О. Р-! По определению интеграла от формы (п. 12) получаем, следо- вательно, ) а = ) ) (т (1), 1) Ж, зо ! (б) где 5! — неориентированный симплекс (проекция 5Р в простран- ство переменных (гм ..., 1р) = Г, см.
рис, 92), а с((=Юг °,. Ир — элемент объема. Вводя характеристическую функцию ТЕОРЕМА КОШИ вЂ” ПУАНКАРЕ $51 т(1) симплекса 51 (т. е. функцию, равную ! в 5~ и О вне 5,), мы можем переписать правую часть (6) в виде интеграла по всему пространству ~ ю= ~)(т, 1)Х(1) "1. На грани 5, порядок координат (тм ..., („) противоположен ориентации, а 1г — — О, поэтому мы имеем ~ ю= — ~1(О, 1)Х(1) (1 и из (4) получаем ~ ю = ) (((т 1) — ) (О, г)) Х (() Ж, (6) т П1 = ) у.Я ') %5(1,=) Х(1)()'(, 1)-)(О, 1Н Этот интеграл совпадает с (6) Примеры, 1. р=1, т — любое; одномерная цепь и представляет собой линию, ее гранвца ггп состоит иэ двух точек, причем начало (а) ориентировано отри.
цательно, а конец (б) — положительно. Форма ю пулевой степени — это функция й Формула Стокса сводится к формуле Н ь юг о н а — Л е й ба н ц а; ) й) = ~ 1'=((Ь) -) (а). 2. лч = р = 2; цепь о пусть представляет собой плоскую область В. Форма первого порядка имеет впд го = )~ об+(э Жэ, а ее дифференциал ою =- ~ — — — ) Нт~ Л Жь Формула Стокса сводится к формуле Р и и а н а— га), а),1 (дт, сна) Грина: ~ — — — ) Нг,ага= ) ),Нг, +)яитэ. й га(ч а), У (аб йгэ) где интеграл берется по всему пространству. С другой стороны, 5(ю = †, Ж, /хг()в Гч ...
гч,ЖР, и, вычисляя д1" интеграл по симплексу 5, мы получаем ИНТЕГРИРОВАНИЕ 1гл. и 334 ~ )зз'1Ц Л ага+1!з Ш! Л Из+111 61! Л дгз. я ьо Приведем два важных следствия из формулы Стокса: 1) Интеграл от замкнутой формы (по!=0) по циклу, гомо- логичному нулю (о=дХ), равен нулю: ~ Ф= ~ от=) да!=О. (7) 2) Интеграл от точной формы (!о=поз!) по циклу (да=-О) равен нулю: ~ ы=! с(Ф1= )а!=0. о и дс (8) 15. Теорема Коши — Пуанкаре. Эта теорема является распространением на многомерный случай основной теоремы Коши. Теорема 1.
Пусть оз — голоморфная форма степени и на аназ!итическолз многообразии М комплексной размерности а; тогда для любой (и+1)-мерной цепи о~М с гладкой границей < В локальных координатах Е„Т, (т=1, ..., и) голоморфная форлса оз имеет вид со=(дг! Л ... Л для, (2) где )енН(М). Она, очевидно, замкнута, ибо в силу голоморф. ности ) дифференциал й) выражается лишь через дифференциалы йг„и по свойствам внешних произведений с(Ф=О. Отсюда следует, что до!=0 на всей о, а так как цикл до гомологичен нулю, то остается воспользоваться следствием 1) из формулы Стокса > 3, т = 3, р = 2; цепь в пусть представляет поверхиость Я в кз. Формула (1) сводится к классической формуле С т о к с а; й ( — — — )д1 Л д1 +( — — — ) д1 Лег + 1 д)з д)1 ! 1 д)з д)1) ( д11 д11,) ( д11 д1з ) +!( — — — ) Ш, Л д1,= ~ 11 д11+)зд11+(здгз.
