Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 65
Текст из файла (страница 65)
14) при вычислении а)!а мы можем пользоваться переменными ~„~, (хотя они и не являются независимыми), но по только что доказанному д)!а = т~ —.дь„н, следовательно, по ч! свойствам внешнего произведения условие (1) выполняется. Для доказательства достаточности этого условия построим при помаши формулы Мартинелли — Бохнера по заданным значениям 1 функцию 1т(з) = ) 1(Ь) са(Ь, е), (2) где ч=! а) Покажем прежде всего, что при выполнении условия (1) функция 1 голоморфна всюду вне Я. Для этого заметим, что форма оз точна: прямой подсчет') показывает, что при Ь!~е! ') проделаем атот подсчет (дли соиращепии письма полагаем 2 = о)! л ~~~! (ь' О) (2!И)л йй (й(сл ьч с(1! Л льа Л ° ° ° ° Л !(ьп Л пь+ (л 1)! Ч;.ч ( 1)ч-! ч 2 ч п (и — 2)1 Ъч ( — 1) l и — 1, 1 1)и-! "ли~плей- (2 л,72 1 (сл сче1! л ° ..
° л'(сплс(~=се(~, О). ч ! ч (гл. н ИНТЕГРИРОВАНИЕ дифференциал формы (Еч!)А ~ ю ) й 212и-2 по переменным ь, ь равен 22(ь, г). Заметим еще, что, в то время как форма Я! имеет особенность на (2и — 2)-мерной плоскости Ь! =го ее частная производная д(), (Ь, «) (э — !)! Ъ2 ( — !) дг (эа!)л Д~ ) ~ 2)22 (~ч г2) (~2 Л ' ',л ' Л Лд Л ~Ц~ 2 У имеет лишь точечную особенность ь =г. При гФ5 формулу Мартинелли — Бохнера (2) можно продифференцировать по г, под знаком интеграла д! (2) ( 1( ) д2! (ь, 2) (б) дг, дг~ Теперь заметим, что в силу условия (1) функция ) при дифференцировании по переменным ь, ь ведет себя как постоянная; ее можно вносить под знак дифференциала. В самом деле, прн ~ ее 5, ь! Ф г, имеем 2( (122!) = !11 Л 21! + "1ь = (ы, ибо Ы! содержит множитель с(с и в силу (1) первое слагаемое равно нулю.
Беря от обеих частей (6) частную производную по гн найдем, что при ь" ~ 5, ь! Ф г! ф(~) '"",,' ~=)(~) '"Д (7) дп~ По сделанному выше замечанию форма = имеет особенность дг, лишь в точке Ь = г и, следовательно, правильна при Ь ее 5 и 2 ей 5, такова же н форма =. Поэтому, переходя в (7) к преда дг, делу при Ь!-Рг!, мы получим в силу непрерывности, что это равенство справедливо при всех ь ы 5 и гф 5.
Из этих замечаний видно, что формулу (б) при г~й5 можно переписать в виде д((2) ~,(~~©дп,(~,2)~ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 347 где под знаком дифференциала стоит правильная форма. Так как 5 — цикл (имеем д5 = дэ() = О), то по формуле Стокса правая часть равна О. Выделяя вместо переменного г, другие переменные е„мы совершенно аналогично построим формы 11 (Ь, г), правильные прн ~,~г и такие, что Г(ь),=ГА, и точно так же докажем, что == О при всех еФЯ. Таким образом, д) дгТ функция 1 действительно голоморфна всюду вне 5.
б) Теперь покажем, что эта функция равна нулю всюду вне О. В самом деле, в той частя С" ~,К где ~ г, ~>п|ах1ь, ~, 6 ИЗ форма (4) неособая, поэтому мы можем воспользоваться соотношением (6). Мы получим, что для е, принадлежащих этой части, (8) где т,— характернстяческая функция области Р. Утверждение будет доказано, если доказать, что правая часть (8) непрерывна в точке Ьэ: в самом деле, предельное значение правой части при г — Ьэ извне ьэ, очевидно, равно нулю; в силу непрерывности будет равно нулю н предельное значение при е-Р~ изнутри ЕГ, т. е. 1(г)-+1(Ь6) при е- Ь6, ЕЕЕ А).
Итак, остается доказать непрерывность функции й (е) = )г У (ь) — 1 (ьэ)) Гэ (ь, г) в точке, ьз, Для этого заметим сначала, что существует интеграл 6р(1 ) 1 ДЯ) — 1Я6))66(~, 10). В самом деле, интеграл берется по (2Л вЂ” 1)-мерной поверхности (9) (мы снова воспользовались формулой Стокса н тем, что 5 — цикл). Но упомянутая часть дополнения к В содержит внутренние точки, а так как само дополнение по условию связно, то в силу теоремы единственности (= — О во всем дополнении. в) Докажем, наконец, что граничные значения функции г совпадают с заданными значениями ).
Учитывая свойство ядра Мартинелли — Бохнера (формула (12) предыдущего пункта), мы можем написать для любой Ьэ~ Я и любой г 4й Я (гл. и ннтвгрнропапин 348 и произведения дифференциалов, входящих в форму вн (~, Г, „.. Л (~„Л (~, Л ... Л Ц., имеют размерность (2п — 1)-мерного элемента объема. Множи- тели же при этих произведениях ! 1(ь) - 1(ь".)! имеют порядок не выше,, ибо )енС, и, следова- 1 ! Сз )зз-з тельно, Г(ь) — Г(ьз), как и ь,— ьо„имеет порядок не ниже ) ь — ьо!.
Таким образом, порядок бесконечности подинтегральной функ- ции в (9) по крайней мере на единицу ниже размерности, н, значит, интеграл (9) сходится '). Дальнейшее доказательство проводится обычным для ана- лиза способом, и мы лишь наметим его ход. Разность ф(з) — р(~') = ~ Р(~) — )(~'Н(со(~, а) — шй, ~')] мы разобьем на две части, соответствующие интегрированию по достаточно малой (относительной) окрестности о точки Ьз и остальной части Я ', о границы.
В силу доказанной сходи- мости интеграла (9) нерву!о часть можно считать малой; в инте- грале по 5'хо ядро непрерывно, и, следовательно, этот инте- грал сколь угодно мал, если точка г достаточно близка к Ьз. Доказательство того, что ) ен Сг(0), мы опускаем. )и 3 а м с ч а и и с. Теорема Севери не верна при л = 1: в самом деле, 1 функции 1= — на границе единичного круга У=((з( < 1) удовлетворяет условикз (1), однако ее нельзя голоморфно продолягнть в (Г. Приведенное доказательство при а = 1 не проходит, нбо форма Коши —, а отличие ь — з' от формы Мартинелли — Бохнера, ие является точной па д(), если я ~н 0 (построить Я по формуле (4) при л = 1 нельзя).
Интеграл Г (г) = —, ~ — г1ь, Г 1(с) вл! й — а ао конечно, голоморфен при з ~ д0, ио Г ие обязательно равна О вне ТЭ '). "В качестве примера применения теоремы Севсри мы приведем доказательство еще одной теоремы о принудительном ') В этом проше всего убедиться, переходя на 5 к полярным координатам с пол~осам в точке йз. ') См. задача 1 и 3 к гл. П ч. 1, 349 интегнлльнгив пгедстввлнния % а) аналитическом продолжении функций нескольких переменных (ср. пп. 7 и 8) — теоремы о стирании компактных особенностей.
Теорема 2 (Осгуд — Браун). Если функс)ия 1 голомортрна всюду в области 0 с: С" (и) 1), за исключением, бглть может, множества К ~0, то )" еоломорфно ародолжаетея на всю область 0. м Выберем в 0 '~ К гладкие (2а — 1)-мерные поверхности 5, и Ят так, чтобы они ограничивали соответственно области 6, н 6 со связными дополнениями, чтобы К к= 6, е 6, и чтобы слой 6 = 6,' 6, б== 0 (рнс. 94). Так как 1 голоморфна в 6, то по формуле Мартинелли — Бохнера для любой точки г е= 6 1(г) = ~ 1(~) ю (~, г) — ) ~(~) ю (~, г). (! О) По той же причине на Ь', и 5', выполняются условия Севери: Ч Л д~ ~„= Ч Л д~ ~, = О.
Рнс. 94. Так как г лежит вне поверхности Яо то по теореме Севери второй интеграл в формуле (10) равен нулю, н, следовательно, для всех г еи 6 Пг) = ~ ) © ю (1, г). (11) Но по той же теореме Севери интеграл в правой части (11) представляет функцию, голоморфную всюду в 6,, и, следовательно, реализует требуемое аналитическое продолжение ~ Из этой теоремы видно, что голоморфные функции и) 2 переменных не могут иметь изолированных особых точек, — особенности таких функций обязаны выходить на границу области илн простираться в бесконечность ').
Из этой же теоремы получается такое усиление теоремы Лиувилля из п. 6: если функция я )2 переменных голоморфна вне шара (~ г ~(Р) н ограничена, то она постоянна. (В самом деле, по теореме Осгуда— Брауна эта функция голоморфно продолжается в шар, т. е. является целой; но она ограничена: в (~ г)) )7) по условию, а в ()г ~(~)7) как непрерывная на компакте функция.) 1 ) Сравяите: функпин ) = — на плоскости в имеет особую точку (О), ! г а в пространстве (г, ю) — особую аналитическую прямую (в О), простираю.
щуюся в бесконечность. ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ и 350 18. Формула Вейля. Интегральная формула Мартинелли— Бохнера выписывается для областей достаточно общего вида. Однако при и >! она имеет недостаток, существенный для ряда вопросов: ядро этой формулы а(Ь, е) неаналитическн зависит от е. Мы уже приводили примеры интегральных формул с аналитическими ядрами — формулу Коши для поликруговых областей и формулу Лере для выпуклых областей. Здесь мы приведем еще одну формулу с аналитическим ядром, которая применима для одного специального класса областей, более широкого, чем поликруговые области.
Определение 1. Пусть дана область 0~6", а также конечное ~гнело функций юг ен Н(0) н плоских областей Ог к= =%'г (О), ! = 1, ..., У. Будем называть гголиэдрическгглг множеством множество П = (е ен Рг (Р"г (е) ен Рг, г = 1, ..., У), если оно компактно в О. Такое множество не обязательно связно; связное мномтество вида (1) мы будем называть гголиэдрической областью. Часто рассматривается случай, когда все области Р, являются кругамн; соответствующее множество П=(ген 0; ! Ж'г(е) !(Г„г'=1, ..., У) (2) будем называть аналитическим полиэдром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