1д(! д)з ! ( д1, д11) 4. т=р=з; цепь о — область В в кз; формула Стокса сводится к формуле О с т р о г р а д с к о г о: 1 — — — + — )Ш ЛШ ЛШ= 1 д1зз д11з д1о ) З д11 д11 д1з ) о ТРОРемА кОши — пуАнкАРе 333 5 5! Особенно употребителен следующий частный случай теоремы 1: Теорем а Коши — Пуан к а р е. Если функция 1 голоморфна в области 1»с:С", го для любой (и+1)-мерной поверхности 6 е- =0 с гладкой границей д6 где для краткости положено йг=йг1 Л ... Л дг„. Отметим принципиальное отличие пространственного случая от плоского, относящееся к этой теореме: при и=! области Р н 6 имеют одинаковую размерность, а при п)1 размерность 6 н и же размерности В (и+! <2п).
Укажем еще более частный случай теоремы. Пусть !'Е=О(6) и 6=61Х ...Х 6„— поликруговая область (6„— плоские односвязные области г гладкими границами д6„), компактно принадлежа-,'л„ шая Е). Остов этой области Г=д6~Х... ...Хдб„является и-мерным циклом, го- Рнс 93 мологичным нулю, нбо он является границей (и+!)-Мерных замкнутых областей 5„=д6,Х... ... Х6„Х .
Хдб„я==0. Поэтому для любой такой области 6 интеграл по ее остову ) 1 йг=0 (4) г (ср. с интегральной формулой Коши для поликруговых областей). Теперь мы приведем пространственный аналог теоремы Морера, обратной к теореме Коши. В плоском случае для утверждения о голоморфностн функции 1 в области Е! достаточно требовать равенства нулю интеграла по границам областей специального вида (треугольников А ~«з), но на функцию надс наложить дополнительное условие непрерывности (см.
п. 20 ч. 1). Аналогично обстоит дело и в пространственном случае. Роль треугольников здесь играют (и+1)-мерные «призмы» Т„, которые являются произведением треугольника А«, лежащего в плоскости С'(г«), на произведение Л„прямолинейных отрезков (ан, гн), лежащих в остальных и — ! плоскостях С'(ЕР), 1А ФУ: А ХА (А 1((а у г )) (5) (см. рис. 93, где выделена плоскость г„, а пространство остальных переменных г„изображено схематически). [гл. и ззв 3!нтвГРПРовлн!!е Т е о р е м а 2.
Если Функция ]ч непрерывна в области Е!~Сч«и для любой призмы Т„вида (5), компактно принадлежаи]ей )«, ) 1йз=О, (6) дтч гпо )еи Н(Е!). ч Достаточно доказать голоморфность ~ в окрестности про. извольной точки а~с«. Фиксируем а и рассмотрим функцию она определена и непрерывна в некоторой окрестности точки а.
Для любого т (т=], ..., и) ее можно представить в виде «(з) ~ Еч ~~»ч ]'ч «ч] где Е„ — интеграл от 1 по Л, (произведению отрезков (а„, зв), р~т). Функция Е„ очевидно, непрерывна по Ь„ в окрестйости Е!, точкч а„, и по условию (6) для любого треугольника Л»» !«' дЛ В самом деле, зтот интеграл лишь знаком может отличаться от интеграла ддч Х Лч дтч где Т„=ЬХЛ„и с(~=й~чтн ...
I~дс„(мы воспользовались тем, что на части дТ„отличной от дЛ,ХЛ„, т. е. на части Л,ХдЛ,— совокупности «оснований» призмы Т„, см. рис. 93,— координата 1,„=сова], следовательно, йь„=О, и интеграл от 1 д~ по втой части границы исчезает).
По теореме Мореры для функций одного переменного отсюда вьпекает, что Е голоморфна по переменному «„. Таи как рассуждение применимо для любого з„, то Р голоморфна по каждому переменному в некоторой окрестности У точки а, По теореме Хартогса Р голоморфна в втой окрестности, а значит, там голоморфна и функция ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ й 6. Интегральные представления ззт (2) т=г где )', и — заданные в В функции класса се. Дифференциал этой формы, очевидно, равен аг ъз / дге дг) г гггбг= ~„~~ — — О- — ~агхгЛ ... Л г(х =(1Лд — д6~)г(х, дхг дх г т д дг где Л= —,+ ...
+ —, — оператор Лапласа и гггх=гггхгЛ ... дхг дх,„ ... Л ГГХаа ПРИМЕНЯЯ ФОРМУЛУ СтОКСа, МЫ И ПОЛУЧИМ ИСКОМУЮ формулу Грина () — ~ — д — )6' = ~ ()Лд — д6~) ггх. (3) до т=г Для областей Р с=С" эту формулу удобнее писать в комплексном виде. Для этого введем, как обычно, координаты кн...,г„: Хт=-е„_#_а„=е (тг=1, ..., п), положим для т = 1, ..., 2п 6' = (- ! ) Г(21 Л ....
Л пг2га (гггУ, пропускается) и вместо (2) рассмотрим форму х (4) Яз и. В. шабат Теперь мы можем изучать интегральные представления голоморфных функций. Начнем с наиболее общего, справедливого для произвольных областей с гладкой границей. 16.
Формулы Мартинелли — Бохнера и Лере. Нам понадобится формула Грина для областей Ос:Р с гладкой границей д0. Она выводится очень просто: обозначим 6'=( — 1)" 'б(х, Л .... Л б(х (1) (дифференциал ггх„пропускается) и рассмотрим дифференциальную форму степени т — 1: 338 интеГРНРОЕАнне !Гл. !! где 1 и я — заданные в 0 функции класса С' и, как всегда, (Ул = Хл+л). Двффсрсицнал ЭТОЙ форМЬ! раВЕН ~л дг дг л дг дг ) г(~! Л ° ° ° Л Нагл 4 (! ~~К Плг!)г!г и=! ( д' д' дг мы воспользовались тем, что —,, + —,= 4, и полодгл др~ дг дг„ ' жили !(2 = !гг! Л ...
Л г(гг„). Чтобы получить формулу Грина в комплексной записи: л ~~ ~~ д Ьл" — д ) 6') 4 ( ((блл — д.б~)г(2 (5) ро и-! о нужно лишь воспользоваться формулой Стокса. Формула Мартинелли — Бохнера получается из (5) так же, как интеграл Коши для гладких функций одного переменного получается из формулы Римана — Грина (см. п. !8 ч.
1). Выбе- рем в качестве и фундаментальное решение уравнения Лапласа с особенностью в точке г = О (мы предположим, что В содержит эту точку). Для а>! оно имеет вид а(~) —, (6) л ;л-! (л !) лг глгл АЪ-! нбо прн г Ф О имеем дя гл дг„ дгя ~ г Р— лглг„ двлдг ~г! д=о. Теперь воспользуемся формулой Грина (5), применив ее к области Рр= О'~(~г!<р) (мы исключаем из 0 окрестность точки а=О, чтобы устранить особенность функции д) и к функции д1 ) ен Н(В). Так как при ген В мы имеем = =О, п1= 0, то эта гл формула запишется так: ор дг ллл ~ ~ 1~~!~ дя л+л до дп л 1 р ! 1г!-М 4 ) (1Ла — дЛ1)с(а=О.
() интеГРАльные пРедстАВлгния 339 Но на сфере ((г)=р) имеем, очевидно, — = —,„и, поль()д г„ зуясь непрерывностью функции ( в точке г = О, мы можем написать, что л л 1 )2,—, — —.. 1,'» Ф 0(р), „к(=р),=! ((к(=М -о где 0(р) — «О при р — РО. К интегралу в правой части применим формулу Стокса: л 2 гкбл" = а 1 а(У~ Л ° ° ° Л с(Р ((к(-р! к=! ((г! <р! н заметим, что по свойствам внешнего произведения с(2,Л((Я„„,= = — 2! с(х, Л ((хл„, т. е.
((Е! Л... Л ((ха, — — ( — 2!)л с(х ! Л... Л ((хел. Поэтому ((Я! Л ... Л (2(Я2„— — ( — 2!)л ~ ((х! ... ((хг„=( — 2!)л —, р'л ((г ! <Р) ((к! <Р) (мы воспользовались формулой для объема шара радиуса р в пространстве (<'": лнг %,и= — ' р л! г( —,+() где à — гамма-функция Эйлера, Г(п + 1) = и!), и формула (7) переписывается в виде 1 й "'- .'"~, л ав Переходя здесь к пределу при р-кО, мы получим (с(О) = ( 2„,.)( ~ !' ~)~~ ( (,л ( — 1)л" ((ЕЛ((г(Л ', ° Л((г„= до к ! (и — !)! Г )(г) ъч к-!- ! (2вйл ) ( (кл,~( ( — 1) глс(г! Л ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
